1、函数奇偶性的判断 22111lg2(1)11(0)1134.212(0)xxxf xf xxxxxx xf xf xxx x 判断下列函数的奇偶性；【例1】11011111()lglg()111lg11101112xxxf xxxfxxxxf xxxxx由，得，故的定义域关于原点对称又 ，故原函数是奇函数由，得，定义域不关于原点对称，故原函数是非奇非【解析】偶函数 2222(0)(0)000()000()()11211121212222134xxxxf xxf xxxxxfxxxf xxf xxxxxfxxxf xf xfxf xR的定义域为 ，它关于原点对称又当时，则当时，故 ；当时，则当时
2、，故 故原函数是偶函数因为的定义域为，且 ，故原函数是奇函数在函数奇偶性的定义中，有两个必备条件，一是定义域关于原点对称，这是函数具有奇偶性的必要不充分条件，所以首先考虑定义域对解决问题是有利的；二是判断f(x)与f(x)是否具有等量关系在判断奇偶性的运算中，可以转化为判断奇偶性的等价等量关系式(f(x)f(x)0(奇函数)或f(x)f(x)0(偶函数)是否成立，这样能简化运算如本题中(4)，判断f(x)f(x)0是否成立，要方便得多本题(3)是分段函数判断奇偶性，分段函数指在定义域的不同子集有不同对应关系的函数分段函数奇偶性的判断，要分别从x0或x0来寻找等式f(x)f(x)或f(x)f(x
3、)是否成立，只有当对称的两个区间上满足相同关系时，分段函数才具有确定的奇偶性 2222111lg 12|2|23lg(1)14211f xxxxf xxf xxxxxf xxx 判断下列函数的奇偶性；【变式练习】2 1,1()1011|2|2()12fxf xxxxxfxf x因为定义域 关于原点对称，且 ，所以原函数既是奇函数又是偶函数【解析】由，得，则 ，且 ，故原函数是奇函数 2221()lg(1)lg1lg(1)34fxxxxxxxf xf xR因为定义域为全体实数，且 ，故原函数是奇函数因为定义域是，关于原点对称，作出函数的图象，可知是偶函数函数奇偶性的应用 22log(2)af x
4、xxaa【若函数是奇函数，求实例】数2的值 22222222()0log(2)log(2)0log 2021.20.200log20221.2aaaaf xfxxxaxaxaaaafaaa由 ，得 ，即，所以因为，所以 因为奇函数的定义域为全体实数，所以函数在原点有定义，则定义法：，即，则，得性质【法：解析】抓住奇函数的定义或特殊性质，是解决此类问题的重要法宝 21lg12.2abaDaxf xDxR设，且，定义在 上的函数是奇函数，求定【练习】义域变式 222222211()0lglg012121lg01144.1422.1201211x0)，则一定是周期函数因为图象关于xa(a0)对称，则
5、f(ax)f(ax)成立，所以f(2ax)fa(ax)fa(ax)f(x)f(x)，所以周期为2a.【变式练习4】f(x)是定义在R上的奇函数，满足f(x3)f(3x)若x(0,3)时，其解析式为yx21，求x(6，3)时，函数f(x)的解析式【解析】因为f(x)在R上是奇函数，所以f(6x)f3(3x)f3(3x)f(x)f(x)，所以f(x)f(x6)当x(6，3)时，x6(0,3)，所以f(x6)(x6)21，则f(x)x212x37(x(6，3)1.若函数y(x1)(xa)为偶函数，则a_【解析】由f(1)f(1)，得02(1a)，所以a1.1 22112.11xxf xxx判断函数的
6、奇偶性，是_函数【解析】定义域是R，关于原点对称，且f(x)f(x)0，故为奇函数奇3.已知定义在R上的奇函数f(x)满足f(x2)f(x)，则f(6)的值为_【解析】方法1：因为f(x)是奇函数，所以f(0)f(0)f(0)，所以f(0)0，所以f(6)f(4)f(2)f(0)0.方法2：因为f(x4)f(x2)f(x)，所以f(x)是以4为周期的周期函数又因为f(0)f(0)f(0)，所以f(0)0，所以f(6)f(2)f(0)0.04.已知f(x)是R上的奇函数，当x0时，f(x)2xlog2x，求函数f(x)的解析式 222200()2log()()2log()002log(0)0(0
7、)2log()(0)xxxxxxfxxf xfxxfx xf xxx x设，则，所以 ，那么 又，所【解析以】5.已知函数f(x)对一切x、yR都有f(xy)f(x)f(y)(1)求证：f(x)是奇函数；(2)若f(3)a，用a表示f(12)()000.00()()(3)()1226434(3)4.12f xf xyf xfyxyfxyyxff xfxfxf xf xfaf xyf xfyf xffffaR证明：显然的定义域关于原点对称在 中，令 ，得令 ，即 ，得 ，即 ，故为 上的奇函数由 ，为奇函数得【解析】1函数的奇偶性是函数在其定义域上的整体性质，定义域关于原点对称是函数具有奇偶性的
8、必要不充分条件因此，判断函数的奇偶性，一要看定义域是否关于原点对称；二要看f(x)与f(x)的关系2判断函数奇偶性的方法一般有两种：一是定义法，步骤：看定义域是否关于原点对称，若不对称，则该函数为非奇非偶函数；若对称，则看解析式能否化简，能够化简的，一定要化简解析式；看f(x)与f(x)的关系，可以直接观察，也可以用定义的变形式；二是图象法，作出图象，根据图象的对称性得出结论，一般分段函数的奇偶性的判断多用图象法3奇函数f(x)如果在x0处有意义，则必有f(0)0，即奇函数的图象若与y轴有交点，则交点一定是原点4如果一个函数既是奇函数又是偶函数，则这个函数的函数值恒为0，且定义域关于原点对称5
9、函数的周期性亦是函数在其定义域上的整体性质，它反映了函数值周期变化的规律值得注意的是周期函数不一定存在最小正周期注意以下几个常用结论：()(0)21()(0)21231()(0)14f xf xTf x Tf xTf xf xTTf xf xTf xf xf xTTf xf xT 若函数满足，则是周期函数，且是它的一个周期若函数满足，则是周期函数，且是它的一个周期若函数满足，则为周期函数，且是它的一个周期1(2011泰州市第一次联考卷)设f(x)是定义在R上的奇函数，且f(3)f(2)2，则f(2)f(3)_.【解析】由f(3)f(2)2得f(3)f(2)2，由奇函数定义得f(2)f(3)2.
10、答案：2选题感悟：函数的奇偶性是函数的重要性质，要准确理解和熟练掌握函数奇偶性的定义2(2011南京二模卷)定义在R上的奇函数f(x)，当x(0，)时，f(x)log2x，则不等式f(x)1的解集是_ 2222log(0)0(0),-log()(0)00,log1log()110221(2)(0)2x xf xxx xxxxxxx 由题意知所以或解得或，即所求解集为 ，析，【解】1(2)(0)2，答案：3(2011金陵中学期中卷)已知周期函数f(x)是定义在R上的奇函数，且f(x)的最小正周期为3，f(1)2，f(2)m，则m的取值范围为_答案：(2，)选题感悟：函数的性质是每年高考的热点，这类问题能全面考查考生对函数概念的理解及性质的代数推理、论证能力