1、河北省张家口市第一中学2019-2020学年高二数学上学期12月月考试题（实验班，含解析）一、选择题（本大题共12小题，共60分）1.某工厂甲，乙，丙三个车间生产了同一种产品，数量分别为600件，400件，300件，用分层抽样方法抽取容量为的样本，若从丙车间抽取6件，则的值为（ ）A. 18B. 20C. 24D. 26【答案】D【解析】由分层抽样的定义可得：，解得：.本题选择D选项.2.若，则“”是 “”的（ ）A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件【答案】A【解析】【分析】本题根据基本不等式，结合选项，判断得出充分性成立，利用“特殊值法”，通过
2、特取的值，推出矛盾，确定必要性不成立.题目有一定难度，注重重要知识、基础知识、逻辑推理能力的考查.【详解】当时，则当时，有，解得，充分性成立；当时，满足，但此时，必要性不成立，综上所述，“”是“”的充分不必要条件.【点睛】易出现的错误有，一是基本不等式掌握不熟，导致判断失误；二是不能灵活的应用“赋值法”，通过特取的值，从假设情况下推出合理结果或矛盾结果.3.史记中讲述了田忌与齐王赛马的故事“田忌的上等马优于齐王的中等马，劣于齐王的上等马；田忌的中等马优于齐王的下等马，劣于齐王的中等马；田忌的下等马劣于齐王的下等马”双方从各自的马匹中随机选一匹进行一场比赛，则田忌的马获胜的概率为A. B. C.
3、 D. 【答案】A【解析】分析：由题意结合古典概型计算公式即可求得最终结果.详解：记田忌的上等马、中等马、下等马分别为a,b,c，齐王的上等马、中等马、下等马分别为A,B,C，由题意可知，可能的比赛为：Aa,Ab,Ac,Ba,Bb,Bc,Ca,Cb,Cc,共有9种，其中田忌可以获胜的事件为：Ba，Ca,Cb，共有3种，则田忌马获胜的概率为.本题选择A选项.点睛：有关古典概型的概率问题，关键是正确求出基本事件总数和所求事件包含的基本事件数(1)基本事件总数较少时，用列举法把所有基本事件一一列出时，要做到不重复、不遗漏，可借助“树状图”列举(2)注意区分排列与组合，以及计数原理的正确使用.4.随机
4、调查某学校50名学生在学校的午餐费，结果如表：餐费（元）678人数102020这50个学生的午餐费的平均值和方差分别是( )A. 7.2元，0.56元2B. 7.2元，元C. 7元，0.6元2D. 7元，元【答案】A【解析】【分析】直接利用平均数公式与方差公式求解即可.【详解】先计算这50个学生午餐费的平均值是，所以方差是,故选A【点睛】本题主要考查平均数公式与方差公式的应用，属于基础题. 样本数据的算术平均数公式：；样本方差公式：.5.方程表示焦点在轴上的椭圆，则的取值范围为（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】根据题意，方程表示焦点在x轴上的椭圆，则有，解可得2m6；故答案为D6
5、.已知双曲线C的离心率为2，焦点为、，点A在C上，若，则（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】试题分析：由已知设则由定义得在中，由余弦定理得，故选A考点：1.双曲线的几何性质（焦点三角形问题）；2.余弦定理【此处有视频，请去附件查看】7.已知抛物线，过焦点且倾斜角为60的直线与抛物线交于A、B两点，则AOB的面积为A. B. C. D. 【答案】C【解析】试题分析：由题意知，直线的方程为，联立直线与抛物线的方程可得：，解之得：，所以，而原点到直线的距离为，所以，故应选考点：1、抛物线的简单几何性质；2、直线与抛物线的相交问题；8.已知动点的坐标满足方程，则的轨迹方程是（ ）A. B.
6、 C. D. 【答案】C【解析】【详解】此方程表示点到点的距离与到点的距离之差为8，而这正好符合双曲线的定义，点的轨迹是双曲线的右支，的轨迹方程是，故选C.9.已知非零向量不共线，如果，则四点A，B，C，D（ ）A. 一定共线B. 恰是空间四边形的四个顶点C. 一定共面D. 可能不共面【答案】C【解析】【分析】通过已知向量关系，求出，说明四点A，B，C，D共面.【详解】非零向量不共线， ，, ,由平面向量基本定理可知，四点A，B，C，D共面.故选：C【点睛】本题主要考查了平面向量基本定理的应用，平面向量的基本运算，属于中档题.10.数学中有许多形状优美、寓意美好的曲线，曲线C：就是其中之一（如
7、图）.给出下列三个结论：曲线C恰好经过6个整点（即横、纵坐标均为整数的点）；曲线C上任意一点到原点的距离都不超过；曲线C所围成“心形”区域的面积小于3.其中，所有正确结论的序号是A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】将所给方程进行等价变形确定x的范围可得整点坐标和个数，结合均值不等式可得曲线上的点到坐标原点距离的最值和范围，利用图形的对称性和整点的坐标可确定图形面积的范围.【详解】由得,所以可为的整数有0,-1,1,从而曲线恰好经过(0,1),(0,-1),(1,0),(1,1), (-1,0),(-1,1)六个整点,结论正确.由得,解得,所以曲线上任意一点到原点的距离都不超过.
8、结论正确.如图所示,易知,四边形的面积,很明显“心形”区域的面积大于,即“心形”区域的面积大于3,说法错误.故选C.【点睛】本题考查曲线与方程曲线的几何性质，基本不等式及其应用,属于难题,注重基础知识基本运算能力及分析问题解决问题的能力考查,渗透“美育思想”.11.如图，设动点P在棱长为1的正方体ABCDA1B1C1D1的对角线BD1上，记，当APC为钝角时，的取值范围是（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】分析】建立空间直角坐标系，利用APC不是平角，APC为钝角等价于，即,从而可求的取值范围.【详解】由题设，建立如图所示空间直角坐标系：则有，显然APC不是平角，所以APC为钝角等
9、价于， ，得，因此，的取值范围是,故选：B【点睛】本题主要考查了利用空间向量求向量的夹角，解一元二次不等式，属于中档题.12.设f（x）在x处可导，则等于（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】利用导数的定义即可求解.【详解】在处可导，.故选：C【点睛】本题主要考查了导数的定义，属于容易题.二、填空题（本大题共4小题，共20分）13.若向量1，且，则_【答案】或【解析】【分析】设（2，2），则|1，由此能求出结果【详解】向量（2，1，2），且|1，设（2，2），则|1，解得，（）或（，）故答案为（）或（，）【点睛】本题考查向量的求法，考查向量平行的性质等基础知识，考查运算求解能
10、力，考查函数与方程思想，是基础题14.如图茎叶图记录了甲乙两组各五名学生在一次英语听力测试中的成绩（单位：分）已知甲组数据的中位数为15，乙组数据的平均数为16.8，则x，y的值分别为_，_【答案】 (1). 5 (2). 8【解析】【分析】根据茎叶图中的数据，结合中位数与平均数的概念，求出x、y的值【详解】根据茎叶图中的数据，得：甲组数据的中位数为15，x5；又乙组数据的平均数为16.8，16.8，解得：y8；综上，x、y的值分别为5、8故答案为(1). 5 (2). 8【点睛】本题考查了利用茎叶图求数据的中位数与平均数的问题，是基础题15.如图，在平面直角坐标系中，是椭圆的右焦点，直线与椭
11、圆交于两点，且，则该椭圆的离心率是_【答案】 【解析】由题意得，故，又，所以【考点】椭圆离心率 【名师点睛】椭圆离心率的考查，一般分两个层次，一是由离心率的定义，只需分别求出，这注重考查椭圆标准方程中量的含义，二是整体考查，求的比值，这注重于列式，即需根据条件列出关于的一个等量关系，通过解方程得到离心率的值.【此处有视频，请去附件查看】16.函数yx3ax2x2a在R上不是单调函数，则a的取值范围是_【答案】(，1)(1，)【解析】试题分析：函数导数，因为函数在R上不是单调函数，所以导数值有正有负，即导函数与x轴有两个交点或考点：函数单调性点评：本题通过函数导数判定函数单调性，在R上不是单调函
12、数，则存在极值点，即存在导数值大于零和小于零的情况三、解答题（本大题共6小题，共72分）17.已知命题p：“曲线C1：=1表示焦点在x轴上的椭圆”，命题q：“曲线C2：表示双曲线”（1）若命题p是真命题，求m的取值范围；（2）若p是q的必要不充分条件，求t的取值范围【答案】（1）-4m-2，或m4；（2）-4t-3或t4【解析】【分析】（1）方程表示焦点在轴上的椭圆需满足，解不等式即可求解（2）化简命题q可得tmt+1，利用p是q的必要不充分条件可知m|tmt+1m|-4m-2，或m4，建立不等式求解即可.【详解】（1）若p为真：则，解得-4m-2，或m4；（2）若q为真，则（m-t)(m-t
13、-1)0，即tmt+1，p是q的必要不充分条件，则m|tmt+1m|-4m-2，或m4，即或t4，解得-4t-3或t4.【点睛】本题主要考查了椭圆、双曲线的简单几何性质，必要不充分条件，真子集，属于中档题.18.20名学生某次数学考试成绩(单位：分)的频率分布直方图如下：(1)求频率直方图中a的值；(2)分别求出成绩落在50,60)与60,70)中的学生人数；(3)从成绩在50,70)的学生中人选2人，求这2人的成绩都在60,70)中的概率【答案】(1)0.005,(2)2,3,(3)0.3【解析】【详解】（1）据直方图知组距=10，由，解得（2）成绩落在中的学生人数为成绩落在中的学生人数为（
14、3）记成绩落在中的2人为，成绩落在中的3人为、，则从成绩在的学生中人选2人的基本事件共有10个：其中2人的成绩都在中的基本事伯有3个：故所求概率为【此处有视频，请去附件查看】19.如图，已知三棱锥DABC中，二面角ABCD的大小为90，且BDC90，ABC30，BC3，（1）求证：AC平面BCD；（2）二面角BACD为45，且E为线段BC的中点，求直线AE与平面ACD所成的角的正弦值【答案】（1）见解析；（2）【解析】【分析】（1）ABC中,根据条件利用余弦定理求出AC,根据勾股定理证明垂直即可（2）以C为原点，CB所在直线为x轴，CA所在直线为y轴，过点C作垂直于平面ABC的直线为z轴建立空
15、间直角坐标系，求出平面ACD的法向量，利用直线与平面所成角公式计算即可.【详解】（1）ABC中，由，解得，从而AC2+BC2AB2，ACBC；又二面角A-BC-D的大小为90，即平面BCD平面ABC，而平面BCD平面ABCBC，AC平面ABC，故AC平面BCD；（2）以C为原点，CB所在直线为x轴，CA所在直线为y轴，过点C作垂直于平面ABC的直线为z轴，建立如图所示的空间直角坐标系，故平面ABC的法向量(0，0，1)，设平面ACD的法向量(1，m，n)，由，易知m0，从而(1，0，n)，解得n1，结合实际图形，可知n取1时，二面角为135，应舍去，所以(1，0，-1)，易知，B(3，0，0)
16、，故，则，设直线AE与平面ACD所成的角为，则，即直线AE与平面ABC所成的角的正弦值为【点睛】本题主要考查了余弦定理，利用空间向量求直线与平面所成的角，二面角，属于中档题.20.若直线l为曲线C1：y=x2与曲线C2：y=x3的公切线，求直线l的斜率.【答案】0或【解析】【分析】分别设l与C1, C2的切点分别为（a，b），（m，n），利用导数分别求出切线方程，由l为公切线可知两切线重合，即可求解.【详解】曲线C1：y=x2，则y=2x，曲线C2：y=x3，则y=3x2，直线l与曲线C1的切点坐标为（a，b），则切线方程为y=2ax-a2，直线l与曲线C2的切点坐标为（m，n），则切线方程为
17、y=3m2x-2m3，2a=3m2，a2=2m3，m=0或m=，直线l的斜率为0或【点睛】本题主要考查了利用导数的几何意义求切线，属于中档题.21.已知椭圆过点，且离心率（1）求椭圆方程；（2）设直交椭圆于两点，判断点与以线段为直径的圆的位置关系，并说明理由.【答案】(1) (2) 点G在以AB为直径的圆外【解析】解法一：（）由已知得解得所以椭圆E的方程为（）设点AB中点为由所以从而.所以.,故所以，故G在以AB为直径的圆外解法二：（）同解法一.（）设点，则由所以从而所以不共线，所以锐角.故点G在以AB为直径的圆外考点：1、椭圆的标准方程；2、直线和椭圆的位置关系；3、点和圆的位置关系【此处有
18、视频，请去附件查看】22.已知抛物线C；过点求抛物线C的方程；过点的直线与抛物线C交于M，N两个不同的点均与点A不重合，设直线AM，AN的斜率分别为，求证：为定值【答案】（1）（2）见解析【解析】【分析】（1）利用待定系数法，可求抛物线的标准方程；（2）设过点P（3，1）的直线MN的方程为，代入y2=x利用韦达定理，结合斜率公式，化简，即可求k1k2的值【详解】（1）由题意得，所以抛物线方程为 （2）设，直线MN的方程为，代入抛物线方程得 所以， 所以,所以，是定值【点睛】求定值问题常见的方法从特殊入手，求出定值，再证明这个值与变量无关直接推理、计算，并在计算推理的过程中消去变量，从而得到定值