1、数学试卷一选择题（本大题共12小题，共60.0分）1. 已知集合，若，则实数的取值范围是（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】由集合包含关系的定义即可得解.【详解】集合，即实数的取值范围是.故选：B.【点睛】本题考查了由集合间的关系求参数的取值范围，考查了运算求解能力，属于基础题.2. 在复平面内与复数所对应的点关于虚轴对称的点为，则对应的复数为（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】【详解】【分析】试题分析：复数，所对应的点为 ，其关于虚轴对称的点为 ，故 对应的复数为 ，选C 考点：复数的意义及其运算3. 条件：，条件：则是的（ ）.A. 充分而不必要条件B. 必
2、要而不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件【答案】A【解析】【详解】由条件得：；由条件得：或.选A.4. 函数的定义域为（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】根据定义域的求法列不等式，解对数不等式求得函数的定义域.【详解】由已知得即或，解得或.所以的定义域为.故选：C【点睛】本小题主要考查函数定义域的求法，考查对数不等式的解法，属于中档题.5. 设f(x)lg(a)是奇函数，且在x0处有意义，则该函数是（ ）A. (，)上的减函数B. (，)上的增函数C. (1，1)上减函数D. (1，1)上的增函数【答案】D【解析】【分析】根据题意可得f(0)0，代入求出a，并
3、验证为奇函数，再求出函数的定义域，根据对数函数的单调性即可得出结果.【详解】由题意可知，f(0)0，即lg(2a)0，解得a1，故f(x)lg，函数f(x)的定义域是(1，1)，所以f(x)lg为奇函数，在此定义域内f(x)lglg(1x)lg(1x)，函数y1lg(1x)是增函数，函数y2lg(1x)是减函数，故f(x)y1y2在(1，1) 是增函数.故选：D.【点睛】本题考查了由函数的奇偶性求参数值、利用对数函数的单调性判断复合函数的单调性，属于基础题.6. 函数的图像大致是（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】令，则 ，所以去掉D;因为 ，所以去掉A；因为时为最大值，所以去掉C
4、，选B.点睛：(1)运用函数性质研究函数图像时，先要正确理解和把握函数相关性质本身的含义及其应用方向.(2)在运用函数性质特别是奇偶性、周期、对称性、单调性、最值、零点时，要注意用好其与条件的相互关系，结合特征进行等价转化研究.如奇偶性可实现自变量正负转化，周期可实现自变量大小转化，单调性可实现去，即将函数值的大小转化自变量大小关系7. 定义：若函数的图象经过变换后所得的图象对应的函数与的值域相同，则称变换是的同值变换，下面给出了四个函数与对应的变换：将函数的图象关于轴对称；将函数的图象关于轴对称；将函数的图象关于点对称.将函数的图象关于点对称.其中是的同值变换的有（ ）A. B. C. D.
5、 【答案】B【解析】【分析】根据同值变换的定义，先求出对应的函数解析式，求出相应的值域，结合值域关系进行判断即可.【详解】解：的值域为将函数的图象关于轴对称得到的值域为，值域相同是同值变换.，值域为，将函数的图象关于轴对称得到，即，两个函数的值域不相同，不是同值变换.，函数关于对称，函数值域为，将函数的图象关于点对称后函数是自身，满足值域相同，是同值变换的值域为，则的图象关于点对称后的值域仍然为，则两个函数的值域相同，是同值变换.故是的同值变换的有，故选：B.【点睛】本题主要考查函数图象变换以及函数值域的求解判断，结合新定义求出函数的解析式以及值域是解决本题的关键.8. 如图所示的程序框图中，
6、若f（x）=x2x+1，g（x）=x+4，且h（x）m恒成立，则m的最大值是（ ）A. 0B. 1C. 3D. 4【答案】C【解析】试题分析：由已知中的程序框图可得该程序的功能是计算并输出分段函数：h（x）=的值，数形结合求出h（x）的最小值，可得答案解：由已知中的程序框图可得该程序的功能是：计算并输出分段函数：h（x）=的值，在同一坐标系，画出f（x）=x2x+1，g（x）=x+4的图象如下图所示：由图可知：当x=1时，h（x）取最小值3，又h（x）m恒成立，m的最大值是3，故选C点评：本题考查的知识点是程序框图，分段函数的应用，函数恒成立，难度中档9. 二次函数，若，且函数在上有两个零点，
7、求的取值范围（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】若，且函数在上有两个零点，则，利用线性规划的知识可得的取值范围.【详解】因为函数在上有两个零点，且，则，即，其对应的平面区域如图所示：令，由，得，由线性规划知识可知.故选：C.【点睛】考查二次函数在特定区间与零点的关系以及线性规划中的范围问题，属于中档题.10. 设函数，若互不相等的实数满足，则的取值范围是（）A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】画出函数的图象，不妨令，则结合图象可得，从而可得结果【详解】画出函数的图象如图所示不妨令，则，则结合图象可得，故故选：B【点睛】数形结合是根据数量与图形之间的对应关系，通
8、过数与形的相互转化来解决数学问题的一种重要思想方法，.函数图象是函数的一种表达形式，它形象地揭示了函数的性质，为研究函数的数量关系提供了“形”的直观性归纳起来，图象的应用常见的命题探究角度有：1、确定方程根的个数；2、求参数的取值范围；3、求不等式的解集；4、研究函数性质11. 函数是定义在上的奇函数，对任意两个不相等的正数，都有，记，则（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】设，对任意两个不相等的正数，都有，可得在上单调递增，分别化简，即可得出结论.【详解】解：设，对任意两个不相等的正数，都有，在上单调递增，.故选：C.【点睛】本题考查大小比较，考查函数的单调性，考查学生分析
9、解决问题的能力，正确构造函数是关键，属于基础题.12. 函数与的图象上存在关于轴对称的点，则实数的取值范围是（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】先求出函数关于轴对称的函数，转化为与对称函数有交点，利用构造函数法，结合导数研究函数的最值即可.【详解】的图象关于轴对称的函数解析式为，即，若与的图象上存在关于轴对称的点，则等价为与在上有交点，即，即，有解即可，设，则，当得，此时函数为增函数，当得，此时函数为减函数，即当时，函数取得极小值同时也是最小值，当时，当时，则，即的取值范围是，则实数的取值范围是.故选：D.【点睛】本题主要考查函数与方程的应用，结合对称性转化为方程有解，利用
10、导数研究函数的单调性和最值是解决本题的关键.综合性较强.二填空题（本大题共4小题，共20.0分）13. 已知命题p：xR，x22axa0，则p为_【答案】xR，x22axa0.【解析】【分析】把存在量词改为全称量词，然后再对后面的命题进行否定【详解】由题意得p为“xR，x22axa0”【点睛】本题考查含有量词的命题的否定，解题时注意否定的方法，即改变量词并同时对命题进行否定14. 若函数的值域为，则实数的取值范围是_.【答案】【解析】【分析】问题转化为可以取所有正数，且，由分类讨论和基本不等式可得.【详解】函数的值域为，且，当时，故只需即可，解不等式可得，综上可得的取值范围为：且.故答案为：.
11、【点睛】本题考查对数函数的性质，涉及恒成立问题和基本不等式求最值，属中档题.15. 若直线是曲线的切线，也是曲线的切线，则 【答案】【解析】试题分析：对函数求导得，对求导得，设直线与曲线相切于点，与曲线相切于点，则，由点在切线上得，由点在切线上得，这两条直线表示同一条直线，所以，解得.【考点】导数的几何意义【名师点睛】函数f （x）在点x0处的导数f （x0）的几何意义是曲线yf （x）在点P（x0，y0）处的切线的斜率相应地，切线方程为yy0f （x0）（xx0）注意：求曲线切线时，要分清在点P处的切线与过点P的切线的不同16. 若的内角，满足，则当取最大值时，角大小为 【答案】【解析】【详
12、解】，,当且仅当时取等号，因此当取最大值时，角为（若与三角形最多一个钝角矛盾）三解答题（本大题共7小题，共82.0分）17. 已知ABC的内角A，B，C的对边分别为a、b、c，满足（1）求角B的大小；（2）若a1，b2ac，求ABC的面积.【答案】（1）；（2）.【解析】【分析】（1）由，利用正弦定理得到，进而可得cosB的值即可；（2）利用余弦定理结合，b2ac和（1）结论，得到（ac）20即可.【详解】（1）根据题意，ABC中，因为，所以，即，又sin（A+B）sinC0，则cosB ，又因为B（0，），所以B ；（2）根据题意，ABC中，有b2ac，由余弦定理可得，所以aca2+c2ac
13、，即（ac）20，解得ac1，故ABC为正三角形，故.【点睛】本题考查三角形中的几何计算以及正弦定理与余弦定理的应用，还考查了运算求解的能力，属于中档题.18. 已知等比数列的前项和为，公比，.（1）求数列的通项公式；（2）设，求的前项和.【答案】（1）；（2）【解析】【分析】（1）先求出，从而，解得，再由，得，从而求出数列的通项公式.（2）由，利用错位相减法能求出的前项和.【详解】（1）等比数列的前项和为，公比，即，解得或（舍去）.又，代入，解得，；（2），的前项和：，得：，.【点睛】本题考查等比数列的通项公式前项和公式，数列前项和的求法，解题时要认真审题，注意错位相减法的合理运用，属于常考
14、题型.19. 如图，四棱锥的底面是直角梯形，点在线段上，且，平面.（1）求证：平面平面；（2）当四棱锥的体积最大时，求平面与平面所成二面角的余弦值.【答案】（1）见解析;（2）.【解析】【详解】（1）由可得，易得四边形是矩形，又平面，平面，又，平面，平面，又平面，平面平面（2）四棱锥的体积为，要使四棱锥的体积取最大值，只需取得最大值.由条件可得，即，当且仅当时，取得最大值36.分别以所在直线为轴、轴、轴建立空间直角坐标系.则，设平面的一个法向量为，由，可得，令可得，同理可得平面的一个法向量为，设平面与平面所成二面角为，.由于平面与平面所成角为锐二面角，所以余弦值为.20. 已知函数f（x）x2
15、+bsinx2，（bR），F（x）f（x）+2，且对于任意实数x，恒有F（x5）F（5x）（1）求函数f（x）的解析式；（2）已知函数g（x）f（x）+2（x+1）+alnx在区间（0，1）上单调，求实数a取值范围；（3）函数有几个零点？【答案】（1）f（x）x22（2）a0或a4（3）当k时，无零点；当k1或k时，有两个零点；当k1时，有三个零点；当时，有四个零点【解析】【分析】（1）先表示出函数F（x）的表达式，再根据F（x5）F（5x）求出b的值，进而可确定函数f（x）的解析式（2）将（1）中求出的函数f（x）的解析式代入函数g（x）然后求导，将问题转化为g（x）0或g（x）0在（0，1
16、）上恒成立（3）对函数h（x）进行求导，然后根据导函数的正负和原函数的单调性的关系判断函数的单调性，进而确定零点【详解】（1）由题设得：F（x）x2+bsinx，F（x5）F（5x），F（x）F（x）x2bsinxx2+bsinx，bsinx0对于任意实数x都成立，b0f（x）x22（2）由g（x）f（x）+2（x+1）+alnxx2+2x+alnx，得g（x）在（0，1）上恒单调，只需g（x）0或g（x）0在（0，1）上恒成立即2x2+2x+a0或2x2+2x+a0在（0，1）上恒成立a（2x2+2x）或a（2x2+2x）在（0，1）上恒成立设u（x）（2x2+2x），x（0，1），易知：u
17、（x）（4，0），a0或a4（3）令，令y0x0或x1或x1，列表如下：增极大值减极小值增极大值减当k时，无零点；当k1或k时，有两个零点；当k1时，有三个零点；当时，有四个零点【点睛】本题主要考查函数的单调性、极值点与其导函数之间的关系对原函数进行求导，然后列出函数f（x）、f（x）随x变化的表格，其单调性、极值点即可呈现出来，考查了函数零点问题的解决方法，属于中档题21. 已知函数.（1）讨论的单调性；（2）若在上存在最大值，证明：.【答案】（1）当时， 在上单调递减；当时，在上单调递增，在上单调递减；（2） 证明见解析.【解析】【分析】（1）求得函数的导数，分类讨论，即可求解函数的单调区
18、间；（2）由（1）知，可得在上不存在最大值，当时，得到函数的最大值，设，求得函数的导数，利用导数求得函数的单调性和最值，即可作出证明.【详解】（1）解：，当时，在上单调递减，当时，由，得，在上单调递增，由，得，在上单调递减. （2）证明：易知，当时，由（1）知，在上单调递增，此时，在上不存在最大值. 当时，在上单调递增，在上单调递减，则故,设,则，因为，所以，所以在上单调递增，所以，即，因为且，所以要证，只需证，即证，设 则，则在上单调递减，从而，即，则，从而【点睛】本题主要考查导数在函数中的应用，以及不等式的证明，着重考查了转化与化归思想、逻辑推理能力与计算能力，对导数的应用的考查主要从以下
19、几个角度进行：(1)考查导数的几何意义，求解曲线在某点处的切线方程；(2)利用导数求函数的单调区间，判断单调性；已知单调性，求参数；(3)利用导数求函数的最值(极值)，解决函数的恒成立与有解问题，同时注意数形结合思想的应用.22. 在直角坐标系中，以为极点，轴正半轴为极轴建立直角坐标系，圆的极坐标方程为，直线的参数方程为（为参数），直线和圆交于两点，是圆上不同于的任意一点.（1）求圆心的极坐标；（2）求面积的最大值.【答案】（1）；（2）.【解析】【分析】（1）由圆的极坐标方程为，化为，把代入即可得出圆的直角坐标方程，从而可得圆心坐标，再化为极坐标即可；（2）把直线的参数方程化为普通方程，利用
20、点到直线的距离公式可得圆心到直线的距离，再利用弦长公式可得，利用三角形的面积计算公式，即可得出结果.【详解】（1）由圆的极坐标方程为，化为，把代入可得：圆的直角坐标方程为，即；圆心坐标为，圆心极坐标为；（2）由直线的参数方程（为参数），把代入可得直线的普通方程：，圆心到直线的距离，所以点到直线距离的最大值为，因此面积的最大值为.【点睛】本题考查了把直线的参数方程化为普通方程极坐标化为直角坐标方程点到直线的距离公式弦长公式三角形的面积计算公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题.23. 已知函数.（1）当时，求不等式的解集；（2）若二次函数与函数的图象恒有公共点，求实数的取值范围【答案】（1）
21、；（2）【解析】【分析】（1）将代入函数解析式，并将函数表示为分段函数形式，利用零点分段法可解出不等式的解集；（2）首先求得二次函数的最小值和函数的最大值，据此得到关于实数的不等式，求得不等式可得出实数的取值范围【详解】（1）当时，.当时，由，得，解得，此时，；当时，由，得，解得，此时，；当时，由由，得，解得，此时，.综上所述，不等式的解集为；（2），该函数在处取得最小值，因为，所以，函数在处取得最大值，由于二次函数与函数的图像恒有公共点，只需，即，因此，实数的取值范围是【点睛】本题考查了绝对值不等式解法，二次函数的性质，着重考查了学生对基础概念的理解，还考查了函数的恒成立问题，一般转化为最值来处理，考查了化归与转化思想的应用，属于中等题