1、课时规范练16利用导数研究函数的极值、最大(小)值基础巩固组1.如图,可导函数y=f(x)在点P(x0,f(x0)处的切线为l:y=g(x),设h(x)=f(x)-g(x),则下列说法正确的是()A.h(x0)=0,x=x0是h(x)的极大值点B.h(x0)=0,x=x0是h(x)的极小值点C.h(x0)0,x=x0不是h(x)的极值点D.h(x0)0,x=x0是h(x)的极值点2.已知函数f(x)=ex+x22-ln x的极值点为x1,函数h(x)=lnx2x的最大值为x2,则()A.x1x2B.x2x1C.x1x2D.x2x13.(2020河北石家庄检测)若函数f(x)=(1-x)(x2+
2、ax+b)的图像关于点(-2,0)对称,x1,x2分别是f(x)的极大值点与极小值点,则x2-x1=()A.-3B.23C.-23D.34.(2020安徽合肥一中模拟,12)已知关于x的不等式ax2e1-x-xln x-10恒成立,则实数a的取值范围是()A.0,1B.(-,0C.(-,1D.-,125.(2020河北邢台模拟,理12)若曲线y=xex+mx+1(x0时,讨论f(x)极值点的个数.9.(2020山西太原三模,21)已知函数f(x)=ln x+kx.(1)当k=-1时,求函数f(x)的极值点;(2)当k=0时,若f(x)+bx-a0(a,bR)恒成立,求ea-1-b+1的最大值.
3、10.(2020山东烟台模拟,22)已知函数f(x)=a2x2-x(ln x-b-1),a,bR.(1)略;(2)若f(x)在(0,+)上单调递增,且ce2a+b,求c的最大值.创新应用组11.(2020江苏南京六校5月联考,17)疫情期间,某小区超市平面图如图所示,由矩形OABC与扇形OCD组成,OA=30米,AB=50米,COD=6,经营者决定在点O处安装一个监控摄像头,摄像头的监控视角EOF=3,摄像头监控区域为图中阴影部分,要求点E在弧CD上,点F在线段AB上,设FOC=.(1)求该监控摄像头所能监控到的区域面积S关于的函数关系式,并求出tan 的取值范围;(2)求监控区域面积S最大时
4、,角的正切值.12.(2020山东济宁6月模拟,22)已知函数f(x)=x-aln x.(1)若曲线y=f(x)+b(a,bR)在x=1处的切线方程为x+y-3=0,求a,b的值;(2)求函数g(x)=f(x)+a+1x(aR)的极值点;(3)设h(x)=1af(x)+aex-xa+ln a(a0),若当xa时,不等式h(x)0恒成立,求a的最小值.参考答案课时规范练16利用导数研究函数的极值、最值1.B由题意知,g(x)=f(x0)(x-x0)+f(x0),故h(x)=f(x)-f(x0)(x-x0)-f(x0),所以h(x)=f(x)-f(x0).因为h(x0)=f(x0)-f(x0)=0
5、,又因为当xx0时,有h(x)x0时,有h(x)0,所以x=x0是h(x)的极小值点.故选B.2.Af(x)=ex+x-1x在(0,+)上递增,且f12=e12-320,f14=e14-1540,所以x114,12,ex1+x1-1x1=0.由h(x)=1-lnx2x2,可得h(x)max=h(e)=12e,即x2=12ex2.3.C由题意可得f(-2)=3(4-2a+b)=0,因为函数图像关于点(-2,0)对称,且f(1)=0,所以f(-5)=0,即f(-5)=6(25-5a+b)=0.联立b-2a+4=0,b-5a+25=0,解得b=10,a=7.故f(x)=(1-x)(x2+7x+10)
6、=-x3-6x2-3x+10,则f(x)=-3x2-12x-3=-3(x2+4x+1),由于x1,x2分别是f(x)的极大值点与极小值点,所以x1,x2是f(x)的零点,则x1+x2=-4,x1x2=1,从而x10,x2x2,因此x2-x1=-(x1+x2)2-4x1x2=-23.4.C原不等式等价于axe1-xlnx+1x(x0),当a0时,令g(x)=lnx+1x,则g(x)=1x-1x2=x-1x2,g(x)在(0,1)上递减,在(1,+)上递增,g(x)min=g(1)=1,所以lnx+1x1,显然有axe1-xlnx+1x;当a0时,令f(x)=axe1-x-lnx-1x,则f(x)
7、=1-xex-1a+ex-1x2,f(x)在(0,1)上递增,在(1,+)上递减,所以f(x)max=f(1)0即可,因为f(1)=a-1,所以0a1.综上,a1.故选C.5.A曲线y=xex+mx+1(x-1)存在两条垂直于y轴的切线,函数y=xex+mx+1(x-1)的导函数y=(x+1)ex-m(x+1)2(x-1)存在两个不同的零点,即m=(x+1)3ex在(-,-1)上有两个不同的实数解.设f(x)=(x+1)3ex(x-1),f(x)=(x+1)2ex(x+4),当x-4时,f(x)0;当-4x0.则f(x)min=f(-4)=-27e4.当x-时,f(x)0;当x-1时,f(x)
8、0,故m-27e4,0.故选A.6.0,24-ln2由题意知f(x)的定义域为(0,+),f(x)=a-1x2-2+1x=-2ax2+x-ax2.令g(x)=-2ax2+x-a,因为f(x)有极大值和极小值,故g(x)=-2ax2+x-a在区间(0,+)上有两个不相等的实数根.故-1-2a0,-a-2a0,1-4(-2a)(-a)0,即a0,a212,则当x1a,2时,f(x)0.所以f(x)在x=2处取得极小值.若a12,则当x(0,2)时,x-20,ax-112x-10.所以2不是f(x)的极小值点.综上可知,a的取值范围是12,+.8.解(1)当a=1,b=0时,f(x)=lnx-x,此
9、时,函数f(x)定义域为(0,+),f(x)=1x-12x=2-x2x,由f(x)0,得0x4,由f(x)4,所以f(x)在(0,4)上递增,在(4,+)上递减,所以f(x)max=f(4)=2ln2-2.(2)当b0时,函数f(x)定义域为0,+),f(x)=ax+b-12x=-x+2ax-b2x(x+b),当a0时,f(x)0时,设h(x)=-x+2ax-b,()当4a2-4b0,即00,即ab时,方程h(x)=0有两个不同的实数根,记方程h(x)=0的两根分别为x1,x2,则x1+x2=2a0,x1x2=b0,所以x1,x2都大于0,即f(x)在(0,+)上有2个变号零点,所以,此时f(
10、x)极值点的个数为2.综上所述,当ab时,f(x)极值点的个数为0;当ab时,f(x)极值点的个数为2.9.解(1)f(x)定义域为(0,+),当k=-1时,f(x)=lnx-x,f(x)=1x-1,令f(x)=0,得x=1,当f(x)0时,解得0x1,当f(x)1,所以f(x)在(0,1)上递增,在(1,+)上递减,所以f(x)有极大值点为x=1,无极小值点.(2)当k=0时,f(x)+bx-a=lnx+bx-a(x0).若f(x)+bx-a0(a,bR)恒成立,则lnx+bx-a0(a,bR)恒成立,所以alnx+bx恒成立.令g(x)=lnx+bx,则g(x)=x-bx2,由题意b0,函
11、数g(x)在(0,b)上递减,在(b,+)上递增,所以g(x)min=g(b)=lnb+1,所以alnb+1,所以a-1lnb,所以ea-1b,ea-1-b+11,故当且仅当ea-1=b时,ea-1-b+1取得最大值为1.10.解(1)略(2)因为f(x)在(0,+)上递增,即f(x)=ax+b-lnx0在(0,+)上恒成立,设h(x)=ax+b-lnx,则h(x)=a-1x,若a=0,则h(x)0,则h(x)在(0,+)上递减,显然f(x)=b-lnx0在(0,+)上不恒成立.若a0,则h(x)max-ba,1时,ax+b0,-lnx0,故h(x)0,当0x1a时,h(x)1a时,h(x)0
12、,h(x)递增,所以h(x)min=h1a=1+b+lna,由h(x)min0得2a+b2a-1-lna.设m(x)=2x-1-lnx,x0,则m(x)=2-1x,当0x12时,m(x)12时,m(x)0,m(x)递增.所以m(x)m12=ln2,所以2a+bln2.又ce2a+b,所以c2,即c的最大值为2.11.解(1)扇形EOC的面积为123-502=25006-25002.四边形OCBF的面积为3050-123030tan.故阴影部分的面积S=1500+12503-509tan+25.因为0,3,tan0=35,所以tan35,3.(2)令h()=9tan+25,则h()=-9sin2
13、-9cos2sin2+25=-9sin2+25.令h()=0得tan=3435,3.记其解为1,并且h()在0,1)上单调递减,在1,3上递增,所以h()的最小值为h(1),阴影部分的面积最大值为1500+12503-50h(1),此时tan1=34.即监控区域面积S最大时,角的正切值为34.12.解(1)由f(x)=x-alnx,得y=f(x)+b=x-alnx+b(x0),y=f(x)=1-ax.由已知可得f(1)=-1,f(1)+b=2,即1-a=-1,1+b=2,a=2,b=1.(2)g(x)=f(x)+a+1x=x-alnx+a+1x,g(x)=1-ax-a+1x2=(x+1)x-(
14、a+1)x2(x0),所以当a+10,即a-1时,g(x)0,g(x)在(0,+)上为增加的,无极值点;当a+10,即a-1时,则当0xa+1时,g(x)a+1时,g(x)0,g(x)在(0,a+1)上递减,在(a+1,+)上递增,所以x=a+1是g(x)的极小值点,无极大值点.综上可知,当a-1时,函数g(x)无极值点;当a-1时,函数g(x)的极小值点是a+1,无极大值点.(3)h(x)=1af(x)+aex-xa+lna=aex-lnx+lna(a0),由题意知,当xa时,aex-lnx+lna0恒成立,又不等式aex-lnx+lna0等价于aexlnxa,即ex1alnxa,即xexx
15、alnxa,由xa0知:xa1,lnxa0,所以式等价于ln(xex)lnxalnxa,即x+lnxlnxa+lnlnxa,设(x)=x+lnx(x0),则原不等式即为(x)lnxa,又(x)=x+lnx(x0)在(0,+)上为增加的,原不等式等价于xlnxa,又式等价于exxa,即axex(xa0),设F(x)=xex(x0),则F(x)=1-xex,F(x)在(0,1)上递增,在(1,+)上递减.又xa0,当0a1时,F(x)在(a,1)上递增,在(1,+)上递减,F(x)F(1)=1e,要使原不等式恒成立,须使1ea1;当a1时,则F(x)在(a,+)上递减,F(x)F(1)=1e,要使原不等式恒成立,须使a1e,当a1时,原不等式恒成立.综上可知,a的取值范围是1e,+,故a的最小值为1e.