1、8立体几何一、选择题【2017，7】某多面体的三视图如图所示，其中正视图和左视图都由正方形和等腰直角三角形组成，正方形的边长为2，俯视图为等腰直角三角形，该多面体的各个面中有若干个是梯形，这些梯形的面积之和为（ ）A10 B12 C14 D16【2016，11】平面过正方体的顶点，平面，平面 ，平面，则所成角的正弦值为A BC D【2016，6】如图，某几何体的三视图是三个半径相等的圆及每个圆中两条相互垂直的半径若该几何体的体积是，则它的表面积是（ ）ABCD【2015，6】九章算术是我国古代内容极为丰富的数学名著，书中有如下问题：“今有委米依垣内角，下周八尺，高五尺问：积及为米几何？”其意思
2、为：“在屋内墙角处堆放米（如图，米堆为一个圆锥的四分之一），米堆底部的弧长为8尺，米堆的高为5尺，问米堆的体积和堆放的米各为多少？”已知1斛米的体积约为162立方尺，圆周率约为3，估算出堆放的米约有（ ）A14斛 B22斛 C36斛 D66斛【2015，11】圆柱被一个平面截去一部分后与半球(半径为)组成一个几何体，该几何体三视图中的正视图和俯视图如图所示 若该几何体的表面积为，则（ ）A1 B2 C4 D8 【2015年，11题】 【2014年，12题】 【2013年，6题】【2014，12】如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗实线画出的是某多面体的三视图，则该多面体的个条棱中，最长的棱的长
3、度为（ ） 6 4【2013，6】如图，有一个水平放置的透明无盖的正方体容器，容器高8 cm，将一个球放在容器口，再向容器内注水，当球面恰好接触水面时测得水深为6 cm，如果不计容器的厚度，则球的体积为()Acm3 Bcm3 Ccm3 Dcm3【2013，8】某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为()A168 B88 C1616 D816【2013年，8】 【2012年，7】 【2011年，6】 【2012，7】如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗线画出的是某几何体的三视图，则此几何体的体积为（ ）A6 B9 C12 D【2012，11】已知三棱锥SABC的所有顶点都在球O的球面上，AB
4、C是边长为1的正三角形，SC为球O的直径，且SC=2，则此棱锥的体积为（ ）A B C D【2011，6】在一个几何体的三视图中，正视图和俯视图如右图所示，则相应的侧视图可以为（ ）二、填空题【2011，15】已知矩形的顶点都在半径为4的球的球面上，且,则棱锥的体积为 三、解答题【2017，18】如图，在四棱锥P-ABCD中，AB/CD，且 （1）证明：平面PAB平面PAD；（2）若PA=PD=AB=DC,求二面角A-PB-C的余弦值【2016，18】 如图，在以为顶点的五面体中，面为正方形，且二面角与二面角都是（）证明：平面平面；（）求二面角的余弦值【2015，18】如图，四边形为菱形，是平
5、面同一侧的两点，平面，平面，（I）证明：平面平面；（II）求直线与直线所成角的余弦值【2014，19】如图三棱柱中，侧面为菱形，() 证明：；（）若，AB=BC，求二面角的余弦值【2013，18】如图，三棱柱ABCA1B1C1中，CACB，ABAA1，BAA160(1)证明：ABA1C；(2)若平面ABC平面AA1B1B，ABCB，求直线A1C与平面BB1C1C所成角的正弦值【2012，19】如图，直三棱柱ABCA1B1C1中，AC=BC=AA1，D是棱AA1的中点，DC1BD（1）证明：DC1BC；（2）求二面角A1BDC1的大小【2011，18】如图，四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为平
6、行四边形，DAB=60,AB=2AD,PD底面ABCD()证明：PABD；()若PD=AD，求二面角A-PB-C的余弦值7立体几何（解析版）一、选择题【2017，7】某多面体的三视图如图所示，其中正视图和左视图都由正方形和等腰直角三角形组成，正方形的边长为2，俯视图为等腰直角三角形，该多面体的各个面中有若干个是梯形，这些梯形的面积之和为（ ）A10 B12 C14 D16（7）【解析】由三视图可画出立体图，该立体图平面内只有两个相同的梯形的面，故选B；【2016，11】平面过正方体的顶点，平面，平面 ，平面，则所成角的正弦值为A BC D【解析】如图所示：，若设平面平面，则又平面平面，结合平面
7、平面，故，同理可得：故、的所成角的大小与、所成角的大小相等，即的大小而（均为面对交线），因此，即故选A【2016，6】如图，某几何体的三视图是三个半径相等的圆及每个圆中两条相互垂直的半径若该几何体的体积是，则它的表面积是（ ）ABCD【解析】：原立体图如图所示：是一个球被切掉左上角的后的三视图表面积是的球面面积和三个扇形面积之和故选A【2015，6】九章算术是我国古代内容极为丰富的数学名著，书中有如下问题：“今有委米依垣内角，下周八尺，高五尺.问：积及为米几何？”其意思为：“在屋内墙角处堆放米（如图，米堆为一个圆锥的四分之一），米堆底部的弧长为8尺，米堆的高为5尺，问米堆的体积和堆放的米各为多
8、少？”已知1斛米的体积约为1.62立方尺，圆周率约为3，估算出堆放的米约有（ ）A14斛 B22斛 C36斛 D66斛解析：，圆锥底面半径，米堆体积，堆放的米约有，选B.【2015，11】圆柱被一个平面截去一部分后与半球(半径为)组成一个几何体，该几何体三视图中的正视图和俯视图如图所示. 若该几何体的表面积为，则（ ）A1 B2 C4 D8解析：由正视图和俯视图知，该几何体是半球和半个圆柱的组合体，圆柱的半径与球的半径都，圆柱的高为，其表面积为，解得，故选B. 【2014，12】如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗实线画出的是某多面体的三视图，则该多面体的个条棱中，最长的棱的长度为（ ）. .
9、 .6 .4【解析】如图所示，原几何体为三棱锥，其中，故最长的棱的长度为，选C【2013，6】如图，有一个水平放置的透明无盖的正方体容器，容器高8 cm，将一个球放在容器口，再向容器内注水，当球面恰好接触水面时测得水深为6 cm，如果不计容器的厚度，则球的体积为()Acm3 Bcm3 Ccm3 Dcm3解析：设球半径为R，由题可知R，R2，正方体棱长一半可构成直角三角形，即OBA为直角三角形，如图BC2，BA4，OBR2，OAR，由R2(R2)242，得R5，所以球的体积为(cm3)，故选A.【2013，8】某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为()A168 B88 C1616 D816
10、答案：A解析：由三视图可知该几何体为半圆柱上放一个长方体，由图中数据可知圆柱底面半径r2，长为4，在长方体中，长为4，宽为2，高为2，所以几何体的体积为r24422816.故选A.【2012，7】如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗线画出的是某几何体的三视图，则此几何体的体积为（ ）A6 B9 C12 D【解析】由三视图可知，该几何体为三棱锥A-BCD，底面BCD为底边为6，高为3的等腰三角形，侧面ABD底面BCD，AO底面BCD，因此此几何体的体积为，故选择B【2012，11】已知三棱锥SABC的所有顶点都在球O的球面上，ABC是边长为1的正三角形，SC为球O的直径，且SC=2，则此棱锥的体
11、积为（ ）A B C D【解析】如图所示，根据球的性质，知平面，则在直角中，所以因此三棱锥SABC的体积，故选择A【2011，6】在一个几何体的三视图中，正视图和俯视图如右图所示，则相应的侧视图可以为（ ）解析：条件对应的几何体是由底面棱长为r的正四棱锥沿底面对角线截出的部分与底面为半径为r的圆锥沿对称轴截出的部分构成的故选D二、填空题【2011，15】已知矩形的顶点都在半径为4的球的球面上，且,则棱锥的体积为 解析：设ABCD所在的截面圆的圆心为M,则AM=,OM=，.三、解答题【2017，18】如图，在四棱锥P-ABCD中，AB/CD，且 （1）证明：平面PAB平面PAD；（2）若PA=P
12、D=AB=DC,求二面角A-PB-C的余弦值【解析】（1）证明：，又，又，、平面，平面，又平面，平面平面（2）取中点，中点，连接，四边形为平行四边形，由（1）知，平面，平面，又、平面，又，、两两垂直，以为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系，设，、，、，设为平面的法向量，由，得，令，则，可得平面的一个法向量，又知平面，平面，又，平面，即是平面的一个法向量，由图知二面角为钝角，所以它的余弦值为【2016，18】 如图，在以为顶点的五面体中，面为正方形，且二面角与二面角都是（）证明：平面平面；（）求二面角的余弦值【解析】：为正方形，面，面，平面平面由知，平面，平面平面，平面面面，四边形为等腰梯形
13、以为原点，如图建立坐标系，设，设面法向量为，即，设面法向量为，.即，设二面角的大小为.，二面角的余弦值为【2015，18】如图，四边形为菱形，是平面同一侧的两点，平面，平面，.（I）证明：平面平面；（II）求直线与直线所成角的余弦值.解：（）证明：连接，设，连接，.在菱形中，不妨设，由，可得，由平面，可知.又，所以，且.在中，可得,故.在中，可得.在直角梯形中，由，可得.因为，所以，又，则平面.因为平面，所以平面平面. 6分（）如图，以为坐标原点，分别以的方向为轴，轴正方向，为单位长度，建立空间直角坐标系，由（）可得，.故.所以直线与直线所成的角的余弦值为. 12分【2014，19】如图三棱柱
14、中，侧面为菱形，.() 证明：；（）若，AB=BC求二面角的余弦值.【解析】：()连结，交于O，连结AO因为侧面为菱形，所以，且O为与的中点又，所以平面，故=又，故 （）因为且O为的中点，所以AO=CO=又因为AB=BC=，所以故OAOB，从而OA，OB，两两互相垂直以O为坐标原点，OB的方向为x轴正方向，OB为单位长，建立如图所示空间直角坐标系O-因为，所以为等边三角形又AB=BC=，则，设是平面的法向量，则，即 所以可取设是平面的法向量，则，同理可取则，所以二面角的余弦值为.【2013，18】如图，三棱柱ABCA1B1C1中，CACB，ABAA1，BAA160.(1)证明：ABA1C； (
15、2)若平面ABC平面AA1B1B，ABCB，求直线A1C与平面BB1C1C所成角的正弦值证明：(1)取AB的中点O，连结OC，OA1，A1B.因为CACB，所以OCAB.由于ABAA1，BAA160，故AA1B为等边三角形，所以OA1AB.因为OCOA1O，所以AB平面OA1C.又A1C平面OA1C，故ABA1C.(2)解：由(1)知OCAB，OA1AB.又平面ABC平面AA1B1B，交线为AB，所以OC平面AA1B1B，故OA，OA1，OC两两相互垂直以O为坐标原点，的方向为x轴的正方向，|为单位长，建立如图所示的空间直角坐标系Oxyz.由题设知A(1,0,0)，A1(0，0)，C(0,0，
16、)，B(1,0,0)则(1,0，)，(1，0)，(0，)设n(x，y，z)是平面BB1C1C的法向量，则即可取n(，1，1)故cosn，.所以A1C与平面BB1C1C所成角的正弦值为.【2012，19】如图，直三棱柱ABCA1B1C1中，AC=BC=AA1，D是棱AA1的中点，DC1BD（1）证明：DC1BC；（2）求二面角A1BDC1的大小【解析】（1）在中，得：， 同理：， 得：又DC1BD，所以平面而平面，所以（2）解法一：（几何法）由面 取的中点，连接， 因为，所以，因为面面，所以面，从而，又DC1BD，所以面，因为平面，所以由，BDDC1，所以为二面角A1BDC1的平面角 设，则，在
17、直角，所以 因此二面角的大小为解法二：（向量法）由面又平面，所以，以C点为原点，CA、CB、CC1所在直线分别为轴、轴、轴建立空间直角坐标系不妨设AA1=2，则AC=BC=AA1=1，从而A1（1，0，2），D（1，0，1），B（0，1，0），C1（0，0，2），所以，设平面的法向量为，则，所以，即，令，则设平面的法向量为，则，所以，即，令，则所以，解得因为二面角为锐角，因此二面角的大小为【2011，18】如图，四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为平行四边形，DAB=60,AB=2AD,PD底面ABCD.()证明：PABD；()若PD=AD，求二面角A-PB-C的余弦值解：（I）因为，由余弦定理得. 从而，故. 又底面，可得. 所以平面. 故. （II）如图，以为坐标原点，的长为单位长，射线为轴的正半轴建立空间直角坐标系，则，设平面的法向量为，则，即. 因此可取. 设平面的法向量为，则，可取. . 故二面角的余弦值为.