1、第一章 解三角形 1.1 正弦定理和余弦定理 1.1.1 正弦定理 第1课时 正弦定理(1)学 习 目 标核 心 素 养 1.通过对任意三角形边长和角度关系的探索，掌握正弦定理的内容及其证明(难点)2.能运用正弦定理与三角形内角和定理解决简单的解三角形问题(重点)1.通过对正弦定理的推导及应用正弦定理判断三角形的形状，培养学生逻辑推理的核心素养2.借助利用正弦定理求解三角形的边长或角的大小的学习，培养学生数学运算的核心素养自 主 预 习 探 新 知 1正弦定理所对角的正弦asin A bsin Bcsin C思考：如图所示，在 RtABC 中，asin A，bsin B，csin C各自等于什
2、么？提示 asin A bsin Bcsin Cc.2解三角形(1)一般地，把三角形的 和它们的 叫做三角形的元素(2)已知三角形的几个元素求 的过程叫做解三角形三个角 A，B，C对边 a，b，c其他元素思考：利用正弦定理可以解决哪两类有关三角形问题？提示 利用正弦定理可以解决以下两类有关三角形的问题：已知两角和任意一边，求其他两边和第三个角；已知两边和其中一边的对角，求另一边的对角，从而求出其他的边和角B 在ABC 中，由正弦定理 asin A bsin B，得absin Asin B.1在ABC 中，若角 A，B，C 的对边分别是 a，b，c，则下列各式一定成立的是()Aabcos Aco
3、s B Babsin Asin BCa sin Bb cos ADa cos Bb sin A2 3 由正弦定理得：3 2sin 60ACsin 45，所以 AC3 2sin 45sin 602 3.2在ABC 中，若 A60，B45，BC3 2，则 AC 2 AC 边上的高为 AB sin Ac sin A2sin 45 2.3在ABC 中，A45，c2，则 AC 边上的高等于 2 由正弦定理得：3sin 33sin B，所以 sin B12.又 ab，所以 AB，所以 B6，所以 C36 2.4在ABC 中，若 a3，b 3，A3，则 C 合 作 探 究 释 疑 难【例 1】在钝角ABC
4、中，证明正弦定理正弦定理证明证明 如图，过 C 作 CDAB，垂足为 D，D 是 BA 延长线上一点，根据正弦函数的定义知：CDb sin CADsin(180A)sin A，CDa sin B.CDb sin Aa sin B.asin A bsin B.同理，bsin Bcsin C.故 asin A bsin Bcsin C.1本例用正弦函数定义沟通边与角内在联系，充分挖掘这些联系可以使你理解更深刻，记忆更牢固2要证 asin A bsin B，只需证 a sin Bb sin A，而 a sin B，b sin A都对应同一线段初看是神来之笔，仔细体会还是有迹可循的，通过体会思维的轨迹
5、，可以提高我们的分析解题能力跟进训练1如图所示，锐角ABC 的外接圆 O 半径为 R，证明 asin A2R.证明 连接 BO 并延长，交外接圆于点 A，连接 AC，则圆周角AA.AB 为直径，长度为 2R，ACB90，sin ABCAB a2R，sin A a2R，即 asin A2R.【例 2】在ABC 中，已知 c10，A45，C30，解这个三角形解 因为 A45，C30，所以 B180(AC)105.由 asin Acsin C得 ac sin Asin C 10sin 45sin 3010 2.因为 sin 75sin(3045)sin 30cos 45cos 30sin 45 2
6、64，所以 bc sin Bsin C 10sin（AC）sin 3020 2 645 25 6.已知两角及一边解三角形已知三角形的两角和任一边解三角形的思路(1)若所给边是已知角的对边时，可由正弦定理求另一角所对边，再由三角形内角和定理求出第三个角(2)若所给边不是已知角的对边时，先由三角形内角和定理求出第三个角，再由正弦定理求另外两边跟进训练2在ABC 中，a5，B45，C105，求边 c.解 由三角形内角和定理知 ABC180，所以 A180(BC)180(45105)30.由正弦定理 asin Acsin C，得 casin Csin A5sin 105sin 305sin（6045）
7、sin 305sin 60cos 45cos 60sin 45sin 3052(6 2).【例 3】(1)ABC 的内角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c.已知C60，b 6，c3，则 A (2)在ABC 中，已知 c 6，A45，a2，解这个三角形已知两边及一边的对角解三角形(1)75 由题意得：bsin Bcsin C，所以 sin Bb sin Cc6 32322，因为 bc，所以 B45，所以 A180BC75.(2)解 因为 asin Acsin C，所以 sin Cc sin Aa 6sin 45232.因为 0C180，所以 C60或 C120.当 C60时，B75，bc s
8、in Bsin C 6sin 75sin 60 31；当 C120时，B15，bc sin Bsin C 6sin 15sin 120 31.所以 b 31，B75，C60或 b 31，B15，C120.已知两边及其中一边的对角解三角形的思路(1)首先由正弦定理求出另一边对角的正弦值；(2)如果已知的角为大边所对的角时，由三角形中大边对大角，大角对大边的法则能判断另一边所对的角为锐角，由正弦值可求锐角；(3)如果已知的角为小边所对的角时，则不能判断另一边所对的角为锐角，这时由正弦值可求两个角，要分类讨论跟进训练3在ABC 中，A3，BC3，AB 6，则角 C 等于()A4或34 B34C4D6
9、C 由正弦定理，得 sin Csin AABBC 22.因为 BCAB，所以AC，则 0C3，故 C4.探究问题1由asin A 2R，bsin B 2R，csin C 2R可以得到哪些变形形式？这些变形形式有什么作用？提示(角化边)sin A a2R，sin B b2R，sin C c2R，(边化角)a2R sin A，b2R sin B，c2R sin C，(边角互化)abcsin Asin Bsin C三角形形状的判断2三角形中常见边角之间的关系有哪些？提示 在ABC 中，(1)abc，|ab|c，(2)abABsin Asin B，(3)ABCsin(AB)sin C，sin AB2c
10、os C2.【例 4】在ABC 中，若 sin A2sin B cos C，且 sin2Asin2Bsin2C，试判断ABC 的形状思路探究：解决本题的关键是利用 sinA a2R，sin B b2R，sin C c2R把 sin2Asin2Bsin2C 转化为三角形三边的关系，从而判定出角A，然后再利用 sinA2sin B cos C 求解解 法一：(利用角的互余关系)根据正弦定理，得 asin A bsin Bcsin C，sin2Asin2Bsin2C，a2b2c2，A 是直角，BC90，2sinB cos C2sin B cos(90B)2sin2BsinA1，sin B 22.0B
11、90，B45，C45，ABC 是等腰直角三角形法二：(利用角的互补关系)根据正弦定理，得 asin A bsin Bcsin C，sin2Asin2Bsin2C，a2b2c2，A 是直角A180(BC)，sinA2sin B cos C，sin(BC)sin B cos Ccos B sin C2sin B cos C，sin(BC)0.又90BCb，AB45.A60或 120.当 A60时，C180456075，cb sin Csin B 2sin 75sin 45 6 22；当 A120时，C1804512015，cb sin Csin B 2sin 15sin 45 6 22.综上，可知 A60，C75，c 6 22或 A120，C15，c 6 22.点击右图进入 课 时 分 层 作 业 Thank you for watching!