1、数 学（总分150分，完成时间120分钟）一、单选题（每题5分共40分，只有一个选项正确）1.某班对八校联考成绩进行分析，利用随机数表法抽取样本时，先将60名同学的成绩按01，02，03，60进行编号，然后从随机数表第9行第5列的数开始向右读，则选出的第6个个体是(注：下表为随机数表的第8行和第9行)( )第8行第9行A. 07 B. 25 C. 42 D. 522. 函数f(x)x sin x，x，的大致图象是( ) 3. 若函数yf(x)的部分图象如图(1)所示，则图(2)所对应的函数解析式可以是( )图(1) 图(2)A. yf B. yf(2x1) C. yf D. yf4. 鲁班锁是
2、中国传统的智力玩具，起源于中国古代建筑中首创的榫卯结构，它的外观是如图所示的十字立方体，其上下、左右、前后完全对称，六根完全一样的正四棱柱体分成三组，经90榫卯起来若正四棱柱的高为8，底面正方形的边长为2，现将该鲁班锁放进一个球形容器内，则该球形容器的体积(容器壁的厚度忽略不计)的最小值为（ ） A. B. C. D. 以上结果都不对5.已知，若，则的值为（ ）A. B. 7 C. D. 以上结果都不对6. 一半径为4.8m的水轮如图所示，水轮圆心O距离水面2.4m，已知水轮每60s逆时针转动一圈，如果当水轮上点P从水中浮现时(图中点P0)开始计时，则( )A. 点P第一次到达最高点需要10s
3、B. 在水轮转动的一圈内，点P距离水面的高度不低于4.8m共有10s的时间C. 点P距离水面的高度h(单位：m)与时间t(单位：s)的函数解析式为h4.8sin 2.4D. 当水轮转动50s时，点P在水面下方，距离水面1.2m7. 在ABC中，角A，B，C分别对应边a，b，c，已知a4，c6，C2A，则b=( )A. 4 B. 5 C. 4或5 D. 无法确定8. 如图，在中，D是BC的中点，E在边AB上，BE=2EA，AD与CE交于点.若，则的值是（ ）A. B. C. D. 二、多选题（每题5分共20分，错选得零分，漏选得3分）9. 2020年春节前后，一场突如其来的新冠肺炎疫情在全国蔓延
4、疫情就是号令，防控就是责任在党中央的坚强领导和统一指挥下，全国人民众志成城、团结一心，掀起了一场坚决打赢疫情防控阻击战的人民战争下图展示了2月14日至29日全国新冠肺炎疫情的变化情况，根据该折线图，下列结论正确的是（ ） A16天中每日新增确诊病例数量均下降且19日的降幅最大B16天中新增确诊、新增疑似、新增治愈病例数量的极差均大于1500C19日至29日每日新增治愈病例数量均大于新增确诊数量D19日至29日每日新增治愈病例数量均大于新增确诊与新增疑似病例数量之和10.已知变量x，y之间的线性回归方程为0.7x10.3，且变量x，y之间的一组相关数据如下表所示，则下列说法中正确的是( )x68
5、1012y6m32A. 变量x，y之间呈正相关关系 B. 可以预测，当x20时，3.7C. m4 D. 该回归直线必过点(9，4)11.古希腊著名数学家阿波罗尼斯与欧几里得、阿基米德齐名他发现：“平面内到两个定点A，B的距离之比为定值(1)的点的轨迹是圆”后来，人们将这个圆以他的名字命名，称为阿波罗尼斯圆，简称阿氏圆在平面直角坐标系xOy中，A(2，0)，B(4，0)，点P满足. 设点P的轨迹为C，下列结论中正确的是()A. 轨迹C的方程为(x4)2y29B. 在x轴上存在异于A，B的两定点D，E，使得C. 当A，B，P三点不共线时，射线PO是APB的平分线D. 在C上存在点M，使得MO2MA
6、12. 已知ABC的外接圆半径R1，)，ABAC1，则下列说法正确的是（ ）A. BC的最小值为 B. A的最小值为 C. ABC的周长的最小值为 D. ABC的面积的最大值为三、填空题（每题5分共20分，第14题有两空第一空得2分，第二空得3分）13. 某仪器厂从新生产的一批零件中随机抽取40个检测，如图是根据抽样检测后零件的质量(单位：g)绘制的频率分布直方图，样本数据分为8组，分别为80，82)，82，84)，84，86)，86，88)，88，90)，90，92)，92，94)，94，96，则样本的中位数在第 组 (第13题)14.设连续掷两次骰子得到的点数分别为m，n，令平面向量a(m
7、，n)，b(1，3)，则事件“ab”发生的概率为 ；事件“|a|b|”发生的概率为 15. 计算：(tan 10)sin 40的值为 16. 已知函数f(x)2cos x(x0，)的图象与函数g(x)3tan x的图象交于A，B两点，则OAB(O为坐标原点)的面积为 四、解答题（17题10分，其余每题12分，共70分）17.设全集UR，函数f(x)lg (a3x)的定义域为集合A，集合B，命题p：若_，则AB，从a5，a3，a2这三个条件中选择一个条件补充到上面命题p中，使得命题p为真，请说明理由，并求A(CUB).18. 已知函数f(x)(xR).(1) 若函数f(x)为奇函数，求实数k的值
8、；(2) 在(1)的条件下，若不等式f(ax)f(x24)0对x1，2恒成立，求实数a的取值范围19已知以点P为圆心的圆经过点A(1，0)和B(3，4)，线段AB的垂直平分线交圆P于点C和D，且CD4. (1) 求直线CD的方程；(2) 求圆P的方程20.如图，在三棱锥P-ABC中，平面PAB平面ABC，ACBC，ACBC2a，O，D分别是AB，PB的中点，POAB.(1) 若PA2a，求异面直线PA与CD所成角的余弦值的大小；(2) 若二面角A-PB-C的余弦值的大小为，求PA的长(第20题)21.某地为响应习总书记关于生态文明建设的指示精神，大力开展“青山绿水”工程，造福于民为此，当地政府
9、决定将一扇形荒地改造成市民休闲中心，其中扇形内接矩形区域为市民健身活动场所，其余区域(阴影部分)改造为景观绿地(种植各种花草)，如图(1).已知该扇形OAB的半径为200 m，AOB60，点Q在OA上，点M，N在OB上，点P在弧AB上，设POB.(1) 若矩形MNPQ是正方形，求tan 的值；(2) 为方便市民观赏绿地景观，从P点处向OA，OB修建两条观赏通道PS和PT(宽度不计)，使PSOA，PTOB，其中PT依PN而建，如图(2)，为让市民有更多时间观赏，希望PSPT最长，试问：此时点P应在何处？说明你的理由(第21题)22.已知函数f(x)x2ax6(a为常数，aR).给出下列四个函数：
10、g1(x)2x1；g2(x)3x；g3(x)log2x；g4(x)cos x.(1) 当a5时，求不等式f(g2(x)0的解集；(2) 求函数yf(g4(x)的最小值；(3) 在给出的四个函数中，请选择一个函数(不需写出选择过程和理由)，该函数记为g(x)，g(x)满足条件：存在实数a，使得关于x的不等式f(g(x)0的解集为s，t，其中常数s，tR，且s0.对选择的g(x)和任意x2，4，不等式f(g(x)0恒成立，求实数a的取值范围参考答案一、单选题（每题5分共40分，只有一个选项正确）1. D 2. A 3. B 4. A 5. B 6. C 7. B 8.A二、多选题（每题5分共20分
11、，错选得零分，漏选得3分）9. BC 10. BD 11. BC 12. A B D三、填空题（每题5分共20分，第14题有两空第一空得2分，第二空得3分）13.四 14. ； 15. -1 16. 四、解答题（17题10分，其余每题12分，共70分）17.设全集UR，函数f(x)lg (a3x)的定义域为集合A，集合B，命题p：若_，则AB，从a5，a3，a2这三个条件中选择一个条件补充到上面命题p中，使得命题p为真，请说明理由，并求A(CUB).解：根据题意可得解不等式可得axa3，所以Ax|axa3，Bx|2x52分当a5时，Ax|axa3x|5x2，此时AB，即命题p为假命题，故不取；
12、4分当a3时，Ax|axa3x|3x0，此时ABx|2x0，即命题p为真命题，UBx|x5，所以A(UB)x|3x2；7分当a2时，Ax|axa3x|2x5，此时ABx|2x5， 即命题p为真命题，UBx|x5，所以A(UB).10分18. 已知函数f(x)(xR).(1) 若函数f(x)为奇函数，求实数k的值；(2) 在(1)的条件下，若不等式f(ax)f(x24)0对x1，2恒成立，求实数a的取值范围解：(1) 因为f(x)为奇函数且定义域为R，则f(0)0，即0，所以k1.2分当k1时，因为f(x)f(x)，满足条件f(x)为奇函数故k1 4分.(2) 由不等式f(ax)f(x24)0对
13、x1，2恒成立得f(x24)f(ax)对x1，2恒成立，因为f(x)为奇函数，所以f(x24)f(ax)对x1，2恒成立(*).在R上任取x1，x2，且x1x1，所以12x10，12x20，2x22x10，所以f(x1)f(x2)0，即f(x1)f(x2)，所以函数f(x)在区间(，)上单调递减，所以(*)可化为x24ax对x1，2恒成立，即x2ax40对x1，2恒成立8分（没证明单调性扣2分）令g(x)x2ax4.因为g(x)的图象是开口向上的抛物线，所以由g(x)0对x1，2恒成立可得即解得3a0，所以实数a的取值范围是3，0. 12分19已知以点P为圆心的圆经过点A(1，0)和B(3，4
14、)，线段AB的垂直平分线交圆P于点C和D，且CD4. (1) 求直线CD的方程；(2) 求圆P的方程解：(1) 由题意知，直线AB的斜率k1，中点坐标为(1，2)，所以直线CD的方程为y2(x1)，即xy30. 4分(2) 设圆心P(a，b)，则由点P在直线CD上，得ab30.又因为直径CD4，所以PA2，所以(a1)2b240.由解得或所以圆心P(3，6)或P(5，2)，10分所以圆P的方程为(x3)2(y6)240或(x5)2(y2)240. 12分20.如图，在三棱锥PABC中，平面PAB平面ABC，ACBC，ACBC2a，O，D分别是AB，PB的中点，POAB.(1) 若PA2a，求异
15、面直线PA与CD所成角的余弦值的大小；(2) 若二面角APBC的余弦值的大小为，求PA的长(第20题)解(1) 连接OC.因为平面PAB平面ABC，平面PAB平面ABCAB，POAB，PO面PAB所以PO平面ABC，所以POOC. 2分因为ACBC2a，O是AB的中点，所以OCAB，且OAOBOCa.如图，建立空间直角坐标系Oxyz.(第5题)PA2a，则POa，A(0，a，0)，B(0，a，0)，C(a，0，0)，P(0，0，a)，D.从而(0，a，a)，.所以cos ，所以异面直线PA与CD所成角的余弦值的大小为.6分（负的扣1分）(2) 设POh，则P(0，0，h).因为 POOC，OC
16、AB，所以OC平面PAB.从而(a，0，0)是平面PAB的一个法向量不妨设平面PBC的一个法向量为n(x，y，z)，因为(0，a，h)，(a，a，0)，所以即不妨令x1，则y1，z，即n.9分由已知，得，化简得h2a2，所以PAa. 12分21.某地为响应习总书记关于生态文明建设的指示精神，大力开展“青山绿水”工程，造福于民为此，当地政府决定将一扇形荒地改造成市民休闲中心，其中扇形内接矩形区域为市民健身活动场所，其余区域(阴影部分)改造为景观绿地(种植各种花草)，如图(1).已知该扇形OAB的半径为200 m，AOB60，点Q在OA上，点M，N在OB上，点P在弧AB上，设POB.(1) 若矩形
17、MNPQ是正方形，求tan 的值；(2) 为方便市民观赏绿地景观，从P点处向OA，OB修建两条观赏通道PS和PT(宽度不计)，使PSOA，PTOB，其中PT依PN而建，如图(2)，为让市民有更多时间观赏，希望PSPT最长，试问：此时点P应在何处？说明你的理由(第21题)解(1) 在RtPON中， PN200sin ，ON200cos ，在RtOQM中，QMPN200sin ，OMsin ， 所以MNONOM200cos sin .因为矩形MNPQ是正方形，所以MNPN，所以200cos sin 200sin ，所以sin 200cos ，所以tan 6分.(2) 因为POM，所以POQ60，P
18、SPT200sin 200sin (60)200(sin cos sin )200(sin cos )200sin (60)，060，所以6090，即30时，PSPT最大，此时P是弧的中点12分（定义域不写扣1分；点P位置不写扣1分）22.已知函数f(x)x2ax6(a为常数，aR).给出下列四个函数：g1(x)2x1；g2(x)3x；g3(x)log2x；g4(x)cos x.(1) 当a5时，求不等式f(g2(x)0的解集；(2) 求函数yf(g4(x)的最小值；(3) 在给出的四个函数中，请选择一个函数(不需写出选择过程和理由)，该函数记为g(x)，g(x)满足条件：存在实数a，使得关于
19、x的不等式f(g(x)0的解集为s，t，其中常数s，tR，且s0.对选择的g(x)和任意x2，4，不等式f(g(x)0恒成立，求实数a的取值范围解 (1) 当a5时，f(x)x25x6.令g2(x)，则2560，解得6或1，所以3x1(无解，舍去)或3x6，故x1log32，所以f(g2(x)0的解集为1log32，). 3分(2) 令tg4(x)cos x，xR，则t1，1.函数yf(g4(x)的最小值即为h(t)t2at6，t1，1的最小值当1，1，即2a2时，h(t)min6；当1，即a1，即a2时，h(t)minh(1)a5.综上，ymin7分(3) 取g(x)g3(x)log2x.令log2x，设2a60的解集为1，2，由12得21x22，故f(g3(x)0的解集为21，22，取s21，则s0，故g3(x)满足条件当x2，4时，1，2，故f()0在1，2上恒成立，故解得a1.所以实数a的取值范围是1，). 12分