1、求随机变量的均值 11001055220010(1,2,3,4)1nnn一批产品共件，其中有件次品，为了检验其质量，从中随机抽出 件，求这 件产品中次品数的期望值；袋中有个大小相同的球，其中记上 号的有个，记上 号的有 个 现从袋中任取一球 表示所取球的标号求 的分布列【例】和期望 X.XXH 5,10,1005 10E X0.11500nMN设次品数为随机变量根据题意，服从超几何分布，即，所以其期析】望【解 11131E012341.5.220105220的分布列为所以由期望的定义可得01234P1201211032015一般情况下，随机变量的期望要利用定义式，其中x1，x2，xn为随机变量
2、X的取值，p1，p2，pn分别为对应的概率当随机变量服从特殊分布时，其均值(期望)可以直接利用公式求解1E(X)=pniiix【变式练习1】(1)有一批数量很大的商品次品率为1%，从中任意地连续取出200件商品，设其中次品数为X，求E(X)(2)一个盒子里有n-1个白球，1个红球，从中随机抽取，若抽到白球，则被抛弃，若抽到红球则停止，求抛弃次数Z的期望E(X)【解析】(1)因为商品数量很大，所以连续取出200件商品可以看成做200次独立重复试验，故可以认为随机变量X服从二项分布，即XB(200,1%)由二项分布的期望计算公式得E(X)np2001%2.2 Z1211E Z.2nnnnn的概率分
3、布为所以1n1n1n1nZ012n1P求随机变量的方差 4E24V把 个球随机地投入 个盒子中去，设 表示空盒子的个数，求【、例】4441234434222224244241440,1,2,3.6P(0)46436P(1)46421P(2)4641P(3).464的所有可能取值为；所以 的概率布为【析】表解分AC C AC AC C AC 2811695EV.6464所以=，0123P36646642164164本题的关键是正确理解的意义，写出的分布列本题中，每个球投入到每个盒子的可能性是相等的总的投球方法数为44，空盒子的个数可能为0，此时投球方法数为A444！，所以P(=0)；空盒子的个数
4、为1时，此时投球方法数为CCA，所以P(1).同样可分析P(2)，P(3)446464！3664【变式练习2】掷两个骰子，当至少有一个5点或6点出现时，就说这次试验成功求在30次试验中成功次数 的期望和方差 B(30)144566955054E30V309399200.27依题意知，其中，所【解析以】，pp期望和方差的实际应用【例3】某城市有甲、乙、丙3个旅游景点，一位客人游览这3个景点的概率分别为0.4、0.5、0.6，且客人是否游览哪个景点互不影响设 表示客人离开该城市时游览的景点数与没有游览的景点数之差的绝对值求的概率分布及数学期望 【解析】分别记“客人游览甲景点”、“客人游览乙景点”、
5、“客人游览丙景点”为事件A1、A2、A3.由已知，A1、A2、A3相互独立，且P(A1)=0.4，P(A2)=0.5，P(A3)=0.6.客人游览的景点数的可能取值为0，1，2，3.相应地，客人没有游览的景点数的可能取值为3，2，1，0，所以的可能取值为1，3.P(=3)=P(A1 A2 A3)+P(A1 A2 A3)=P(A1)P(A2)P(A3)+P(A1)P(A2)P(A3)=0.24,P(=1)=1-0.24=0.76.所以的概率分布表为：12P0.760.24E()=10.76+30.24=1.48.解决期望与方差的应用问题的关键在于弄清随机变量、期望、方差的实际意义.3.10%Ea
6、Epa某保险公司新开设了一项保险业务若在一年内事件 发生，则该公司要赔偿 元设一年内【变式练习事件 发生的概率为 为使公司收益的期望值等于 的，则公司应该要求投保人交多少】保险金？XX(1)()0.1(0.1).(0.1)10%.xE Xxpxa pxapxapaxp ap aa设保险公司要求投保人交 元保险金，以保险公司的收益额 作为随机变量，则 的分布列为下表：，所以，解得 即投保人交元保险金时，能够使公司收益的期望值等于 的【解析】XxxaP1pp1.设随机变量B(n,p)，且E()=1.6,V()=1.28，则 n=,p=.【解析】因为E()=np=1.6,V()=np(1-p)=1.
7、28，所以 n=8,p=0.2.1 2 3 4()(1 2 3 4)3_.2._设离散型随机变量 可能取的值为、，、又 的数学期望，则 Pkakb kEab110【解析】因为离散型随机变量可能取的值为1、2、3、4，P(=k)=ak+b(k=1,2,3,4)，所以(a+b)+(2a+b)+(3a+b)+(4a+b)=1,即10a+4b=1.又的数学期望E()=3，则(a+b)+2(2a+b)+3(3a+b)+4(4a+b)=3，即30a+10b=3.由解得 a=，b=0，所以 a+b=.110110 133.abcEV随机变量 的概率分布表如下：其中，成等差数列若=，则的值是_101Pabc
8、22211,232.31311.261115(1)(0)(1).3339abcbacbacEaccaVabc 由，得，又由=，解得【，所以解析】4.甲、乙、丙三人分别独立进行某项测试，已知甲能通过测试的概率是，甲、乙、丙三人都能通过测试的概率是，甲、乙、丙三人都不能通过测试的概率是，且乙通过的概率比丙大，求测试结束后通过的人数的数学期望.25320340【解析】设乙、丙各自通过测试的概率分别为 x、y.依题意得,解得.的可能取值为0，1，2，3.P(=0)=;P(=3)=;2352033(1)(1)540 xyxyxy3412xy340320P(=1)=;P(=2)=1-P(=0)-P(=1)
9、-P(=3)=.所以E()=.231231(1)(1)(1)(1)5425422317(1)(1)542201740371733301234020402020 5.现要从甲、乙两个工人中选派一人参加技术比赛，已知他们在同样的条件下每天的产量相等，而出次品的个数的概率分布表如下：次品数(甲)012P0.10.50.4次品数(乙)0123P0.30.30.20.2根据以上条件，试问选派谁去参加技术比赛较合适？【解析】E()=00.1+10.5+20.4=1.3，E()=00.3+10.3+20.2+30.2=1.3.由于E()=E(),则甲与乙出现次品数的平均水平基本一致，因此还需考查稳定性.V(
10、)=(0-1.3)20.1+(1-1.3)20.5+(2-1.3)20.4=0.41.V()=(0-1.3)20.3+(1-1.3)20.3+(2-1.3)20.2+(3-1.3)20.2=1.21.由于V()V()，则得知乙波动较大，稳定性较差，故应选派甲去参加比赛较合适.1.求期望、方差的关键是写出概率分布表.一般分为四步：确定的取值；计算出P(=k)；写出概率分布表；利用E()的计算公式计算.2.注 意 期 望 与 方 差 的 性 质 的 应 用，E(a+b)=aE()+b,V(a+b)=a2V().在计算复杂的随机变量的期望与方差时，利用这些性质可以使问题变得非常简单.3.在实际应用时
11、，若期望相等或相差不大，则主要比较方差的大小，方差越小，则稳定性越好.4.二项分布是一种重要的常用的分布，它与独立重复试验密切相关.若B(n,p),则E()=np,V()=np(1-p).1.(2011苏州一模卷)在一次抗洪抢险中，准备用射击的方法引爆从桥上游漂流而下的一巨大汽油罐.已知只有5发子弹备用，且首次命中只能使汽油流出，再次命中才能引爆成功，每次射击命中率都是,每次命中与否互相独立.23(1)求汽油罐被引爆的概率；(2)如果引爆或子弹打光则停止射击，设射击次数为，求的概率分布表及的数学期望.【解析】(1)“汽油罐被引爆”的事件为事件A，其对立事件为A，则P(A)=，所以P(A)=.(
12、2)射击次数的可能取值为2,3,4,5,P(=2)=,P(=3)=,1455211()()333C 14552112321()()333243C224()3912212833327C P(=4)=,P(=5)=.故的概率分布表为：1232124()33327C 13442111()()3339C 2345P4982742719E()=.484179234592727927 选题感悟：期望与方差是离散型随机变量的两个重要的数字特征，是高考重点考查的知识.本题通过概率分布的计算，考查学生的推理及运算能力.4223121(2010)0X()E X某商场为促销设计了一个抽奖模型，一定数额的消费可以获得
13、一张抽奖券，每张抽奖券可以从一个装有大小相同的 个白球和 个红球的口袋中一次南京师范大学性摸出 个球，至少摸到一个红球则中奖求一次抽奖中奖的概率；若每次中奖可获得元奖金，一位顾客获得两张抽奖券，求两次抽奖所得附属中学模的奖金额之和元的概率分布和期试望拟考 1221242436A164P A.2054.15C CC CC【解析】答：设“一次抽奖中奖”为事件，则一次抽奖中奖的概率为 22X0,10,20P(X0)0.20.04P(X10)C 0.8 0.20.32P(X20)0.80.64.XE X0 0.0410 0.3220 0.64162.可取，的分布列为析【解】X01020P0.040.320.64