1、13二项式定理1.3.1二项式定理Q牛顿善于在日常生活中思考，他取得了科学史上一个个重要的发现有一次，他在向一位姑娘求婚时思想又开了小差，他脑海中只剩下了无穷量的二项式定理，他抓住姑娘的手指，错误地把它当成通烟斗的通条，硬往烟斗里塞，痛得姑娘大叫，离他而去那么，什么是二项式定理？二项式定理的无穷魅力在哪里？X二项式定理及相关的概念二项式定理概念公式(ab)n_CanCan1bCan2b2CanrbrCbn(nN)_称为二项式定理二项式系数各项系数_C_(r0,1,2，n)叫做展开式的二项式系数二项式通项Canrbr是展开式中的第_r1_项，可记作Tr1Canrbr(其中0rn，rN，nN)二项
2、展开式CanCan1bCan2b2CanrbrCbn(nN)备注在二项式定理中，如果令a1，bx，则得到公式(1x)n_1CxCx2CxrCxn_(nN)Y1(x)5的展开式中含x3项的二项式系数为(D)A10 B10 C5D5解析Tr1Cx5r()r(1)rCx52r，令52r3，则r1.x3项的二项式系数为C52二项式(x2)10的展开式中的常数项是(B)A第10项B第9项C第8项D第7项解析通项Tr1C(x2)10r()r2rCx20，令200得r8，常数项为第9项3在(12x)6的展开式中，x2的系数为_60_.(用数字作答)解析(12x)6的展开式的通项Tr1C(2)rxr，当r2时
3、，T3C(2)2x260x2，所以x2的系数为604(浙江高考)设二项式()5的展开式中常数项为A，则A_10_解析Tr1Cx (1)rx，令0得r3，所以AC(1)310H命题方向1求二项展开式中特定的项典例1(2019三明高二检测)已知()n展开式中第三项的系数比第二项的系数大162，求：(1)n的值；(2)展开式中含x3的项解析(1)因为T3C()n2()24Cx，T2C()n1()2Cx，依题意得4C2C162，所以2CC81，所以n281，n9(2)设第r1项含x3项，则Tr1C()9r()r(2)rCx，所以3，r1，所以第二项为含x3的项：T22Cx318x3规律总结运用二项式定
4、理的解题策略(1)正用：求形式简单的二项展开式时可直接由二项式定理展开，展开时注意二项展开式的特点：前一个字母是降幂，后一个字母是升幂形如(ab)n的展开式中会出现正负间隔的情况对较繁杂的式子，先化简再用二项式定理展开(2)逆用：逆用二项式定理可将多项式化简，对于这类问题的求解，要熟悉公式的特点、项数、各项幂指数的规律以及各项的系数特别提醒：逆用二项式定理时如果项的系数是正负相间的，则是(ab)n的形式跟踪练习1在()n的展开式中，第6项为常数项(1)求n；(2)求含x2的项的系数；(3)求展开式中所有的有理项思路分析首先由第6项为常数求项数n，再根据通项公式求x2项的系数和有理项解析Tr1C
5、()nr()rC(x)nr(x)r()rCx(1)第6项为常数项，r5时有0，n10(2)令2，得r2，所求的系数为C()2(3)根据通项公式，由题意得：令k(kZ)，则102r3k，即r5k0r10，05k10，k，又k应为偶数，k可取2,0，2，r2,5,8，第3项、第6项与第9项为有理项它们分别为C()2x2，C()5，C()8x2即x2，和命题方向2二项式定理的正用和逆用典例2(1)计算：(2019潍坊高二检测)(x1)55(x1)410(x1)310(x1)25(x1)_x51_(2)用二项式定理展开：(2x)5解析(1)(x1)55(x1)410(x1)310(x1)25(x1)(
6、x1)55(x1)410(x1)310(x1)25(x1)11(x1)151x51(2)(2x)5C(2x)5C(2x)4()C(2x)3()2C(2x)2()3C(2x)()4C()532x5120x2规律总结1.展开二项式可按照二项式定理进行展开时注意二项式定理的结构特征，准确理解二项式的特点是展开二项式的前提条件2对较复杂的二项式，有时先化简再展开会更简便3对于化简多个式子的和时，可以考虑二项式定理的逆用对于这类问题的求解，要熟悉公式的特点、项数、各项幂指数的规律以及各项的系数跟踪练习2(1)用二项式定理展开：(3)4；(2)化简：12C4C2nC解析(1)解法一：(3)4(3)4C(3
7、)3C(3)2()2C(3)()3C()481x2108x54解法二：(3)4()4(13x)41C(3x)C(3x)2C(3x)3C(3x)4(112x54x2108x381x4)54108x81x2(2)12C4C2nCC21C22C2nC(12)n3n命题方向3二项式系数与项的系数问题典例3(1)求二项式(2)6的展开式中第6项的二项式系数和第6项的系数；(2)求(x)9的展开式中x3的系数思路分析利用二项式定理求展开式中的某一项，可以通过二项展开式的通项公式进行求解解析(1)由已知得二项展开式的通项为Tr1C(2)6r()r(1)rC26rx3rT612x第6项的二项式系数为C6，第6
8、项的系数为C(1)212(2)Tr1Cx9r()r(1)rCx92r，92r3，r3，即展开式中第四项含x3，其系数为(1)3C84规律总结1.二项式系数都是组合数C(r0,1,2，n)，它与二项展开式中某一项的系数不一定相等，要注意区分“二项式系数”与二项式展开式中“项的系数”这两个概念2第r1项的系数是此项字母前的数连同符号，而此项的二项式系数为C.例如，在(12x)7的展开式中，第四项是T4C173(2x)3，其二项式系数是C35，而第四项的系数是C23280跟踪练习3(12x)5(2x)的展开式中x3项的系数是_120_解析由多项式乘法的运算法则可知，(12x)5(2x)的展开式中x3
9、项的系数是(12x)5展开式中x3项的系数的2倍与(12x)5展开式中x2项的系数的和(12x)5展开式的通项为Tr1(2)rCxr，令r3得到x3项的系数为8C80令r2得到x2项的系数为4C40，所以(12x)5(2x)的展开式中x3项的系数是80240120，故答案为120X用二项式定理处理整除性问题或求余数问题(1)解决这类问题，必须构造一个与题目条件有关的二项式如求199510除以8的余数，将1995分解为82493，即199510(82493)10，它的展开式中除末项310外，其余各项均含有8这个因数，故199510被8除的余数与310被8除的余数相同，而31095(81)5，(8
10、1)5的展开式中除最末一项1外，其余各项均含有8这个因数，故310被8除的余数为1，从而199510被8除的余数也为1(2)用二项式定理处理整除问题，通常把被除数写成除数(或与除数密切关联的数)与某数的和或差的形式，再用二项式定理展开，只考虑后面(或者是前面)一、二项就可以了(3)要注意余数的取值范围，acrb，b为余数，b0，r)，r是除数，利用二项式定理展开变形后，若剩余部分是负数要注意转换典例4(1)用二项式定理证明：11101能被100整除；(2)求9192被100除所得的余数解析(1)证明：11101(101)101(1010C109C108C101)11010C109C108102
11、100(108C107C1061)，11101能被100整除(2)9192(1009)92C10092C100919C1009092C992，展开式中前92项均能被100整除，只需求最后一项除以100的余数992(101)92C1092C1091C102C101，前91项能被100整除，后两项和为919，因余数为正，可从前面的数中分离出1000，结果为100091981，故9192被100除可得余数为81规律总结利用二项式定理可以解决余数和整除性问题，通常需将底数化成两数的和与差的形式，且这种转化形式与除数有密切的关系整除性问题或求余数问题的处理方法：(1)解决这类问题，必须构造一个与题目条件
12、有关的二项式(2)用二项式定理处理这类问题，通常把被除数的底数写成除数(或与除数密切关联的数)与某数的和或差的形式，再用二项式定理展开，只考虑后面(或者是前面)的几项就可以了跟踪练习4求0.9986的近似值，使误差小于0.001解析把0.998变成10.002，然后应用二项式定理展开因为0.9986(10.002)61C0.002C0.0022C0.0023C0.0026第三项T3150.00220.000060.001，以后各项更小，所以0.998610.0120.998Y二项式系数与项的系数问题典例5设(x)n展开式中，第二项与第四项的系数之比为12，试求含x2的项错解第二项的系数为C，第
13、四项的系数为C，故，解得n5或n2，所以Tr1Cx5r()r，由5r2得r3，即展开式中第四项为含x2的项，所以Cx2()320x2辨析错误原因：将“二项展开式的某项的二项式系数”与“二项展开式的某项的系数”混淆防范措施：深刻理解“二项展开式的某项的二项式系数”与“二项展开式的某项的系数”的区别与联系，准确应用正解(x)n展开式的第2项与第4项分别为Cxn1()nxn1，Cxn3()32Cxn3依题意得n23n40，解方程并舍去不合题意的负根，得n4(x)4展开式中第r1项为Cx4r()r.由4r2，得r2，即(x)4展开式中x2项为Cx2()212x2K1若(2x3)n3的展开式中共有15项
14、，则自然数n的值为(A)A11B12C13D14解析因为(2x3)n3的展开式中共n4项，所以n415，即n11，故选A2二项式(x3)5的展开式中的常数项为(B)A80B80C40D40解析二项式(x3)5的展开式的通项为Tr1C(x3)5r()r(1)r2rCx155r，令155r0，解得r3，所以常数项为T4(1)323C80，故选B3若CxCx2Cxn能被7整除，则x，n的值可能为(C)Ax4，n3Bx4，n4Cx5，n4Dx6，n5解析由CxCx2Cxn(1x)n1，分别将选项A，B，C，D代入检验知，仅有C适合4(1)5ab(a，b为有理数)，则ab等于_70_解析(1)51CC()2C()3C()4C()54129，a41，b29，ab4129705求(x2)10(x21)的展开式中x10的系数解析(x2)10(x21)x2(x2)10(x2)10，本题求x10的系数，只要求(x2)10展开式中x8及x10的系数由Tr1Cx10r2r，取r2得x8的系数为C22180，又x10的系数为C1，因此所求系数为1801179