1、保定三中高二年级2020年12月月考数 学一、单项选择题：本大题共8个小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.“”是“”的（ ）A充分不必要条件 B必要不充分条件C充要条件 D既不充分也不必要条件2. 某学校的教师配置及比例如图所示，为了调查各类教师的薪资状况，现采用分层抽样的方法抽取部分教师进行调查.在抽取的样本中，青年教师有30人，则该样本中的老年教师人数为（ ）A 10 B12 C18 D203.已知函数，则 （ ）A B C D 4.已知双曲线的离心率，且其虚轴长为8，则双曲线的方程为 （ ）A B C. D5.如图，在直三棱柱中，则异面直线
2、与所成角的余弦值为 （ ）A B C. D6. 已知双曲线的左、右焦点分别为为上一点，为坐标原点，若，则（ ）A 10 B9 C. 1 D1或97.过焦点为的抛物线上一点向其准线作垂线，垂足为，若直线的斜率为，则 （ ）A 2 B C. 4 D8. 在某地区某高传染性病毒流行期间，为了建立指标显示疫情已受控制，以便向该地区居民显示可以过正常生活，有公共卫生专家建议的指标是“连续7天每天新增感染人数不超过5人”，根据连续7天的新增病例数计算，下列各项中，一定符合上述指标的是（ ）平均数； 标准差； 平均数且标准差；平均数且极差小于或等于2； 众数等于1且极差小于或等于4.A B C. D二、多项
3、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得3分，有选错的得0分.9.已知双曲线，则 （ ）A的离心率为 B的虚轴长是实轴长的6倍C. 双曲线与的渐近线相同 D直线上存在一点在上10. 下图统计了截止到2019年年底中国电动汽车充电桩细分产品占比及保有量情况，关于这5次统计，下列说法错误的是（ ）A私人类电动汽车充电桩保有量增长率最高的年份是2018年B公共类电动汽车充电桩保有量的中位数是25.7万台C. 公共类电动汽车充电桩保有量的平均数为23.12万台D从2017年开始，我国私人类电动汽车充电桩占比均超过50%11.
4、已知点在抛物线上，抛物线的焦点为，延长与抛物线相交于另一点为坐标原点，则下列结论中正确的是 （ ）A抛物线的准线方程为 B抛物线的焦点坐标为C. 点的坐标为 D的面积为812. 如图，是边长为2的正方形，点分别为边的中点，将分别沿折起，使三点重合于点，则（ ）A B点在平面内的射影为的垂心C. 二面角的余弦值为D若四面体的四个顶点在同一个球面上，则该球的表面积是三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.将答案填在答题纸上13.函数在区间上的平均变化率为 14.甲、乙两人进行5轮投篮训练，每轮投篮10次，每轮投进的次数如下：甲：7，7，9，8，8；乙：4，7，7，7，9.若甲的中位数为，乙
5、的众数为，则_.15.已知曲线，过点的直线与曲线相切于点，则点的横坐标为 16.椭圆的右焦点为，定点，若椭圆上存在点，使得为等腰钝角三角形，则椭圆的离心率的取值范围是 四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17. 一个袋中装有6个大小形状完全相同的球，球的编号分别为1，2，3，4，5，6.（1）从袋中随机抽取两个球，求取出的球的编号之和为6的概率；（2）先后有放回地随机抽取两个球，两次取的球的编号分别记为和，求的概率.18. 某学校随机抽取100名考生的某次考试成绩，按照（满分100分）分为5组，制成如图所示的频率分布直方图（假定每名学生的成绩均不低于75
6、分）.已知第3组，第4组，第5组的步数成等差数列；第1组，第5组，第4组的频率成等比数列.（1）求频率分布直方图中的值，并估计抽取的100名学生成绩的中位数和平均数（同一组中的数据用该组区间的中点值作代表）；（2）若从第3组、第4组、第5组中按分层抽样的方法抽取6人，并从中选出3人，求这3人中至少有1人来自第4组的频率. 19. 已知动圆过定点，且与直线相切，圆心的轨迹为.（1）求的轨迹方程；（2）若直线交于两点，且线段的中点的坐标为，求.20. 某公司为确定下一年度投入某种产品的宣传费，需了解年宣传费对年销售量（单位：）的影响.该公司对近7年的年宣传费和年销售量数据进行了研究，发现年宣传费（
7、万元）和年销售量（单位：）具有线性相关关系，并对数据作了初步处理，得到下面的一些统计量的值.（万元）1234567（单位：）2.85.36.89.210.913.214.8（1）根据表中数据建立年销售量关于年宣传费的回归方程（结果保留到0.001）；（2）若某年宣传费为4.5万元时，求年销售量的估计值？（3）已知这种产品的年利润与的关系为，根据（1）中的结果，估算该公司应该投入多少宣传费，才能使得年利润最大.附：回归方程中的斜率和截距的最小二乘法估计公式分别为，参考数据：，21. 如图，在三棱锥中，分别为线段上的点，且，.（1）证明：；（2）求二面角的余弦值.22. 已知椭圆的离心率为，焦距为
8、2.（1）求椭圆的标准方程；（2）点为椭圆的上顶点，过点作两条直线互相垂直的直线分别与椭圆相交于两点，若，求直线的方程.附：多项式因式分解公式.试卷答案1. A 若，必有，可得，但是时，或，不一定为零.2. B 由分层抽样的特点得，所以.3. A .4. D由，得5. D 由题意有，以为坐标原点，向量方向分别为轴建立空间直角坐标系，点的坐标为，点的坐标为，点的坐标为，点的坐标为，有，异面直线与所成角的余弦值为.6. B 由双曲线定义可知，因为，所以（因为，所以舍去）或.因为，所以为线段的中点，所以.7. C 记准线与轴的交点为，因为直线的斜率为，所以，因为，所以，因为，所以.8. D 不符合，
9、符合，若极差为0或1，在的条件下，显然符合指标；若极差为2且，则每天新增感染人数的最小值与最大值有下列可能：（1）0，2；（2）1，3；（3）2，4，符合指标.符合，若众数为1且极差小于或等于4，则最大值不超过5，符合指标.9. AC 因为，所以，则，所以正确，错误，双曲线与的渐近线均为，所以正确，因为的渐近线斜率小于3，所以直线与相离，所以错误.10. ABC 观察统计图，对于选项，注意增长率与增量的区别，由增长率公式，可计算2016年到2019年各年私人类电动汽车充电桩保有量增长率，分别为687.5%，268.25%，105.60%，26.83%，因此最高的年份应为2016年，错误；对于选
10、项，由中位数的定义，可得公共类电动汽车充电桩保有量的中位数是21.4万台，错误；对于选项，由平均数的定义，可得公共类电动汽车充电桩保有量的平均数为23.02万台，错误；对于选项，根据第一幅统计图，可知从2017年开始，我国私人类电动汽车充电桩占比均超过50%，正确，故选.11. ABD 将代入抛物线方程可得，因此抛物线方程为，所以准线方程为，焦点坐标为，故正确；易知轴，所以，故错误；又因为，所以，故正确.12. ABC 由翻折可知两两垂直，旋转空间图形，取中点，建立如图所示空间直角坐标系，各点坐标如图.由，有，可知，选项正确；设点在内的投影为点，由对称性可知，点必在直线上.由，设，有，有，由，
11、有，有，可得：，由，有，可得，故为的垂心，选项正确；平面的法向量为，设平面的法向量为，由，有，取，有.由，故二面角的余弦值为，故选项正确；设四面体的外接球的半径为，有，得，故四面体外接球的表面积为，故选项错误.13. 14. 15 由题意得，则.15. 0或-1或设的坐标为，过点的切线方程为，代入点的坐标有，整理为，解得或或，故点的横坐标为0或-1或.16. 由题意，椭圆上存在点，使得为等腰钝角三角形，结合图形可知，只可能，且，而，通径为，所以，得，所以.17.解：（1）从袋中随机抽取两个球共有15种取法，取出球的编号之和为6的有，共2种取法，故所求概率；（2）先后有放回地随机抽取两个球共有3
12、6种取法，两次取的球的编号之和大于5的有，共26种取法，故所求概率.18.解：（1）设第3组，第5组的频率分别为，由题意可得，得，所以，由频率分布直方图知，中位数在，设中位数为，则，解得；（2）因为成绩较好的第3组，第4组，第5组中的人数分别为30，20，10，所以按分层抽样的方法在各组抽取的人数分别3，2，1，设第3组的3位同学为，第4组的2位同学为，第5组的1位同学为，则从6位同学中抽取3位同学有20种可能，如下：，其中第4组入选的有16种，所以至少有1人来自第4组的概率为.19.解：（1）由题设知，点到点的距离等于它到直线的距离，所以点的轨迹是以为焦点，为准线的抛物线，所以所求的轨迹方程
13、为；（2）由题意易知，直线的斜率显然存在，设直线的斜率为，则有，两式作差得，即得，因为线段的中点的坐标为，所以，则直线的方程为，即，与联立得，得，.20.解：（1）由题意，所以；（2）某年宣传费为4.5万元时，年销售量的估计值为；（3）由（1）知，可知，当时，年利润最大.21.（1）证明：由，且，则平面，平面，故，又，则平面，平面，故，因为，所以，故，又因为，所以平面，又平面，则；（2）解：由（1）知，为等腰直角三角形，过作垂直于，易知，又，故，由，得，故，以为坐标原点，分别以为轴，轴，轴的正方向建立空间直角坐标系，如图所示，则，设平面的法向量为，则，令，得，设平面的法向量为，则，令，则，故.，由图可知二面角为钝角，故二面角的余弦值为.22.解：（1）设椭圆的焦距为，由题意有，可得，又由椭圆的离心率为，可得，代入，可得，故椭圆的标准方程为；（2）由点的坐标为，设直线的方程为，联立方程，解得或，可得点的坐标为，可得直线的方程为，可得点的坐标为，.由，可得，由函数为偶函数，故只需要解方程即可，方程可化为，因式分解为，解得，由上知方程的解为或，故直线的方程为或.
