1、第2课时两个基本原理的应用Q2019年国际篮联篮球世界杯，将于2019年8月31日至9月15日在中国的北京、广州、南京、上海、武汉、深圳、佛山、东莞八座城市举行一名志愿者从广州赶赴北京为游客提供导游服务，但需在武昌停留，已知从广州到武昌每天有7个航班，从武昌到北京每天有6列火车请思考：该志愿者从广州到北京需要经历几个步骤？完成每一步各有几种方法？该志愿者从广州到北京共有多少种不同的方法？X1用两个计数原理解决计数问题时，最重要的是在开始计算之前要进行仔细分析需要分类还是需要分步应用_加法_原理时，要注意“类”与“类”之间的独立性和并列性，各类中的每个方法都能独立的将这件事情完成；应用_乘法_原
2、理时，要注意“步”与“步”之间是连续的，做一件事需分成若干个互相联系的步骤，所有步骤依次相继完成，这件事才算完成2分类要做到_不重不漏_，分类后再分别对每一类进行计数，最后用_分类加法计数原理_求和，得到总数3分步要做到_步骤完整_，步与步之间要_相互独立_，根据分步乘法计数原理，把完成每一步的方法数相乘得到总数Y1在2,3,5,7,11这五个数字中，任取两个数字组成分数，其中假分数的个数为(B)A20 B10 C5D24解析假分数的分子不小于分母故以2为分母的有4个；以3为分母的有3个；以5为分母的有2个；以7为分母的只有1个由加法原理知共有432110个2图书馆的书架有三层，第一层有3本不
3、同的数学书，第二层有5本不同的语文书，第三层有8本不同的英语书，从中任取一本书，共有不同的取法(B)A120种B16种C64种D39种解析由分类加法计数原理知，共有不同取法35816种3已知两条异面直线a，b上分别有5个点和8个点，则这13个点可以确定不同的平面个数为(C)A40B16C13D10解析分两类：第1类，直线a与直线b上8个点可以确定8个不同的平面；第2类，直线b与直线a上5个点可以确定5个不同的平面故可以确定8513个不同的平面4一植物园参观路径如图所示，若要全部参观并且路线不重复，则不同的参观路线种数共有(D)A6种B8种C36种D48种解析由题意知在A点可先参观区域1，也可先
4、参观区域2或3，每种选法中可以按逆时针参观，也可以按顺时针参观，所以第一步可以从6个路口任选一个，有6种结果，参观完一个区域后，选择下一步走法，有4种结果，参观完第二个区域，只剩下最后一个区域，有2种走法，根据分步乘法计数原理，共有64248种不同的参观路线H命题方向1两个计数原理在排数中的应用典例1从0,1,2,3,4,5这六个数字中取四个数字组成一个四位数，问：(1)能组成多少个四位数？(2)能被5整除的四位数有多少个？思路分析(1)要完成的一件事是组成四位数，所以首位数字不能是0；(2)要使所组成的四位数能被5整除，则末位数字必须是0和5中的一个解析(1)第1步，千位上的数不能取0，只能
5、取1,2,3,4,5，有5种选择；第2步，由于千位取了一个数，还剩下5个数供百位取，所以有5种选择；第3步，由于千位、百位分别取了一个数，还剩下4个数供十位取，所以有4种选择；第4步，由于千位、百位、十位分别取了一个数，还剩下3个数供个位取，所以有3种选择根据分步乘法计数原理，组成的四位数共有5543300(个)(2)因为满足要求的四位数能被5整除，所以个位上的数字只能是0或5第1类，当个位上的数字为0时，依次取千位、百位、十位上的数字，分别有5种选择、4种选择、3种选择，所以有54360个满足要求的四位数；第2类，当个位数字为5时，依次取千位、百位、十位上的数字，分别有4种选择、4种选择、3
6、种选择，所以有44348个满足要求的四位数根据分类加法计数原理，能被5整除的四位数共有6048108(个)规律总结排数问题实际就是分步问题，需要用分步乘法计数原理解决在有附加条件时，可能需要进行分类讨论，即在解决相关的排数问题时，要注意两个原理的综合应用跟踪练习1用0,1,2,3，9十个数字可组成不同的：(1)三位数_900_个；(2)无重复数字的三位数_648_个；(3)小于500且无重复数字的三位奇数_144_个解析(1)由于0不能在百位，所以百位上的数字有9种选法，十位与个位上的数字均有10种选法，所以不同的三位数共有91010900(个)(2)百位上的数字有9种选法，十位上的数字有除百
7、位上的数字以外的9种选法，个位上的数字应从剩余8个数字中选取，所以共有998648个无重复数字的三位数(3)小于500的无重复数字的三位奇数，应满足的条件是：首位只能从1,2,3,4中选，个位必须为奇数，按首位分两类：第一类，首位为1或3时，个位有4种选法，十位有8种选法，共有(48)264种第二类，首位为2或4时，个位有5种选法，十位有8种选法，共有(58)280种，由分类加法计数原理知，共有6480144种命题方向2平面区域问题典例2用5种不同的颜色给图中的四个区域涂色，每个区域涂一种颜色，若要求相邻(有公共边)的区域不同色，那么共有多少种不同的涂色方法？思路分析由于要求相邻(有公共边)的
8、区域不同色，所以可按“1号区域与4号区域同色”和“1号区域与4号区域不同色”两种情况分类，然后根据两个原理分别求解.1234解析第一类：1号区域与4号区域同色，此时可分三步来完成，第一步，先涂1号区域和4号区域，有5种涂法，第二步，再涂2号区域，只要不与1号区域和4号区域同色即可，因此有4种涂法；第三步，涂3号区域，只要不与1号区域和4号区域同色即可，因此也有4种涂法，由分步乘法计数原理知，有54480种涂法；第二类：1号区域与4号区域不同色，此时可分四步来完成，第一步，先涂1号区域，有5种涂法，第二步，再涂4号区域，只要不与1号区域同色即可，因此有4种涂法；第三步，涂2号区域，只要不与1号区
9、域和4号区域同色即可，因此有3种涂法；第四步，涂3号区域，只要不与1号区域和4号区域同色即可，因此也有3种涂法由分步乘法计数原理知，有5433180种涂法依据分类加法计数原理知，不同的涂色方法种数为80180260规律总结这是一个有限制条件的计数问题，解决方法是：特殊位置、特殊元素优先安排的原则本题是先分类再分步，而分类的标准是两个特殊位置，这样，在分类时才能做到“不重不漏”跟踪练习2(1)将3种作物全部种植在如下图所示的5块试验田里，每块种植一种作物且相邻的试验田不能种植同一种作物，不同的种植方法共有_42_种(以数字作答)(2)某城市在中心广场建造一个花圃，花圃分为6个部分(如图)现要栽种
10、4种不同颜色的花，每部分栽种一种且相邻部分不能栽种同种颜色的花，不同的栽种方法有_120_种(以数字作答)解析(1)只满足相邻实验田种植不同作物，则从左往右5块试验田分别有3,2,2,2,2种种植方法，共3222248种方法，而5块试验田只种植了2种作物共有3211116种，所以不同的种植方法有48642种(2)当与同色，则也同色或也同色，所以共有N14322148种；当与同色，则或同色，所以共有N24322148种；当与且与同色，则共有N3432124种所以共有NN1N2N3484824120种命题方向3抽取(分配)问题典例3高三年级的三个班到甲、乙、丙、丁四个工厂进行社会实践，其中甲工厂必
11、须有班级去，每班去哪个工厂可自由选择，则不同的分配方案有(C)A16种B18种C37种D48种思路分析解决此类问题可以用直接法先分类再分步，也可用排除法解析若不考虑限制条件，每个班级，都有4种选择共有44464种情况，其中工厂甲没有班级去，即每个班都选择了其他三个工厂，此时每个班级都有3种选择共有33327种方法，则符合条件的有642737种规律总结解决抽取(分配)问题的方法(1)当涉及对象的数目不大时，一般选用列举法、树状图法、框图法或者图表法(2)当涉及对象的数目很大时，一般有两种方法：直接使用分类加法计数原理或分步乘法计数原理一般地，若抽取是有顺序的就按分步进行；若是按对象特征抽取的，则
12、按分类进行间接法去掉限制条件，计算所有的抽取方法数，然后减去所有符合条件的抽取方法数即可跟踪练习33个不同的小球放入5个不同的盒子，每个盒子至多放一个小球，共有多少种不同的方法？解析把3个不同的小球分别放入5个不同的盒子里(每个盒子至多放一个球)实际上是从5个位置选3个位置用3个元素进行排列共有60种结果.00X元素重复的计数问题典例4已知集合Aa1，a2，a3，a4，集合Bb1，b2，其中aibj(i1,2,3,4，j1,2)均为实数(1)从集合A到集合B能构成多少个不同的映射？(2)能构成多少个以集合A为定义域，以集合B为值域的不同函数思路分析(1)由映射的定义可知，集合A中的每一个元素总
13、对应着B中唯一的元素；(2)依题意，集合B中的每一个元素在集合A中要有对应元素，因此只要从问题(1)的映射数中减去A中四个元素对应B中一个元素的情况即可得到(2)的解解析(1)因为集合A中的每个元素ai(i1,2,3,4)与集合B中元素的对应方法都有2种，由分步乘法计数原理，得构成AB的映射有22222416(个)(2)在(1)的映射中，a1，a2，a3，a4均对应同一个元素b1或b2的情形构不成以集合A为定义域，以集合B为值域的函数，这样的映射有2个所以构成以集合A为定义域，以集合B为值域的函数有16214(个)规律总结造成失分的原因如下：(1)混淆分类加法计数原理和分步乘法计数原理而至错；
14、(2)利用分步乘法计数原理时列式24误列为42而致错；(3)对函数概念的理解不清而致错跟踪练习4将字母a，a，b，b，c，c排成三行两列，要求每行的字母互不相同，每列的字母也互不相同，则不同的排列方法共有(A)A12种B18种C24种D36种解析第一步先排好一列，由于每列字母不同，则只能是a，b，c，共6种排列，第二步根据排好的一列进行排列，假设第一列是a，b，c，第二列只能是b，c，a或c，a，b两种，共有6212种排列Y分类计数时考虑不全致误典例5有红、黄、蓝旗各3面，每次升1面、2面、3面在某一旗杆上纵向排列，表示不同的信号，顺序不同也表示不同的信号，共可以组成多少种不同的信号？错解每次
15、升一面旗可组成3种不同的信号；每次升2面旗可组成326种不同信号；每次升3面旗可组成3216种不同的信号，根据分类加法计数原理知，共有不同信号36615种辨析每次升起2面或3面旗时，颜色可以相同正解每次升1面旗可组成3种不同的信号；每次升2面旗可组成339种不同的信号；每次升3面旗可组成33327种不同的信号根据分类加法计数原理得，共可组成：392739种不同的信号点评审题时要细致，把题意弄清楚本题中没有规定升起旗子的颜色不同，故既要考虑升起旗子的面数，又要考虑其颜色，不可偏废遗漏K1甲与其四位同事各有一辆私家车，车牌尾数分别是0,0,2,1,5为遵守当地某月5日至9日5天的限行规定(奇数日车
16、牌尾数为奇数的车通行，偶数日车牌尾数为偶数的车通行)，五人商议拼车出行，每天任选一辆符合规定的车，但甲的车最多只能用一天，则不同的用车方案种数为(D)A5B24C32D64解析5日至9日，有3天奇数日，2天偶数日，第一步安排奇数日出行，每天都有2种选择，共有238(种)；第二步安排偶数日出行分两类，第一类，先选1天安排甲的车，另外一天安排其他车，有224(种)；第二类，不安排甲的车，每天都有2种选择，共有224(种)，共计448(种)根据分步乘法计数原理，不同的用车方案种数共有8864(种)2从集合1,2,3,4,5中任取2个不同的数，作为直线AxBy0的系数，则最多形成不同的直线的条数为(A
17、)A18B20C25D10解析第一步，给A赋值有5种选择，第二步，给B赋值有4种选择，由分步乘法计数原理可得：5420(种)又因为A1，B2，与A2，B4表示同一直线A2，B1与A4，B2，也表示同一直线形成不同的直线最多的条数为202183某运动会上，8名男运动员参加100米决赛其中甲、乙、丙三人必须在1,2,3,4,5,6,7,8八条跑道的奇数号跑道，则安排这8名运动员比赛的方式共有_2880_种解析分两步安排这8名运动员第一步：安排甲、乙、丙三人，共有1,3,5,7四条跑道可安排，所以共有43224种方法；第二步：安排另外5人，可在2,4,6,8及余下的一条奇数号跑道安排，共有54321
18、120(种)所以安排这8人的方式共有241202880(种)4将三个1、三个2、三个3填入33的方格中，要求每行、每列都没有重复数字，则不同的填写方法共有_12_种解析先填第一行，有3216种填法，再填第二行第一列，有2种填法，该位置确定后，其余位置也就唯一确定了，故共有6212种填法5从黄瓜、白菜、油菜、扁豆4种蔬菜品种中选出3种，分别种在不同土质的三块土地上，其中黄瓜必须种植，不同的种植方法有多少种？解析解法一：(直接法)若黄瓜种在第一块土地上，则有3216种不同的种植方法同理，黄瓜种在第二块、第三块土地上均有3216种不同的种植方法故不同的种植方法共有6318(种)解法二：(间接法)从4种蔬菜中选出3种种在三块地上，有43224种方法，其中不种黄瓜有3216种方法，故共有不同的种植方法24618(种)