1、大二轮理2高考随堂演练适考素能特训热点考向探究主干知识整合大二轮 数学 理专题二 函数与导数 第二编 专题整合突破3高考随堂演练适考素能特训热点考向探究主干知识整合大二轮 数学 理 第三讲 导数的简单应用4高考随堂演练适考素能特训热点考向探究主干知识整合大二轮 数学 理主干知识整合5高考随堂演练适考素能特训热点考向探究主干知识整合大二轮 数学 理必记公式1基本初等函数的八个导数公式原函数导函数f(x)C(C 为常数)f(x)f(x)x(R)f(x)f(x)sinxf(x)f(x)cosxf(x)f(x)ax(a0，且 a1)f(x)0 x1cosxsinxaxln a6高考随堂演练适考素能特训
2、热点考向探究主干知识整合大二轮 数学 理原函数导函数f(x)exf(x)f(x)logax(a0，且 a1)f(x)f(x)ln xf(x)ex1xlogae1xln a1x7高考随堂演练适考素能特训热点考向探究主干知识整合大二轮 数学 理2.导数四则运算法则(1)f(x)g(x)；(2)f(x)g(x)；(3)fxgx(g(x)0)；(4)若 yf(u)，uaxb，则 yx，即 yxayu.f(x)g(x)f(x)g(x)f(x)g(x)fxgxfxgxgx2yuux8高考随堂演练适考素能特训热点考向探究主干知识整合大二轮 数学 理重要概念1切线的斜率函数 f(x)在 x0 处的导数是曲线
3、f(x)在点 P(x0，f(x0)处的切线的斜率，因此曲线 f(x)在点 P 处的切线的斜率 k，相应的切线方程为2函数的单调性在某个区间(a，b)内，如果，那么函数 yf(x)在这个区间内单调递增(单调递减)f(x0)yf(x0)f(x0)(xx0)f(x)0(f(x)0)9高考随堂演练适考素能特训热点考向探究主干知识整合大二轮 数学 理3函数的极值设函数 f(x)在点 x0 附近有定义，如果对 x0 附近所有的点 x，都有，那么 f(x0)是函数的一个极大值，记作 y 极大值f(x0)；如果对 x0 附近的所有的点都有，那么 f(x0)是函数的一个极小值，记作 y 极小值f(x0)极大值与
4、极小值统称为极值4函数的最值将函数 yf(x)在a，b内的与，其中最大的一个是最大值，最小的一个是最小值f(x)f(x0)各极值端点处的函数值 f(a)，f(b)比较10高考随堂演练适考素能特训热点考向探究主干知识整合大二轮 数学 理重要性质1定积分的性质(1)abkf(x)dxkabf(x)dx；(2)abf1(x)f2(x)dx.(3)abf(x)dx(其中 ac0)上点 P 处的切线垂直，则 P 的坐标为_(1,1)14高考随堂演练适考素能特训热点考向探究主干知识整合大二轮 数学 理解析 yex，则 yex在点(0,1)处的切线的斜率 k切1，又曲线 y1x(x0)上点 P 处的切线与
5、yex在点(0,1)处的切线垂直，所以 y1x(x0)在点 P 处的切线的斜率为1，设 P(a，b)，则曲线 y1x(x0)上点 P 处的切线的斜率为y|xaa21，可得 a1，又 P(a，b)在 y1x上，所以 b1，故 P(1,1)15高考随堂演练适考素能特训热点考向探究主干知识整合大二轮 数学 理题型 2 定积分的计算典例 2 2014湖北高考若函数 f(x)，g(x)满足-11 f(x)g(x)dx0，则称 f(x)，g(x)为区间1,1上的一组正交函数给出三组函数：f(x)sin12x，g(x)cos12x；f(x)x1，g(x)x1；f(x)x，g(x)x2.其中为区间1,1上的正
6、交函数的组数是()A0 B1C2 D316高考随堂演练适考素能特训热点考向探究主干知识整合大二轮 数学 理解析 对于，-11sin12xcos12x dx-11 12sinxdx12-11 sinxdx12cosx 1112cos 1cos(1)12(cos 1cos 1)0.故为一组正交函数；17高考随堂演练适考素能特训热点考向探究主干知识整合大二轮 数学 理对 于 ，-11(x 1)(x 1)dx-11(x2 1)dx 13x3x11131131 232430，故不是一组正交函数；对于，-11(xx2)dx-11 x3dx14x4110.故为一组正交函数，故选 C.18高考随堂演练适考素能
7、特训热点考向探究主干知识整合大二轮 数学 理1求曲线 yf(x)的切线方程的三种类型及方法(1)已知切点 P(x0，y0)，求 yf(x)过点 P 的切线方程：求出切线的斜率 f(x0)，由点斜式写出方程(2)已知切线的斜率为 k，求 yf(x)的切线方程：设切点 P(x0，y0)，通过方程 kf(x0)解得 x0，再由点斜式写出方程19高考随堂演练适考素能特训热点考向探究主干知识整合大二轮 数学 理(3)已知切线上一点(非切点)，求 yf(x)的切线方程：设切点 P(x0，y0)，利用导数求得切线斜率 f(x0)，然后由斜率公式求得切线斜率，列方程(组)解得 x0，再由点斜式或两点式写出方程
8、2利用切线(或方程)与其他曲线的关系求参数已知过某点切线方程(斜率)或其与某线平行、垂直，利用导数的几何意义、切点坐标、切线斜率之间的关系构建方程(组)或函数求解20高考随堂演练适考素能特训热点考向探究主干知识整合大二轮 数学 理3求定积分的三种方法(1)利用定义求定积分(定义法)，可操作性不强(2)利用微积分基本定理求定积分(3)利用定积分的几何意义求定积分当曲边梯形面积易求时，可通过求曲边梯形的面积求定积分例如，定积分011x2dx 的几何意义是求单位圆面积的14，所以011x2dx4.21高考随堂演练适考素能特训热点考向探究主干知识整合大二轮 数学 理提醒：求曲线的切线方程时，务必分清在
9、点 P 处的切线还是过点 P 的切线，前者点 P 为切点，后者点 P 不一定为切点，求解时应先求出切点坐标22高考随堂演练适考素能特训热点考向探究主干知识整合大二轮 数学 理考点 利用导数研究函数的单调性 典例示法题型 1 利用导数研究函数的单调性(单调区间)典例 3 2014全国卷已知函数 f(x)exex2x.(1)讨论 f(x)的单调性；(2)设 g(x)f(2x)4bf(x)，当 x0 时，g(x)0，求 b 的最大值；(3)已知 1.4142 20，g(x)0；24高考随堂演练适考素能特训热点考向探究主干知识整合大二轮 数学 理当 b2 时，若 x 满足 2exex2b2，即 0 x
10、ln(b1 b22b)时，g(x)0.而 g(0)0，因此当 0 xln(b1 b22b)时，g(x)0，ln 28 23120.6928；当 b3 24 1 时，ln(b1 b22b)ln 2，g(ln2)322 2(3 22)ln 20，ln 218 2280.6934.所以 ln 2 的近似值为 0.693.26高考随堂演练适考素能特训热点考向探究主干知识整合大二轮 数学 理题型 2 根据函数的单调性求参数的范围典例 4 2016西安质检已知函数 f(x)mx2xlnx.(1)若在函数 f(x)的定义域内存在区间 D，使得该函数在区间 D 上为减函数，求实数 m 的取值范围；(2)当 0
11、m12时，若曲线 C：yf(x)在点 x1 处的切线 l 与曲线 C 有且只有一个公共点，求 m 的值或取值范围27高考随堂演练适考素能特训热点考向探究主干知识整合大二轮 数学 理解(1)f(x)2mx11x2mx2x1x，即 2mx2x10 时，由于函数 y2mx2x1 的图象的对称轴x 14m0，故需且只需 0，即 18m0，故 0m18.综上所述，m18，故实数 m 的取值范围为，18.28高考随堂演练适考素能特训热点考向探究主干知识整合大二轮 数学 理(2)f(1)m1，f(1)2m，故切线方程为 ym12m(x1)，即 y2mxm1.从而方程 mx2xln x2mxm1 在(0，)上
12、有且只有一解设 g(x)mx2xln x(2mxm1)，则 g(x)在(0，)上有且只有一个零点又 g(1)0，故函数 g(x)有零点 x1.则 g(x)2mx11x2m2mx22m1x1x2mx1x1x.29高考随堂演练适考素能特训热点考向探究主干知识整合大二轮 数学 理当 m12时，g(x)0，又 g(x)不是常数函数，故 g(x)在(0，)上单调递增函数 g(x)有且只有一个零点 x1，满足题意当 0m1，由 g(x)0，得 0 x 12m；由 g(x)0，得 1x 12m.故当 x 在(0，)上变化时，g(x)、g(x)的变化情况如下表：30高考随堂演练适考素能特训热点考向探究主干知识
13、整合大二轮 数学 理x(0,1)11，12m12m12m，g(x)00g(x)极大值 极小值 根据上表知 g12m 0，故在12m，上，函数 g(x)又有一个零点，不符合题意综上所述，m12.32高考随堂演练适考素能特训热点考向探究主干知识整合大二轮 数学 理1导数与单调性之间的关系(1)导数大(小)于 0 的区间是函数的单调递增(减)区间(2)函数 f(x)在 D 上单调递增xD，f(x)0 且f(x)在区间 D 的任何子区间内都不恒为零；函数 f(x)在 D 上单调递减xD，f(x)0 且 f(x)在区间 D 的任何子区间内都不恒为零33高考随堂演练适考素能特训热点考向探究主干知识整合大二
14、轮 数学 理2.根据函数的单调性求参数取值范围的思路(1)求 f(x)(2)将单调性转化为导数 f(x)在该区间上满足的不等式恒成立问题求解34高考随堂演练适考素能特训热点考向探究主干知识整合大二轮 数学 理考点 利用导数研究函数的极值与最值 典例示法题型 1 求函数的极值(最值)典例 5 2016合肥质检已知函数 f(x)e1x(2axa2)(其中 a0)(1)若函数 f(x)在(2，)上单调递减，求实数 a 的取值范围；(2)设函数 f(x)的最大值为 g(a)，当 a0 时，求 g(a)的最大值35高考随堂演练适考素能特训热点考向探究主干知识整合大二轮 数学 理解(1)由 f(x)e1x
15、(2axa2)，得 f(x)e1x(2axa2)2ae1xe1x(2axa22a)0，又 a0，故 x1a2，当 a0 时，f(x)在，1a2 上 为 增 函 数，在1a2，上为减函数，1a22，即 a2，0a2；当 a0 时，f(x)maxf1a2 2ae a2即 g(a)2ae a2.则 g(a)(2a)e a2 0，得 a2，g(a)在(0,2)上为增函数，在(2，)上为减函数，g(a)maxg(2)4e.37高考随堂演练适考素能特训热点考向探究主干知识整合大二轮 数学 理题型 2 知极值的个数求参数范围典例 6 2016沈阳质检已知函数 f(x)xln xa2x2xa(aR)在其定义域
16、内有两个不同的极值点(1)求 a 的取值范围；(2)记两个极值点为 x1，x2，且 x10，若不等式 e1x1x2恒成立，求 的取值范围解(1)依题，函数 f(x)的定义域为(0，)，所以方程 f(x)0 在(0，)上有两个不同的根，即方程 ln xax0 在(0，)上有两个不同的根38高考随堂演练适考素能特训热点考向探究主干知识整合大二轮 数学 理解法一：可以转化为函数 yln x 与函数 yax 的图象在(0，)上有两个不同的交点，如图可见，若令过原点且与函数 yln x 图象相切的直线斜率为 k，只需 0ak.39高考随堂演练适考素能特训热点考向探究主干知识整合大二轮 数学 理令切点 A
17、(x0，ln x0)，所以 ky|xx01x0，又 kln x0 x0，所以1x0ln x0 x0，解得 x0e，于是 k1e，所以 0a1e.解法二：可以转化为函数 g(x)ln xx 与函数 ya 的图象在(0，)上有两个不同的交点又 g(x)1ln xx2，当 0 x0，40高考随堂演练适考素能特训热点考向探究主干知识整合大二轮 数学 理当 xe 时，g(x)0，所以 g(x)在(0，e)上单调递增，在(e，)上单调递减从而 g(x)极大值g(e)1e.又 g(x)有且只有一个零点是 1，且在 x0 时，g(x)，在 x时，g(x)0，41高考随堂演练适考素能特训热点考向探究主干知识整合
18、大二轮 数学 理所以 g(x)的草图如图所示，可见，要想函数 g(x)ln xx 与函数 ya 的图象在(0，)上有两个不同交点，只需 0a0)，若 a0，可见 g(x)0 在(0，)上恒成立，所以 g(x)在(0，)上单调递增，此时 g(x)不可能有两个不同零点若 a0，当 0 x0，当 x1a时，g(x)0，即 ln1a10，所以 0a1e.综上所述，0a1e.44高考随堂演练适考素能特训热点考向探究主干知识整合大二轮 数学 理(2)e1x1x2等价于 1ln x1ln x2.由(1)可知 x1，x2 分别是方程 ln xax0 的两个根，即 ln x1ax1，ln x2ax2，所以原式等
19、价于 10,0 x1 1x1x2.45高考随堂演练适考素能特训热点考向探究主干知识整合大二轮 数学 理又由 ln x1ax1，ln x2ax2 作差得，ln x1x2a(x1x2)，即 aln x1x2x1x2.所以原式等价于ln x1x2x1x2 1x1x2，46高考随堂演练适考素能特训热点考向探究主干知识整合大二轮 数学 理因 为 0 x1x2 且 原 不 等 式 恒 成 立，所 以 ln x1x21x1x2x1x2恒成立令 tx1x2，t(0,1)，则不等式 ln t0，所以 h(t)在(0,1)上单调递增，又 h(1)0，h(t)0 在(0,1)上恒成立，符合题意当 20，t(2,1)
20、时，h(t)0，所以 h(t)在(0，2)上单调递增，在(2,1)上单调递减，又h(1)0，所以 h(t)在(0,1)上不能恒小于 0，不符合题意，舍去综上所述，若不等式 e10，所以 1.48高考随堂演练适考素能特训热点考向探究主干知识整合大二轮 数学 理利用导数研究函数极值与最值的步骤(1)利用导数求函数极值的一般思路和步骤求定义域；求导数 f(x)；解方程 f(x)0，研究极值情况；确定 f(x0)0 时 x0 左右的符号，定极值49高考随堂演练适考素能特训热点考向探究主干知识整合大二轮 数学 理(2)若已知函数极值的大小或存在情况，求参数的取值范围，则转化为已知方程 f(x)0 根的大
21、小或存在情况来讨论求解3求函数 yfx在a，b上最大值与最小值的步骤求函数 yfx在a，b内的极值；将函数 yfx的各极值与端点处的函数值 fa，fb比较，其中最大的一个是最大值，最小的一个是最小值.50高考随堂演练适考素能特训热点考向探究主干知识整合大二轮 数学 理提醒：1求函数极值时，一定要注意分析导函数的零点是不是函数的极值点；2求函数最值时，务必将极值点与端点值比较得出最大小值；3对于含参数的函数解析式或区间求极值、最值问题，务必要对参数分类讨论.51高考随堂演练适考素能特训热点考向探究主干知识整合大二轮 数学 理高考随堂演练52高考随堂演练适考素能特训热点考向探究主干知识整合大二轮
22、数学 理全国卷高考真题调研12015全国卷设函数 f(x)是奇函数 f(x)(xR)的导函数，f(1)0，当 x0 时，xf(x)f(x)0成立的 x 的取值范围是()A(，1)(0,1)B(1,0)(1，)C(，1)(1,0)D(0,1)(1，)53高考随堂演练适考素能特训热点考向探究主干知识整合大二轮 数学 理解析 令 F(x)fxx，因为 f(x)为奇函数，所以 F(x)为偶函数，由于 F(x)xfxfxx2，当 x0 时，xf(x)f(x)0 成立的 x 的取值范围是(，1)(0,1)，故选 A.54高考随堂演练适考素能特训热点考向探究主干知识整合大二轮 数学 理22014全国卷设曲线
23、 yaxln(x1)在点(0,0)处的切线方程为 y2x，则 a()A0 B1C2 D3解析 yaxln(x1)，ya 1x1，当 x0时 ya12，a3，故选 D.55高考随堂演练适考素能特训热点考向探究主干知识整合大二轮 数学 理32016全国卷已知 f(x)为偶函数，当 x0 时，f(x)ln x3x，则 f(x)1x3，f(1)2，则在点(1，3)处的切线方程为 y32(x1)，即 y2x1.56高考随堂演练适考素能特训热点考向探究主干知识整合大二轮 数学 理其它省市高考题借鉴42014江西高考若 f(x)x2201f(x)dx，则01f(x)dx()A1 B13C.13D157高考随
24、堂演练适考素能特训热点考向探究主干知识整合大二轮 数学 理解析 01f(x)dx01x2dx01201fxdx dx13x3 10201fxdx x 1013201f(x)dx，01f(x)dx13.故选 B.58高考随堂演练适考素能特训热点考向探究主干知识整合大二轮 数学 理52016北京高考设函数 f(x)xeaxbx，曲线 yf(x)在点(2，f(2)处的切线方程为 y(e1)x4.(1)求 a，b 的值；(2)求 f(x)的单调区间解(1)因为 f(x)xeaxbx，所以 f(x)(1x)eaxb.依题设，f22e2，f2e1，即2ea22b2e2，ea2be1，解得 a2，be.59高考随堂演练适考素能特训热点考向探究主干知识整合大二轮 数学 理(2)由(1)知 f(x)xe2xex.由 f(x)e2x(1xex1)及 e2x0 知，f(x)与 1xex1 同号令 g(x)1xex1，则 g(x)1ex1.所以当 x(，1)时，g(x)0，g(x)在区间(1，)上单调递增60高考随堂演练适考素能特训热点考向探究主干知识整合大二轮 数学 理故 g(1)1 是 g(x)在区间(，)上的最小值，从而 g(x)0，x(，)综上可知，f(x)0，x(，)故 f(x)的单调递增区间为(，)61高考随堂演练适考素能特训热点考向探究主干知识整合大二轮 数学 理适考素能特训