1、第三节 等比数列及其前n项和 基础梳理从第二项起，每一项与它的前一项的比等于同一常数 公比q 1.等比数列的定义 如果一个数列 那么这个数列叫做等比数列，这个常数叫做等比数列的 ，通常用字母 表示.a1qn 2.等比数列的通项公式 设等比数列an的首项为a1,公比为q,则它的通项公式an=或 (m,nN*).amqn-m a,G,b成等比数列 等比中项 3.等比中项 如果 ，那么G叫做a与b的 .akal=aman 4.等比数列的常用性质(1)若an为等比数列，且k+l=m+n(k,l,m,nN*),则 .(2)若an,bn（项数相同）是等比数列，则an,(an0),a2n,an bn,(bn
2、0)仍是等比数列.1na5.等比数列的前n项和公式 等比数列an的公比为q(q0),其前n项和为Sn，当 q=1时，Sn=;当q1时，Sn=,即 Sn=或Sn=.na1 a1+a1q+a1qn 1(1)1naqq11naa qq6.等比数列前n项和的性质 等比数列an的前n项和为Sn,则Sn,S2n-Sn,S3n-S2n（均不为0时）仍成等比数列.基础达标1.(教材改编题)在等比数列an中，a1=1,a5=9,则a3=()A.3B.-3 C.3或-3 D.3解析：a23=a1a5=9,且a1,a3,a5同号，a3=3.故选A.2.已知an是等比数列,a2=2,a5=,则公比q=()A.-B.-
3、2 C.2 D.141212解析:q3=q=.故选D.53114,28aa 123.(2011济南山师附中模拟)在等比数列an中，a8a10=6,a4+a14=5,则 等于()A.B.C.或 D.-或-188aa232323323232解析：由题知，a8a10=a4a14=6,且a4+a14=5,解 得a4=2,a14=3,或a4=3,a14=2,或 ，故选C.1814842,3aaaa18148432aaaa4.在等比数列an中，前n项和为Sn,若S3=7,S6=63,则公比q的值是()A.2 B.-2 C.3 D.-3 解析：方法一：由题意知q1，且S3=7,S6=63,即1+q3=9,解
4、得q=2.方法二：S3=a1+a2+a3=7,S6-S3=a4+a5+a6=(a1+a2+a3)q3=56,q3=8,q=2.3161(1)7,1(1)63.1aqqaqq得3619,1qq5.(教材改编题)等比数列an的前n项和为Sn,a1=1,若4a1,2a2,a3成等差数列，则S4=.解析：4a1,2a2,a3成等差数列，4a2=4a1+a3,即 4q=4+q2,解得q=2,S4=15.441(1)12112aqq经典例题题型一等比数列的基本运算【例1】(2010浙江)设Sn为等比数列an的前n项 和,8a2+a5=0,则 =()A.-11 B.-8 C.5 D.11 52SS解：设公比
5、为q,8a2+a5=0,8a2+a2q3=0,q=-2,-11,故选A.515212(1)1(1)1aqSqaqSq变式1-1 设Sn为等比数列an的前n项和，已知3S3=a4-2,3S2=a3-2,则公比q=()A.3 B.4 C.5 D.6 解析：两式相减得,3a3=a4-a3,a4=4a3,q=4.43aa题型二等比数列的判定【例2】(2010上海改编)已知数列an的前n项和为Sn,且Sn=n-5an-85,nN*.证明：an-1是等比数列.证明：当n=1时，a1=-14;当n2时，an=Sn-Sn-1=-5an+5an-1+1,所以an-1=(an-1-1),又因为a1-1=-150,
6、所以数列an-1是等比数列.56证明：bn=an-2n,即an=bn+2n,an=3an-1-4n+6,bn+2n=3bn-1+2(n-1)-4n+6,即bn=3bn-1.又b1=a1-2=-10,数列bn是以-1为首项，3为公比的等比数列 变式2-1 数列an满足a1=1,an=3an-1-4n+6(n2,nN*).设bn=an-2n,求证：数列bn是等比数列.题型三等比数列的性质【例3】(1)(2010全国)已知各项均为正数的等比数列an，a1a2a3=5,a7a8a9=10,则a4a5a6=()A.5 B.7 C.6 D.4(2)在等比数列an中，S4=1,S8=3,则a17+a18+a
7、19+a20=()A.14 B.16 C.18 D.20 22分析:(1)利用等比数列的性质求解；（2）运用等比中项求解.解：(1)由等比数列的性质知a1a2a3=(a1a3)a2=a32=5,a7a8a9=(a7a9)a8=a38=10,所以a2a8=,所以a4a5a6=(a4a6)a5=a35=()3=()3=5 ,故选A.（2）因为S4,S8-S4,S12-S8,S16-S12,S20-S16成等比数列，而S4=1,S8-S4=2,所以a17+a18+a19+a20=S424=124=16,故选B.13501650228a a变式3-1 在等比数列an中，a1=1,公比|q|1.若am=
8、a1a2a3a4a5,则m=()A.9 B.10 C.11 D.12 解析：am=a1a2a3a4a5=a53=(a1q2)5=q10=a11,故选C.变式3-2(2011潍坊模拟)已知等比数列an的公比为正数，且a3a9=2a25,a2=2,则a1等于()A.1 B.C.-D.2 22解析:a3a9=2a25,a26=2a25,q2=2,q0,q=,2a1=,故选B.2222aq 题型四等差、等比数列的综合问题【例4】已知正数数列an的前n项和为Sn，且有Sn=(an+1)2.求证：数列an是等差数列.14分析:要证明an为等差数列，只需证明n2时an-an-1为定值.证明：由Sn=(an+
9、1)2,当n=1时，a1=(a1+1)2,a1=1；当n2时，Sn-1=(an-1+1)2,an=Sn-Sn-1=(a2n-a2n-1+2an-2an-1),即(an+an-1)(an-an-1-2)=0.an0,an-an-1-2=0,即an-an-1=2.数列an是a1=1,d=2的等差数列.14141414链接高考 1.(2010广东)已知数列an为等比数列，Sn是它的前n项和，若a2a3=2a1,且a4与2a7的等差中项为 ,则S5=()A.35 B.33 C.31 D.29 54知识准备：1.知道等比数列通项公式、前n项和公式；2.会用等差中项.解析:a2a3=a1qa1q2=2a1
10、a4=2,a4+2a4q3=2 2+4q3=q=,a1=故S5=32-1=31.故选C.5452 12433216.12aq 5116(1)1232(1)132122.(2010北京)已知数列an为等比数列，且a3=-6，a6=0.(1)求an的通项公式.若等比数列bn满足b1=-8,b2=a1+a2+a3,求bn的前n项和公式.知识准备：1.会用等差数列通项公式；2.会用等比数列前n项和公式；解：（1）设等差数列an的公差为d.因为a3=-6,a6=0,所以 解得 所以an=-10+(n-1)2=2n-12.(2)设等比数列bn的公比为q,因为b2=a1+a2+a3=-24,b1=-8,所以-8q=-24,即q=3.所以bn的前n项和公式为 1126,50,adad 110,2.ad1(1)4(13)1nnnbqSq