1、2021-2022学年浙江省Z20名校新高考研究联盟高三（上）第一次联考数学试卷一、选择题（共10小题，每小题4分，共40分）.1已知i是虚数单位，则复数的虚部是（）ABCD2已知集合Ax|x22x30，Bx|lgx1，则AB（）Ax|1x10Bx|x10Cx|0x3Dx|0xe3已知两非零向量，则“|”是“与共线”的（）A充分不必要条件B必要不充分条件C充要条件D既不充分也不必要条件4设实数x，y满足，则目标函数zx2y的最小值是（）A2B6CD55如图为某几何体的三视图，则该几何体的体积为（）A2B4C6D126已知单位向量，满足，且，的夹角为，则的值为（）ABCD7以下四个选项中的函数，
2、其函数图象最适合如图的是（）ABCD8九章算术中将底面为直角三角形且侧棱垂直于底面的三棱柱称为“堑堵”；底面为矩形，一条侧棱垂直于底面的四棱锥称之为“阳马”；四个面均为直角三角形的四面体称为“鳖臑”如图在堑堵ABCA1B1C1中，ACBC，且AA1AB2下列说法正确的是（）A四棱锥BA1ACC1为“阳马”B四面体A1C1CB为“鳖臑”C四棱锥BA1ACC1体积最大为D过A点分别作AEA1B于点E，AFA1C于点F，则EFA1B9已知点A（x0，y0）在曲线（ab0）上，设，则|AB|+x0的最大值（）A与a有关，且与b有关B与a有关，但与b无关C与a无关，但与b有关D与a无关，且与b无关10已
3、知数列an满足，则下列选项正确的是（）Aa2021a2020BCDa20211二、填空题：本大题共7小题，单空题每空4分，多空题每空3分，共36分11鲁洛克斯三角形又称“勒洛三角形”，是一种特殊的三角形，指分别以正三角形的顶点为圆心，以其边长为半径作圆弧，由这三段圆弧组成的曲边三角形鲁洛克斯三角形的特点是：在任何方向上都有相同的宽度，机械加工业上利用这个性质，把钻头的横截面做成鲁洛克斯三角形的形状，就能在零件上钻出正方形的孔来如图，已知某鲁洛克斯三角形的一段弧的长度为，则线段AB的长为 ，该鲁洛克斯三角形的面积为 12已知，则f（f（0） ；若函数f（x）在R上单调递增，则a的取值范围为 13
4、设（x1）（2+x）3a0+a1x+a2x2+a3x3+a4x4，则a1 ，2a2+3a3+4a4 14在ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且（b+c+a）（b+ca）3bc，则A ，若ABC的外接圆的周长为4，则ABC面积的最大值为 15甲与乙进行投篮游戏，在每局游戏中两人分别投篮两次，每局投进的次数之和不少于3次则胜利，已知甲乙两名队员投篮相互独立且投进篮球的概率均为，设X为甲乙两名队员获得胜利的局数，若游戏的局数是27，则E（X） 16已知点P在椭圆C：（ab0）上，左顶点为A，点F1，F2分别为椭圆C的左、右焦点，的最大值和最小值分别为4和直线l过点F2，且与AP平行，过
5、A，P两点作l的垂线，垂足分别为D，C，当矩形APCD的面积为时，则直线AP的斜率是 17已知平面非零向量，满足，|1，若（i1，2），（）（）0，则的最小值为 三、解答题：本大题共5小题，共74分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤18在ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知（1）求角A的大小；（2）已知，b2，设D为BC边上一点，且AD为角A的平分线，求ABD的面积19如图，在三棱锥PABC中，PAPBPCAC4，O为AC的中点（1）证明：PO平面ABC；（2）若点M为BC的中点，求PC与平面POM所成的角的正弦值20已知公比q1的等比数列an和等差数列bn满足a12，b1
6、1，其中a2b4，且a2是b2和b8的等比中项（1）求数列an与bn的通项公式；（2）记数列anbn的前n项和为Tn，若当nN*时，等式（1）nTn0恒成立，求实数的取值范围21已知O为坐标原点，F为抛物线C：y24x的焦点，点A（x0，y0）在抛物线上，其中y00，弦OA的中点为M，以M为端点的射线MF与抛物线交于点B（1）若F恰好是AOB的重心，求y0；（2）若1y02，求的取值范围22已知函数（1）求函数f（x）在x1处的切线方程；（2）若方程f（x）a有两个不同实根x1，x2，证明：参考答案一、选择题（共10小题，每小题4分，共40分）.1已知i是虚数单位，则复数的虚部是（）ABCD解
7、：，复数的虚部为故选：B2已知集合Ax|x22x30，Bx|lgx1，则AB（）Ax|1x10Bx|x10Cx|0x3Dx|0xe解：集合Ax|x22x30，Bx|lgx1，Ax|1x3，Bx|0x10，ABx|0x3故选：C3已知两非零向量，则“|”是“与共线”的（）A充分不必要条件B必要不充分条件C充要条件D既不充分也不必要条件解：两非零向量，由“|”，可得cos1，0，与共线，故充分性成立当 与共线时，0 或，cos1，|，或 |，故必要性不成立故“|”是“与共线”的充分不必要条件，故选：A4设实数x，y满足，则目标函数zx2y的最小值是（）A2B6CD5解：由约束条件作出可行域如图，联
8、立方程组解得A（1，3），由zx2y，得y，由图可知，当直线y过A时，直线在y轴上的截距最大，z有最小值为5故选：D5如图为某几何体的三视图，则该几何体的体积为（）A2B4C6D12解：根据几何体的三视图转换为几何体的直观图为：该几何体为三棱锥体ABCD；如图所示：所以：故选：A6已知单位向量，满足，且，的夹角为，则的值为（）ABCD解：，为单位向量，即，13cos2，即cos，0，解得或（舍去）故选：D7以下四个选项中的函数，其函数图象最适合如图的是（）ABCD解：对于A，当x0时，与图象不符，故A错误，对于B，当x0s时，0，与图象不符，故B错误，对于C，当x0时，y，求导可得y，故y在（
9、0，1）上单调递减，在（1，+）单调递增，yminyx11，故C正确，对于D，当x0时，y，求导可得y，故y在（0，2）上单调递减，在（2，+）上单调递增，不符合图象，故D错误故选：C8九章算术中将底面为直角三角形且侧棱垂直于底面的三棱柱称为“堑堵”；底面为矩形，一条侧棱垂直于底面的四棱锥称之为“阳马”；四个面均为直角三角形的四面体称为“鳖臑”如图在堑堵ABCA1B1C1中，ACBC，且AA1AB2下列说法正确的是（）A四棱锥BA1ACC1为“阳马”B四面体A1C1CB为“鳖臑”C四棱锥BA1ACC1体积最大为D过A点分别作AEA1B于点E，AFA1C于点F，则EFA1B解：A四边形A1ACC
10、1为矩形，BC平面A1ACC1四棱锥BA1ACC1为“阳马”，故A正确；B四面体A1C1CB中，A1C1C、A1BC、A1BC1、BCC1都是直角三角形，四面体A1C1CB为“鳖臑”，故B正确；C当ACBC时，四棱锥BA1ACC1体积为：，故C错误；D过A点分别作AEA1B于点E，AFA1C于点F，BCAC，BCAA1，ACAA1A，BC平面AA1C1C，又AF平面AA1C1C，BCAF，A1CBCC，AF平面A1BC，AFA1B，AEAFA，A1B平面AEF，EF平面AEF，EFA1B，故D正确故选：ABD9已知点A（x0，y0）在曲线（ab0）上，设，则|AB|+x0的最大值（）A与a有关
11、，且与b有关B与a有关，但与b无关C与a无关，但与b有关D与a无关，且与b无关解：曲线（ab0），即（x0），所以曲线表示椭圆的一部分，因为，即B（0，c）为椭圆的下焦点，设C为椭圆的上焦点，过点A（x0，y0）作ADy轴，交y轴于点D，设为直线AC的倾斜角，则|AB|+x0|AB|+|AD|AB|+|AC|sin（）|AB|+|AC|2a，当且仅当点C与点D重合，即时取等号，所以|AB|+x0的最大值与a有关，但与b无关故选：B10已知数列an满足，则下列选项正确的是（）Aa2021a2020BCDa20211解：（1）下面先证明an1由，则an0，an+1an，an+1an+，化为：+，n
12、2时，+，+1，+，+，+1，又a2+，1+1，可得an1，n1时，a11，因此nN*，得an1，（2）下面证明anan1，an+1an+，化为：anan+1，an+1an+an+1，化为：+，+1，+，+，+，+1，2+，可得an综上可得：1ana20211故选：B二、填空题：本大题共7小题，单空题每空4分，多空题每空3分，共36分11鲁洛克斯三角形又称“勒洛三角形”，是一种特殊的三角形，指分别以正三角形的顶点为圆心，以其边长为半径作圆弧，由这三段圆弧组成的曲边三角形鲁洛克斯三角形的特点是：在任何方向上都有相同的宽度，机械加工业上利用这个性质，把钻头的横截面做成鲁洛克斯三角形的形状，就能在零
13、件上钻出正方形的孔来如图，已知某鲁洛克斯三角形的一段弧的长度为，则线段AB的长为 3，该鲁洛克斯三角形的面积为 解：由于ABC为正三角形，以点C为圆心的弧AB所对的圆心角为，则，解得：AC3；弧AB与弦AB所对的弓形面积S1；故鲁洛克斯三角形的面积为S故答案为：3；12已知，则f（f（0）18；若函数f（x）在R上单调递增，则a的取值范围为 （0，1解：，f（0）4，f（f（0）f（4）24+218，函数f（x）在R上单调递增，解得0a1，故a的取值范围为（0，1故答案为：18，（0，113设（x1）（2+x）3a0+a1x+a2x2+a3x3+a4x4，则a14，2a2+3a3+4a431解
14、：（x1）（2+x）3a0+a1x+a2x2+a3x3+a4x4，a11231224；对式等号两端分别求导，得（x1）（2+x）3（2+x）3+（x1）3（2+x）2a1+2a2x+3a3x2+4a4x3，令x1，得27a1+2a2+3a3+4a44+2a2+3a3+4a4，2a2+3a3+4a431，故答案为：4；3114在ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且（b+c+a）（b+ca）3bc，则A，若ABC的外接圆的周长为4，则ABC面积的最大值为 3解：由（b+c+a）（b+ca）3bc得b+cabc，根据余弦定理可得cosA，因为A（0，），所以A；因为ABC的外接圆的周长
15、为4，所以ABC的外接圆的半径为2，则2r4，解得a4sinA42，又cosA，即，即b+c12+bc，得12+bc2bc，bc12SABCbcsinAbcsinbc3故答案为：，315甲与乙进行投篮游戏，在每局游戏中两人分别投篮两次，每局投进的次数之和不少于3次则胜利，已知甲乙两名队员投篮相互独立且投进篮球的概率均为，设X为甲乙两名队员获得胜利的局数，若游戏的局数是27，则E（X）16解：每局游戏中两人分别投篮两次，每局投进的次数之和不少于3次则胜利，每局游戏胜利包括三种情况，甲投中2次，乙投中2次，概率为，甲投中2次，乙投中1次，概率为，甲投中1次，乙投中2次，概率为，故每局游戏甲乙两名队
16、员获得胜利的概率为，若游戏的局数是27，X为甲乙两名队员获得胜利的局数，则XB（27，），故E（X）故答案为：1616已知点P在椭圆C：（ab0）上，左顶点为A，点F1，F2分别为椭圆C的左、右焦点，的最大值和最小值分别为4和直线l过点F2，且与AP平行，过A，P两点作l的垂线，垂足分别为D，C，当矩形APCD的面积为时，则直线AP的斜率是 解：设坐标原点为O，则，则，因为的最大值和最小值分别为4和，所以，则a2，b，所以椭圆C的标准方程为，设直线AP的斜率为k，则直线l的斜率也为k，又F2（1，0），A（2，0），设P（m，n），所以直线l的方程为yk（x1），即kxyk0，点A到直线l的距
17、离为，又，所以，又AP2（m+2）2+n2，因为矩形APCD的面积为，所以d2AP2（m+2）2+n29n227，解得n23，又点P（m，n）在椭圆C上，所以，解得m0，所以k，则直线AP的斜率是故答案为：17已知平面非零向量，满足，|1，若（i1，2），（）（）0，则的最小值为 0解：设（x1，y1），（x2，y2），（xm，ym），（1，0），因为，所以，即N、A1、A2三点共线；如图所示：又因为|，所以|x1（若（x1，y1），（x2，y2），则x1x2+y1y2）；显然x10，所以A1到N的距离等于A1到y轴的距离；所以点A1在以N（1，0）为焦点，y轴为准线的抛物线上；同理，A2也在
18、该抛物线上；由（）（）0，且，所以0，所以点M在以A1A2为直径的圆上；所以xM，而抛物线过焦点N的弦A1A2为直径的圆与准线相切，所以xM的最小值为0（本题中抛物线的准线为y轴，即x0），所以的最小值为0故答案为：0三、解答题：本大题共5小题，共74分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤18在ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知（1）求角A的大小；（2）已知，b2，设D为BC边上一点，且AD为角A的平分线，求ABD的面积解：（1）由正弦定理得，因为，所以，因为sinB0，所以，所以因为0A，所以（2）在ABC中，由余弦定理得，a2b2+c22bccosA，所以284+c24
19、ccos，解得c4或6（舍负），由角平分线性质知，2，所以，过A作AEBC于E点，则，所以，即SABDSABCbcsinA2419如图，在三棱锥PABC中，PAPBPCAC4，O为AC的中点（1）证明：PO平面ABC；（2）若点M为BC的中点，求PC与平面POM所成的角的正弦值解：（1）证明：连接OB，PAPC，O为AC中点，POAC，又，AC4，则AB2+CB2AC2，ABBC，而PB4，则PB2BO2+OP2，所以POOB又ACOBO，所以PO平面ABC（2）由（1）PO平面ABC，可得POCB，又M是BC中点，OMAB，而ABBC，OMCB，又OMPOO，CB平面POM，CPM就是PC与
20、平面POM所成的角在直角三角形PMC中，所以故PC与平面POM所成的角的正弦值为20已知公比q1的等比数列an和等差数列bn满足a12，b11，其中a2b4，且a2是b2和b8的等比中项（1）求数列an与bn的通项公式；（2）记数列anbn的前n项和为Tn，若当nN*时，等式（1）nTn0恒成立，求实数的取值范围解：（1）设等差数列bn的公差为d，a12，b11，a2b4，且a2是b2和b8的等比中项，（1+3d）2（1+d）（1+7d），解得或（舍），bnn；（2），得，（1）nTn0，即（1）nTn对nN*恒成立，（1）n2+（n1）2n+1当n为偶数时，2+（n1）2n+1，2+（n1）
21、2n+1min10；当n为奇数时，2+（n1）2n+1，2+（n1）2n+1min2，即2，综上可得21021已知O为坐标原点，F为抛物线C：y24x的焦点，点A（x0，y0）在抛物线上，其中y00，弦OA的中点为M，以M为端点的射线MF与抛物线交于点B（1）若F恰好是AOB的重心，求y0；（2）若1y02，求的取值范围解：（1）设B（x1，y1），由F（1，0）是AOB的重心，得x0+x13xF3，y0+y13yF0即y0y1，y024x06，因为y00，得；（2）因为M为弦OA的中点，即，所以，因为M、B、F三点共线，所以由直线MF斜率不为0，故设直线MF：，由消去x得得，其中，则，因为1
22、y02，即有1y024，所以22已知函数（1）求函数f（x）在x1处的切线方程；（2）若方程f（x）a有两个不同实根x1，x2，证明：解：（1），f（1）（e1），f（1）0，切线方程为（2）由（1）得，又，且在（0，1）上单调递增，所以有唯一实根x0（0，1），当x（，x0）时，f（x）0，f（x）递减，当x（x0，+）时，f（x）0，f（x）递增，故两根分别在（，x0）与（x0，+）内，不妨设x1x2，设，x（x0，+），则，当x（x0，1）时，g（x）0，g（x）递减，当x（1，+）时，g（x）0，g（x）递增，g（x）有最小值g（1）0，即恒成立，又因为函数f（x）在x0处的切线方程为，所以恒成立，即x12a，于是
