1、2.1.2 演绎推理1.掌握演绎推理的基本模式,特别是三段论模式,并学会运用这些推理模式进行推理.2.了解合情推理、演绎推理之间的联系和区别.1 2 1.演绎推理 根据概念的定义或一些真命题,依照一定的逻辑规则得到正确结论的过程,叫做演绎推理.它的特征是:当前提为真时,结论必然为真.归纳总结 演绎推理的特点:(1)演绎的前提是一般性原理,演绎所得的结论是蕴涵于前提之中的个别、特殊事实,结论完全蕴涵于前提之中.(2)在演绎推理中,前提与结论之间存在必然的联系,只要前提是真实的,推理的形式是正确的,那么结论也必定是正确的.因而演绎推理是数学中严格证明的工具.(3)演绎推理是一种收敛性的思维方法,它
2、的创造性较少,但却具有条理清晰、令人信服的论证作用,有助于科学的理论化和系统化.1 2【做一做1】演绎推理是()A.部分到整体,个别到一般的推理 B.特殊到特殊的推理 C.一般到特殊的推理 D.一般到一般的推理 答案：C 1 2 2.演绎推理的三种推理规则(1)三段论推理:用符号表示这种推理规则就是“M是P,S是M,所以S是P”.(2)传递性关系推理:用符号表示推理规则是“如果aRb,bRc,则aRc”,其中“R”表示具有传递性的关系.(3)完全归纳推理:把所有情况都考虑在内的演绎推理规则叫做完全归纳推理.三段论推理是演绎推理的一般模式,在数学证明中,以上三种演绎推理规则是经常用到的,一道证明
3、题,往往要综合应用这些推理规则.如果违背了这些规则,那么证明就是错误的.1 2【做一做2-1】下面几种推理过程是演绎推理的是()A.两条直线平行,同旁内角互补,若A与B是两条平行直线的同旁内角,则A+B=180 B.某校高三(1)班有55人,(2)班有54人,(3)班有52人,由此得高三所有班人数都超过50人 C.由平面三角形的性质,推测空间四面体的性质 D.在数列an中,a1=1,an=12 -1+1-1(2),由此归纳出an的通项公式答案：A 1 2【做一做2-2】“因为a,b,所以ab,又因为bc,所以ac.”以上推理的两个步骤分别遵循的推理规则是()A.第一步遵循完全归纳推理,第二步遵
4、循传递性关系推理 B.第一步遵循三段论推理,第二步遵循完全归纳推理 C.第一步遵循三段论推理,第二步遵循传递性关系推理 D.第一步遵循传递性关系推理,第二步遵循三段论推理 答案：C 合情推理与演绎推理有哪些区别与联系?剖析：区别:从推理形式和推理所得结论的正确性上讲,二者有差异.合情推理 演绎推理 归纳推理 类比推理 推理形式 由部分到整体或由个别到一般的推理 由特殊到特殊的推理 由一般到特殊的推理 结论的正确性 结论不一定正确,有待进一步证明 在前提和推理形式都正确的前提下,结论正确 联系:从二者在认识事物的过程中所发挥的作用的角度考虑,它们是紧密联系、相辅相成的.合情推理的结论需要演绎推理
5、的验证,而演绎推理的内容一般是通过合情推理获得的.在数学中,演绎推理可以验证合情推理的结论的正确性,合情推理可以为演绎推理提供方向和思路.题型一 题型二 题型三 三段论推理【例题1】已知A,B,C,D四点不共面,M,N分别是ABD和BCD的重心,求证:MN平面ACD.分析：应用线面平行的判定定理证明.证明：如图,连接BM,BN并延长,分别交AD,DC于P,Q两点,连接PQ.因为M,N分别是ABD和BCD的重心,所以P,Q分别是AD,DC的中点,又因为MN平面ADC,PQ平面ADC,所以MN平面ACD.因为 =2=,所以MNPQ.题型一 题型二 题型三 反思“三段论”是演绎推理的一般模式,包括:
6、(1)大前提已知的一般原理;(2)小前提所研究的特殊情况;(3)结论根据一般原理,对特殊情况作出的判断.题型一 题型二 题型三 传递性关系推理【例题 2】设 a,b,c 为正实数,求证:2+2+2+2+2+2 +.分析：应用均值不等式找出a2+b2与a+b,b2+c2与b+c,a2+c2与a+c的关系,再应用同向不等式相加法则可证明.证明：因为 a2+b22ab,a,b,c 为正实数,所以 2(a2+b2)a2+b2+2ab=(a+b)2,所以 a2+b2(+)22,所以 2+2 22(+).题型一 题型二 题型三 同理 2+2 22(+),2+2 22(+),所以有 2+2+2+2+2+2
7、22(2+2+2)=2(+),即 2+2+2+2+2+2 2(+),又 2(+)+,所以 2+2+2+2+2+2 +.反思 传递性关系推理论证时必须保证各量间的关系能正确传递.题型一 题型二 题型三 完全归纳推理【例题 3】已知函数 f(x)=12-1+12 x3.(1)判断f(x)的奇偶性;(2)证明f(x)0.(1)解：函数 f(x)的定义域为 2x-10,即x|x0,f(-x)-f(x)=12-1+12()3 12-1+12 3 =21-2+12 3 12-1+12 3=22-1x3 12 3 12-1x3 12 3=3 3=0,所以 f(-x)=f(x).所以 f(x)是偶函数.题型一
8、 题型二 题型三(2)证明：因为x0,所以当x0时,2x1,2x-10,x30,所以f(x)0;当x0,f(x)=f(-x)0,所以f(x)0.反思 完全归纳推理必须把所有情况都考虑在内.完全归纳推理不同于归纳推理,后者仅仅证明了几种特殊情况,它不能说明结论的正确性,而前者则把所有情况都作了证明.1 2 3 4 5 1如图,因为ABCD,所以1=2,又因为2=3,所以1=3.所用的推理规则为()A.完全归纳推理、传递性关系推理 B.三段论推理、传递性关系推理 C.三段论推理、完全归纳推理 D.三段论推理、三段论推理 解析：本题前面证1=2用的是三段论推理,后半部分证1=3用的是传递性关系推理.
9、答案：B 1 2 3 4 5 2“因为指数函数y=ax是减函数(大前提),且y=3x是指数函数(小前提),所以y=3x是减函数(结论).”上面推理的错误是()A.大前提错导致结论错 B.小前提错导致结论错 C.推理形式错导致结论错 D.大前提和小前提都错导致结论错 解析：y=ax(a0,a1)的单调性与a有关,若a1,则为增函数;若0a0时,|a|0;当a=0时,|a|=0;当a0,所以当a为实数时,|a|0.此推理过程运用的是演绎推理中的 推理.答案：完全归纳 1 2 3 4 5 5 关于函数 f(x)=lg 2+1|(0),有下列命题:其图象关于y轴对称;当x0时,f(x)是增函数;当x0时,f(x)为减函数;f(x)的最小值是lg 2;当-1x1时,f(x)是增函数;f(x)无最大值,也无最小值.其中所有正确结论的序号是 .解析：显然f(-x)=f(x),其图象关于y轴对称.(0,1)内是减函数,在(1,+)内是增函数.f(x)min=f(1)=lg 2.f(x)为偶函数,f(x)在(-1,0)内是增函数.当 x0 时,f(x)=lg 2+1=lg +1.(x)=x+1 在(0,1)内是减函数,在(1,+)内是增函数,f(x)在 答案：