1、第三章数系的扩充与复数3.1 数系的扩充与复数的概念3.1.1 实数系3.1.2 复数的概念1.了解引进复数的必要性,了解数集的扩充过程:自然数集(N)整数集(Z)有理数集(Q)实数集(R)复数集(C).2.理解在数系的扩充中由实数集扩展到复数集出现的一些基本概念,例如:虚数单位、复数、虚数、纯虚数等,掌握复数相等的充要条件.1 2 3 4 1.实数系 实数就是小数,它包括有理数(有限小数和无限循环小数)和无理数(无限不循环小数).实数的性质有:实数对四则运算是封闭的,即两个实数进行四则运算的结果仍然是实数;0与1的性质为0+a=a+0=a,1a=a1=a;加法和乘法都适合交换律、结合律,乘法
2、对加法满足分配律.实数系和数轴上的点可以建立一一对应关系.1 2 3 4【做一做1】数系扩充的脉络是:,用集合符号表示为 .答案：自然数系 有理数系 实数系 N Q R 1 2 3 4 2.虚数单位的性质 i2=-1.名师点拨显然i是-1的一个平方根,即i是方程x2=-1的一个解.【做一做2】关于x的方程x2+1=0的解是()A.1B.i C.i D.无解 解析：i2=-1,(-i)2=-1,i都是x2+1=0的解.答案：C 1 2 3 4 3.复数的概念(1)设a,b都是实数,形如a+bi的数叫做复数,复数通常用小写字母z表示,即z=a+bi(a,bR),其中a叫做复数z的实部,b叫做复数z
3、的虚部,i称作虚数单位.当b=0时,复数就成为实数;除了实数以外的数,即当b0时,a+bi叫做虚数.而当b0,且a=0时,bi叫做纯虚数.(2)全体复数所构成的集合叫做复数集.复数集通常用大写字母C表示,即C=z|z=a+bi,aR,bR.显然,实数集R是复数集C的真子集,即RC.1 2 3 4【做一做3-1】设C=复数,A=实数,B=纯虚数,全集U=C,则下面结论正确的是()A.AB=C B.UA=B C.AUB=D.BUB=C 解析：实数虚数=复数,选项A不正确.由以上分析知UA=虚数.选项B不正确.UB中会有实数,选项C不正确.答案：D 1 2 3 4【做一做3-2】若z=a+bi(a,
4、bR),则下列结论正确的是()A.若a=0,则z是纯虚数 B.若b=0,则z是实数 C.若a+(b-2)i=5+3i,则a=5,b=2i D.z的平方不可能为-1 解析：若z是纯虚数,则a=0,且b0;a+(b-2)i=5+3i,a,b均为实数,a=5,b=5;当a=0,b=1时,z=i,其平方为-1.答案：B 1 2 3 4 4.复数相等 如果两个复数a+bi与c+di的实部与虚部分别对应相等,我们就说这两个复数相等,记作a+bi=c+di.这就是说,如果a,b,c,d都是实数,那么 a+bi=c+dia=c,且b=d;a+bi=0a=0,且b=0.1 2 3 4【做一做4-1】已知实数x,
5、y满足方程(x+y)+(2x-y)i=5+4i,则x=,y=.解析：由题意可得 +=5,2-=4,解得 =3,=2.答案：3 2 1 2 3 4【做一做4-2】若复数(m2-5m-6)+(m2+4m+3)i等于零,则实数m的值是()A.-3或-1B.6或-1 C.-3D.-1 解析：由复数相等的定义可得,2-5-6=0,2+4+3=0,解得 m=-1.答案：D如何理解“两个复数(不全为实数)只能说相等或不相等,不能比较大小”?剖析：(1)根据复数相等的定义,知在a=c,b=d两式中,只要有一个不成立,则a+bic+di.(2)若两个复数全是实数,则可以比较大小,反之,若两个复数能比较大小,则它
6、们必都是实数(即虚部均为0).(3)若两个复数不全是实数,则不能比较大小.“不能比较大小”的确切含义是指:不论怎样定义两个复数之间的一个关系,都不能使这种关系同时满足实数集中大小关系的四种性质:对于任意实数a,b来说,ab,a=b,ba这三种情况有且只有一种成立;若ab,bc,则ac;若ab,则a+cb+c;若a0,则acbc.题型一 题型二 题型三 题型四 复数的分类【例题1】实数k为何值时,复数(k2-3k-4)+(k2-5k-6)i分别是:(1)实数?(2)虚数?(3)纯虚数?(4)零?分析：根据定义求解.解：令z=(k2-3k-4)+(k2-5k-6)i.(1)当k2-5k-6=0,即
7、k=6或k=-1时,z是实数.(2)当k2-5k-60,即k6,且k-1时,z是虚数.(3)当 2-3-4=0,2-5-6 0,即k=4 时,z 为纯虚数.(4)当 2-3-4=0,2-5-6=0,即k=-1 时,z 是 0.题型一 题型二 题型三 题型四 复数相等【例题2】已知x,y是实数,且满足(3x-10)+i=2+(2-y)i,求x与y的值.分析：根据复数相等的充要条件求解.解：由复数相等的充要条件得 3-10=2,1=2-,解得 =4,=1,故 x=4,y=1.题型一 题型二 题型三 题型四 反思 一般利用复数相等的充要条件,可由一个复数等式得到两个实数等式组成的方程组,从而可确定两个独立参数.复数相等是实现复数向实数转化的桥梁.题型一 题型二 题型三 题型四 复数与实数之间的关系【例题3】已知mR,z1=m2-(m2-3m)i,z2=(m2-4m+3)i+10,若z1z2,求实数m的取值范围.分析：由z1z2,可知z1,z2R,故z1,z2的虚部为0.解：z1z2,z1,z2均为实数,且 z1的实部小于 z2的实部,2-3=0,2-4+3=0,2 10.=0 或=3,=1 或=3,-10 0,则实数=.解析：根据题意,有 2-4+3=0,3-1-0,由得 x=1 或 x=3,代入检验知 x=1.答案：1