1、(2)1.如果向量a=(1,0,1),b=(0,1,1)分别平行于平面、且都与此两平面的交线 l 垂直，则二面角-l-的大小是.60或1202.在三棱锥OABC中，三条棱OA，OB，OC两两互相垂直，且OA=OB=OC，M是AB边的中点，则OM与平面ABC所成角的正切值是_.1111,1,1(0)22OA OBOCABCnOM建立如图所示的空间直角坐标系，设，则可求得平面的一个法向量是，【解析】，6sin|cos|3|3costan23.OMABCn OMn OMn OMOMABC设与平面所成角为，则，则，所以，即与平面所成角的正解析】切值是【1111111111113.90.A B CABC
2、BCADFA BACBCCACCBDAF直三棱柱中，、分别是、的中点若，则与所成角 的余弦值是_ 11111111111 11,0,00,1,0(1)(01)2 21 11(1)(01)2 223304cos.10|3524CCBCACCxyzBCCACCBADFBDBD AFBDAF 以 为原点，取、所在直线分别为、轴，建立空间直角坐标系设，则，所以，=，【解析】-，所以4.如图所示，已 知 四 边 形 ABCD是 正 方 形，PD平面ABCD，PD=AD=2.(1)求异面直线PC与BD所成的角的大小；(2)在线段PB上是否存在一点E，使PC平面ADE？若存在，确定E点的位置；若不存在，说明
3、理由.【解析】如图建立空间直角坐标系，则D(0，0，0)，A(2，0，0),C(0，2，0)，P(0，0，2)，B(2，2，0).(1)因为PC=(0,2,-2),DB=(2,2,0),所以,所以，所以异面直线PC与BD所成的角为60.41cos,22 22 2PC DBPC DBPCDB,60PC DB(2)假设在PB上存在E点，使PC平面ADE.记PE=PB.因为PB=(2,2,-2),所以PE=(2,2,-2),所以E(2,2,2-2),所以AE=(2-2,2,2-2).(2)若PC平面ADE，则有PCAE，即PC AE=8-4=0，所以=,则E(1,1,1).又因为AD平面PDC，所以
4、PCAD.而AEAD=A，所以PC平面ADE.所以存在E点，且E为PB的中点时，能使PC平面ADE.12 (2010)5.1212OABCOAOBOCOAOBOCEOCBEACABEC在三棱锥 中，、两两垂直，且，点 是棱的中点求异面直线与所成角的余弦值；求二面角 江苏省海的门期末考试余弦值 1OOBOCOAxyz以 为原点，所在直线分别为 轴，轴，轴建立空间直角【解析】坐标系，0,0,12,0,00,2,00,1,0(2,1,0)(0,21)|2cos.5|1|ABCEBEACBEACBE ACBEAC 则，所以，-设异面直线与所成角为，则【解析】12222120,0,1()(2,1,0)(
5、0,11)20.0221,2,2cos.31212BECnnxyzABEBEAEn BExyn ACyzn?nnnn|n|n|ABECABEC 易知平面的一个法向量为，不妨设，为平面的一个法向量又，=，-，则取，=因为所求二面角 为钝二面角，所以所求二面角【解析】的余弦值2.3为-1.空间中的角空间的各种角可以看作是通过平移来实现的.在向量方法中，根据向量的数量积研究角的大小，如直线所成的角，确定直线的方向向量，利用向量的数量积求角；直线与平面所成的角，确定直线的方向向量和平面的法向量，利用向量的数量积求角；对于二面角，确定两平面的法向量，利用向量的数量积求角.2.空间中的距离空间的各种距离都
6、是通过垂线或公垂线，按最“短”原则定义的，因此“转化”是求各种距离最重要的思想方法.在空间距离中，点到平面的距离最重要.从几何方法来看，线面距离和面面距离都是转化为点到平面的距离来表示的.异面直线的距离是通过作辅助平面转化为面面或线面距离获得的.在向量方法中，距离是通过射影来体现的.求点到平面的距离：(d是点P到平面的距离，A在平面上，n为平面的法向量).AP ndn1(2011苏北四市期末卷)如图，已知正方形ABCD和矩形ACEF 所 在 的平 面互相垂直，且AB=,AF=1.(1)求直线DF与平面ACEF所成角的正弦值；(2)在线段AC上找一点P，使PF与DA所成的角为60，试确定点P的位
7、置.2【解析】(1)以CD,CB,CE为正交基底，建立如图所示空间直角坐标系，则E(0,0,1),D(,0,0),B(0,0),A(,0),F(,1).222222因为ACBD，AFBD，所以BD是平面ACEF的法向量.又因为DB=,DF=,(2,2,0)(0,2,1)所以故直线DF与平面ACEF所成角的正弦值为.(2)设P(a,a,0)(0a )，则PF=,DA=因为PF,DA=60，所以，解得a=.故存在满足条件的点P，且点P为AC的中点.23cos,323DF DBDF DBDFDB332(2,2,1)aa(0,2,0)22(2)1cos60222(2)1aa22选题感悟：用空间向量求线
8、面角，关键是理清线面角与直线的方向向量、平面的法向量所成角之间的关系，从而确定两个角的三角函数之间的关系2.(2011盐城一模卷)如图，在四棱锥O-ABCD中，底面ABCD是边长为1的菱形，ABC=，OA底面ABCD，OA=2，M为OA的中点.(1)求异面直线AB与MD所成角的大小；(2)求平面OAB与平面OCD所成的二面角的余弦值.4【解析】作APCD于点P，如图，分别以AB，AP，AO所在直线为x,y,z轴建立坐标系，则A(0,0,0),B(1,0,0),P ,D ,O(0,0,2),M(0,0,1).2(0,0)222(,0)22(1)设异面直线AB与MD所成的角为.因为AB=(1,0,
9、0),MD=,所以,所以=.所以异面直线AB与MD所成角的大小为.22(,1)221cos2AB MDABMD33(2)易知OP=,OD=.设平面OCD的法向量为 n1=(x,y,z),则,即取 z=，得 n1=.易得平面OAB的一个法向量为n2=(0,1,0).2(0,2)222(,2)221100n OPn OD2202222022yzxyz2(0,4,2)所以.由图形知，平面OAB与平面OCD所成的二面角的余弦值为.1212122 2cos,3n nn nnn2 23选题感悟：本题以常见的四棱锥为载体，考查空间角的计算.试题的难度适中，能有效地检测考生对立体几何基础知识的熟练程度，同时，也考查了运算能力及分析问题、解决问题的能力.