1、大二轮文2热点题型探究大二轮 数学 文第二讲 数形结合思想 第一编数学思想方法3热点题型探究大二轮 数学 文热点题型探究4热点题型探究大二轮 数学 文思想方法解读 5热点题型探究大二轮 数学 文考点 利用数形结合思想研究方程的根与函数的零点 典例 1 已知定义在 R 上的奇函数 f(x)满足当 x0时，f(x)log12 x1，x0，1，1|x3|，x1，则关于 x 的函数 F(x)f(x)a(0a1)的所有零点之和为()A2a1 B2a1C12aD12a6热点题型探究大二轮 数学 文解析 因为 f(x)为 R 上的奇函数，所以当 x0 时，f(x)f(x)log12 x1，x1，0，1|x3
2、|，x，1，画出函数yf(x)的图象和直线 ya(0a1)，如图 7热点题型探究大二轮 数学 文由图可知，函数 yf(x)的图象与直线 ya(0a0，则关于 x 的方程 f(x)x 的根的个数是()A1 B2C3 D411热点题型探究大二轮 数学 文解析 在同一坐标系中作出y10 x，ylg x以及y4x的图象，其中y10 x，ylg x的图象关于直线yx对称，直线yx与y4x的交点为(2,2)，所以ab4，f(x)x24x2，x0，2，x0，当x0时，由x24x2x可得，x1或2；当x0时，易知x2，所以方程f(x)x的根的个数是3.12热点题型探究大二轮 数学 文考点 利用数形结合思想解不
3、等式或求参数范围典例2 (1)2015福建高考已知AB AC，|AB|1t，|AC|t.若点P是ABC所在平面内的一点，且 AP AB|AB|4AC|AC|，则PBPC的最大值等于()A13 B15C19 D2113热点题型探究大二轮 数学 文14热点题型探究大二轮 数学 文解析 依题意，以点A为坐标原点，建立如图所示的平面直角坐标系，所以点B1t，0，C(0，t)，AP(1.0)4(0.1)(1.4)，即P(1,4)且t0.所以PB PC 1t1，4(1，t4)1t1(1)4(t4)17 1t 4t1721t4t 13(当且仅当 1t 4t，即t 12 时取等号)，所以PBPC的最大值为13
4、，故选A.15热点题型探究大二轮 数学 文(2)2014全国卷已知偶函数f(x)在0，)上单调递减，f(2)0.若f(x1)0，则x的取值范围是_(1,3)解析 作出函数f(x)的大致图象如图所示，因为f(x1)0，所以2x12，解得1x3.则x的取值范围为(1,3)16热点题型探究大二轮 数学 文数形结合思想解决不等式(或求参数范围)的解题思路求参数范围或解不等式问题时经常联系函数的图象，根据不等式中量的特点，选择适当的两个(或多个)函数，利用两个函数图象的上、下位置关系转化成数量关系来解决问题，往往可以避免繁琐的运算，获得简捷的解答17热点题型探究大二轮 数学 文【针对训练2】(1)使lo
5、g2(x)x1成立的x的取值范围是_(1,0)解析 在同一坐标系中，分别作出ylog2(x)，yx1的图象，由图可知，x的取值范围是(1,0)18热点题型探究大二轮 数学 文(2)若不等式|x2a|12xa1对xR恒成立，则a的取值范围是_，12解析 作出y|x2a|和y 12 xa1的简图，依题意知应有2a22a，故a12.19热点题型探究大二轮 数学 文考点 利用数形结合求最值 典例3 (1)已知圆C：(xa)2(yb)21，平面区域：xy70，xy30，y0.若圆心C，且圆C与x轴相切，则a2b2的最大值为()A5 B29C37 D4920热点题型探究大二轮 数学 文解析 由已知得平面区
6、域为MNP内部及边界圆C与x轴相切，b1.显然当圆心C位于直线y1与xy70的交点A(6，1)处时，amax6.a2b2的最大值为621237.故选C.21热点题型探究大二轮 数学 文(2)已知P是直线l：3x4y80上的动点，PA，PB是圆x2y22x2y10的两条切线，A，B是切点，C是圆心，则四边形PACB面积的最小值为_2 2解析 从运动的观点看问题，当动点P沿直线3x4y80向左上方或右下方无穷远处运动时，直角三角形PAC的面积SRtPAC12|PA|AC|12|PA|越来越大，从而S四边形PACB也越来越大；当点P从左上、右下两个方向向中间运动时，S四边形PACB变小，显然，当点P
7、到达一个最特殊的位置，即CP垂直于直线l时，S四边形PACB应有唯一的最小值，22热点题型探究大二轮 数学 文此时|PC|31418|32423，从而|PA|PC|2|AC|22 2.所以(S四边形PACB)min212|PA|AC|2 2.23热点题型探究大二轮 数学 文利用数形结合思想解决最值问题的一般思路利用数形结合的思想可以求与几何图形有关的最值问题，也可以求与函数有关的一些量的取值范围或最值问题(1)对于几何图形中的动态问题，应分析各个变量的变化过程，找出其中的相互关系求解(2)对于求最大值、最小值问题，先分析所涉及知识，然后画出相应图象，数形结合求解24热点题型探究大二轮 数学 文
8、【针对训练3】2016潍坊模拟已知函数f(x)x22(a2)xa2，g(x)x22(a2)xa28，设H1(x)maxf(x)，g(x)，H2(x)minf(x)，g(x)(maxp，q表示p，q中的较大值，minp，q表示p，q中的较小值)，记H1(x)的最小值为A，H2(x)的最大值为B，则AB()A16 B16Ca22a16 Da22a1625热点题型探究大二轮 数学 文解析 H1(x)maxf(x)，g(x)fx，fxgx，gx，fxgx.26热点题型探究大二轮 数学 文由f(x)g(x)x22(a2)xa2x22(a2)xa28，解得x1a2，x2a2.而函数f(x)x22(a2)x
9、a2，g(x)x22(a2)xa28的图象的对称轴恰好分别为xa2，xa2，可见二者图象的交点正好在它们的顶点处，如图1所示，因此H1(x)，H2(x)的图象分别如图2，图3所示(图中实线部分)27热点题型探究大二轮 数学 文可见，AH1(x)minf(a2)4a4，BH2(x)maxg(a2)124a，从而AB16.28热点题型探究大二轮 数学 文考点 数形结合思想在解析几何中的应用 典例4 已知F1、F2分别是双曲线 x2a2 y2b2 1(a0，b0)的左、右焦点，过点F2与双曲线的一条渐近线平行的直线交双曲线另一条渐近线于点M，若点M在以线段F1F2为直径的圆外，则双曲线离心率的取值范
10、围是()A(1，2)B(2，3)C(3，2)D(2，)29热点题型探究大二轮 数学 文解析 如图所示，过点F2(c,0)且与渐近线y ba x平行的直线为y ba(xc)，与另一条渐近线y ba x联立得ybaxc，ybax，解得xc2，ybc2a，30热点题型探究大二轮 数学 文即点Mc2，bc2a.31热点题型探究大二轮 数学 文|OM|c22bc2a2c21ba2点M在以线段F1F2为直径的圆外，|OM|c，即c21ba2c，得1ba22.双曲线离心率eca1ba22.故双曲线离心率的取值范围是(2，)故选D.32热点题型探究大二轮 数学 文数形结合在解析几何中的解题策略(1)数形结合思
11、想中一个非常重要的方面是以数解形，通过方程等代数方法来研究几何问题，也就是解析法，解析法与几何法结合来解题，会有更大的功效(2)此类题目的求解要结合该曲线的定义及几何性质，将条件信息和结论信息结合在一起，观察图形特征，转化为代数语言，即方程(组)或不等式(组)，从而将问题解决33热点题型探究大二轮 数学 文【针对训练4】已知中心在原点的椭圆与双曲线有公共焦点，且左、右焦点分别为F1、F2，且两条曲线在第一象限的交点为P，PF1F2是以PF1为底边的等腰三角形若|PF1|10，椭圆与双曲线的离心率分别为e1，e2，则e1e2的取值范围是()A(0，)B.13，C.15，D.19，34热点题型探究大二轮 数学 文解析 如图，由题意知r110，r22c，且r1r2.e22c2a双 2cr1r22c102cc5c；e1 2c2a椭 2cr1r22c102cc5c.35热点题型探究大二轮 数学 文三角形两边之和大于第三边，2c2c10，c52，e1e2c225c2125c2113，因此选B.