1、第九章 直线、平面、简单几何体第 讲（第一课时）考点搜索空间两直线的位置关系三线平行公理和等角定理异面直线的概念、夹角和距离高考高考猜想1.判断两直线的位置关系，两直线平行的判定与转化.2.异面直线所成的角和距离的分析与计算.1.空间两条不同直线的位置关系有相交、平 行、异 面 三 种，其 中 两 相 交 直 线 是 指_公共点的两直线;两平行直线是指在_;且_公共点的两直线;两异面直线是指_ 的两直线.2.在空间中，如果两直线a、b都平行于同一条直线，则直线a、b的位置关系是_.有且只有一个同一平面内没有不同在任何一个平面内平行3.在空间中，如果一个角的两边和另一个角的两边_，并且这两个角的
2、_，那么这两个角相等.4.既不平行又不相交的两直线是_；连结平面内一点与平面外一点的直线，和这个平面_的直线是异面直线.分别平行方向相同异面直线不经过此点5.过空间任意一点分别作两异面直线a、b的平行线，则这两条相交直线所成_叫做异面直线a和b所成的角；两条异面直线所成的角的取值范围是 _;如果两条异面直线所 成 的 角 为 9 0 ，则 称 这 两 条 异 面 直 线_.6.和两条异面直线都 _的直线，称 为 异 面 直 线 的 公 垂 线；两 条 异 面 直 线 的_夹在这两条异面 直线之间的长度，叫做这两条异面直 线 的_.锐角或直角互相垂直垂直相交(0,2公垂线距离1.“两直线没有公共
3、点”是“两直线平行”的()A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件解：两直线没有公共点，可知两直线平行或异面；而由两直线平行，可知两直线没有公共点.即“两直线没有公共点”是“两直线平行”的必要不充分条件.故选B.B2.如右图，正四面体S-ABC中，D为SC的中点，则BD与SA所成角的余弦值是()A.B.C.D.33C233626解：取AC的中点E，连结DE、BE，则DESA，所以BDE就是BD与SA所成的角.设SA=a，则BD=BE=a，DE=a，32122223cos26BDDEBEBDEBD DE3.六棱柱ABCDEF-A1B1C1D1E1F1的底面边长为1
4、，侧棱长为，则这个棱柱的侧面对角线E1D与BC1所成的角是_.解：连结FE1、FD，由正六棱柱相关性质可得FE1BC1，所以FE1D即为E1D与BC1所成的角.260在EFD中，EF=ED=1，FED=120，所以在EFE1和EE1D中，易得所以E1FD是等边三角形，所以FE1D=60.222cos1203.FDEFEDEF ED211(2)13E FE D1.在空间四边形ABCD中，连结两条对角线AC、BD，若M、N分别是ABC和ACD的重心，求证：MNBD.证明：连结AM并延长交BC于E，连结AN并延长交CD于F.因为M、N分别是ABC、ACD的重心，题型1 两直线的平行问题所以E、F分别
5、是BC、CD的中点.结EF，则EFBD.因为=2，=2，所以MNEF.故MNBD.点评：证明空间两直线平行，可转化为在同一平面内两直线的平行问题，然后利用平行的判定证得平行.AMMEANNF如图，在空间四边形ABCD中，E、H分别是AB、AD的中点，F、G分别是CB、CD上的点，且.(1)证明：EHFG;(2)若BD=6，四边形EFGH的面积为28，求平行线EH与FG的距离.23CFCGCBCD解：(1)证明：因为E、H分别是AB、AD的中点，所以因为，所以FGBD，且，所以EHFG.12EH/BD23CFCGCBCD23FGBD(2)因为BD=6，所以EH=3，BD=4.又四边形EFGH是梯
6、形，设EH与FG的距离为h，由已知得(EH+FG)h=28，所以h=28，所以h=8.故平行线EH与FG的距离为8.23FG 12722.已知=l，a ，b.若al=A，且bl，求证：a与b是异面直线.证明：假设a，b不是异面直线，则ab或a与b相交.若ab，因为bl，所以al，这与al=A矛盾，所以a b.若a与b相交，设ab=B.因为a ，b ，题型2 异面直线问题/所以B，B，即B为、的一个公共点.因为=l，所以Bl，从而bl=B，这与bl矛盾.所以a与b不相交.故a与b是异面直线.点评：空间直线的位置关系有三种：平行、相交、异面.本题证两直线异面用的是反证法.利用反证法证明时，首先是反
7、设(即否定结论)，并把反设作为一个推理条件，然后逐步推理，直到得出矛盾.如图，在空间四边形ABCD中，AD=AC=BC=BD=a，AB=CD=b，E、F分别是AB、CD的中点.(1)求证：EF是AB和CD的公垂线；(2)求AB和CD间的距离.解：(1)证明：连结CE、DE.所以ABEF，同理CDEF，所以EF是AB和CD的公垂线.(2)ECD中，所以ACBCABCEADBDABDEAEBEABCDE平面224bECaED222bEFa参 考 题参 考 题斜三棱柱ABC-A1B1C1的各棱长都为a，B1BA=B1BC=ABC，求异面直线A1B1和BC1的距离.解：因为ABC为正三角形，所以ABC
8、=60，从而B1BA=B1BC=60.连结AB1、CB1.因为BA=BB1=a，所以ABB1和CBB1都是正三角形，所以AB1=CB1=a，从而四面体ABCB1为正四面体，所以ABB1C.因为A1B1AB，所以B1CA1B1.又四边形BCC1B1为菱形，所以BC1B1C，所以B1C为异面直线A1B1和BC1的公垂线.设B1C交BC1于D，则B1D=B1C=.故异面直线A1B1和BC1的距离为.122a2a1.利用三线平行公理判断或证明两直线平行，关键是找到第三条直线，使得这两条直线都与第三条直线平行.2.判定两直线是否为异面直线，一般根据图形的直观性，结合异面直线的定义及异面直线的判定定理就能确定.证明两直线为异面直线，通常用反证法.3.由三线平行公理可知，在空间中，过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行.4.空间两直线垂直包括相交垂直和异面垂直两种.在空间中垂直于同一条直线的两直线可能平行、相交或异面；过一点有无数条直线与已知直线垂直.