1、2.4.2 抛物线的几何性质1.掌握抛物线的几何性质.2.能根据这些几何性质解决一些简单问题.1.抛物线y2=2px(p0)的几何性质(1)范围.因为p0,所以这条抛物线上任意一点M的坐标(x,y)满足不等式x0,抛物线在y轴的右侧,当x的值增大时,|y|也增大,这说明抛物线向右上方和右下方无限延伸,它开口向右.(2)对称性.关于x轴对称,抛物线的对称轴叫做抛物线的轴.(3)顶点.抛物线和它的轴的交点叫做抛物线的顶点,这条抛物线的顶点为坐标原点.(4)离心率.抛物线上的点到焦点的距离与到准线的距离的比,叫做抛物线的离心率,用e表示,由抛物线的定义知e=1.【做一做1】已知抛物线的方程为y2=1
2、6x,则抛物线的准线方程为()A.x=-2B.x=4 C.x=8D.x=-4 解析:2p=16,故抛物线的准线方程为x=-4.故选D.答案:D 2=4.【做一做2】已知抛物线y2=4x上一点A的横坐标为4,则点A与抛物线焦点的距离为()A.2B.3 C.4D.5 解析:因为抛物线准线为x=-1,且点A的横坐标为4,所以点A到准线的距离为5.又因为点A到准线的距离与到焦点的距离相等,所以点A到焦点的距离为5.答案:D 2.在直角坐标平面上,顶点在原点、对称轴与坐标轴重合的抛物线有四种位置情况,因此抛物线的方程相应地有四种形式,它们都叫做抛物线的标准方程.3.四种标准形式的抛物线几何性质的比较 标
3、准方程 y2=2px(p0)y2=-2px(p0)图形 范围 x0,yR x0,yR 对称轴 x 轴 顶点 原点 O(0,0)焦点坐标 2,0 -2,0 准线方程 x=2 x=2 离心率 e=1 标准方程 x2=2py(p0)x2=-2py(p0)图形 范围 y0,xR y0,xR 对称轴 y 轴 顶点 原点 O(0,0)焦点坐标 0,2 0,-2 准线方程 y=2 y=2 离心率 e=1 四种形式的抛物线标准方程的对比 剖析:(1)共同点:原点在抛物线上;焦点在坐标轴上;焦点的非零坐标都是一次项系数的 14.(2)不同点:焦点在x轴上时,方程的右端为2px,左端为y2;焦点在y轴上时,方程的
4、右端为2py,左端为x2;开口方向与x轴(或y轴)的正半轴方向相同,焦点在x轴(或y轴)正半轴上,方程右端取正号;开口方向与x轴(或y轴)的负半轴方向相同,焦点在x轴(或y轴)负半轴上,方程右端取负号.题型一 题型二 题型三 抛物线中的最值问题【例1】若点A的坐标为(3,2),F为抛物线y2=2x的焦点,点P在该抛物线上移动,为使得|PA|+|PF|取得最小值,则点P的坐标为 .解析:由抛物线定义,知|PF|等于点P到抛物线准线的距离|PP|,如图所示.因此,当且仅当点P,A,P在同一条直线上时,有|PF|+|PA|=|PP|+|PA|最小,此时点P的纵坐标等于点A的纵坐标,即y=2,故此时点
5、P的坐标为(2,2).答案:(2,2)题型一 题型二 题型三 反思求抛物线中的最值时,应从分析图形的性质入手,将三角形的性质与抛物线的定义、性质相结合,从而使问题简单化.题型一 题型二 题型三 求抛物线的标准方程【例2】分别求适合下列条件的抛物线的标准方程:(1)顶点在原点,以坐标轴为对称轴,且过点A(2,3);(2)顶点在原点,以坐标轴为对称轴,焦点到准线的距离为 52.解:(1)由题意,方程可设为 y2=mx(m0)或 x2=ny(n0),将点 A(2,3)的坐标代入,得 32=m2 或 22=n3,解得 m=92 或n=43.故所求的抛物线方程为 y2=92 或x2=43.(2)由焦点到
6、准线的距离为 52,可知p=52.故所求抛物线方程为 y2=5x 或 y2=-5x 或 x2=5y 或 x2=-5y.反思1.抛物线的标准方程有四种形式,主要看其焦点位置或开口方向.2.抛物线的标准方程中只有一个参数.题型一 题型二 题型三 抛物线几何性质的应用【例3】已知抛物线的标准方程如下,分别求其焦点坐标和准线方程:(1)x2=4y;(2)2y2+5x=0.分析:先根据抛物线的标准方程求出参数p,再根据开口方向,写出焦点坐标和准线方程.解:(1)由抛物线的标准方程,知抛物线的焦点在y轴正半轴上,开口向上,且2p=4.所以p=2.故焦点坐标为(0,1),准线方程为y=-1.(2)将 2y2
7、+5x=0 变形为 y2=52.所以 2p=52,=54,开口向左.故焦点坐标为 -58,0,准线方程为x=58.题型一 题型二 题型三 反思由抛物线的标准方程求其焦点坐标和准线方程,首先判断抛物线的开口方向,求出参数p,然后再求解.123451.已知抛物线的准线方程为x=-7,则抛物线的标准方程为()A.x2=-28yB.y2=28x C.y2=-28xD.x2=28y 解析:2=7,=14.又焦点在x 轴上,故抛物线的标准方程为 y2=28x.答案:B123452.抛物线 y=-x2 的焦点坐标为()A.0,14 B.0,-14 C.14,0 D.-14,0 解析:因为 y=-x2 可化为
8、标准方程 x2=-y,所以 p=12.故所求焦点坐标为 0,-14.故选B.答案:B123453.已知抛物线 y2=x 上一点 P 到焦点的距离是 2,则点 P 的坐标为()A.32,62 B.74,72 C.94,32 D.52,102 解析:抛物线 y2=x 的准线方程为 x=14,焦点为 14,0,设 P(x1,y1),由抛物线定义知x1+14=2,所以x1=2 14=74.由12=74,得y1=72,故点 P 的坐标为 74,72 .答案:B123454.若抛物线y2=mx(m0)的准线与直线x=1的距离为3,则抛物线的方程为 .解析:当 m0 时,准线方程为 x=4=2,所以 m=8.此时抛物线方程为 y2=8x;当 m0 时,准线方程为 x=4=4,所以 m=-16.此时抛物线方程为 y2=-16x.故所求抛物线方程为 y2=8x 或 y2=-16x.答案:y2=8x 或 y2=-16x123455.已知抛物线的焦点在x轴的正半轴上,焦点到准线的距离是3,则抛物线的标准方程、焦点坐标和准线方程分别为 、.解析:由已知,得 p=3,所以所求抛物线的标准方程为 y2=6x.故焦点坐标为 32,0,准线方程为x=32.答案:y2=6x 32,0 =32