1、大二轮文2热点题型探究大二轮 数学 文第一讲 函数与方程思想 第一编数学思想方法3热点题型探究大二轮 数学 文热点题型探究4热点题型探究大二轮 数学 文思想方法解读5热点题型探究大二轮 数学 文考点 求最值或参数的范围 典 例1 2015 山 东 高 考 设 函 数f(x)3x1，x1，2x，x1.则满足 f(f(a)2f(a)的 a 的取值范围是()A.23，1B0,1C.23，D1，)6热点题型探究大二轮 数学 文解析 由题意知，f(a)3a1，a1，2a，a1.由 f(a)1，解得 a23.所以 f(f(a)3fa1，fa12fa，fa1 33a11，a23，23a1，23a1，22a，
2、a1.7热点题型探究大二轮 数学 文故当 a23时，方程 f(f(a)2f(a)化为 9a423a1，即 18a823a.8热点题型探究大二轮 数学 文如图，分别作出直线 y18x8 与函数 y23x8x 的图象，根据图象分析可知，A 点横坐标为23，故 a23不符合题意当23a0，所以 f(x)在(0，)上单调递增若 a0，则当 x0，1a 时，f(x)0；当 x1a，12热点题型探究大二轮 数学 文时，f(x)0 时，f(x)在0，1a 上单调递增，在1a，上单调递减13热点题型探究大二轮 数学 文(2)由(1)知，当 a0 时，f(x)在(0，)无最大值；当a0 时，f(x)在 x1a处
3、取得最大值，最大值为 f1a ln 1a a11a ln aa1.因此 f1a 2a2 等价于 ln aa10.令 g(a)ln aa1，则 g(a)在(0，)上单调递增，g(1)0.于是，当 0a1 时，g(a)1 时，g(a)0.因此，a 的取值范围是(0,1)14热点题型探究大二轮 数学 文考点 解决图象交点或方程根等问题 典例 2 已知函数 f(x)x22ext1，g(x)xe2x(x0)，其中 e 表示自然对数的底数(1)若 g(x)m 有实根，求 m 的取值范围；(2)确定 t 的取值范围，使得 g(x)f(x)0 有两个相异实根解(1)解法一：因为 x0，所以 g(x)xe2x
4、2 e22e，等号成立的条件是 xe.故 g(x)的值域是2e，)，因而只需 m2e，g(x)m 就有实根15热点题型探究大二轮 数学 文解法二：作出 g(x)xe2x(x0)的图象，如图所示，观察图象可知 g(x)的最小值为 2e，因此要使 g(x)m 有实根，则只需 m2e.16热点题型探究大二轮 数学 文解法三：由 g(x)m，得 x2mxe20，此方程有大于 0 的根，故m20，m24e20，等价于m0，m2e或m2e，故 m2e.17热点题型探究大二轮 数学 文(2)若 g(x)f(x)0 有两个相异的实根，则函数 g(x)与f(x)的图象有两个不同的交点因为 f(x)x22ext1
5、(xe)2t1e2，所以函数 f(x)图象的对称轴为直线 xe，开口向下，最大值为t1e2.18热点题型探究大二轮 数学 文由题意，作出 g(x)xe2x(x0)及 f(x)x22ext1 的大致图象，如图所示故当 t1e22e，即 t e22e1 时，g(x)与 f(x)的图象有两个不同的交点，即 g(x)f(x)0 有两个相异实根所以 t 的取值范围是(e22e1，)19热点题型探究大二轮 数学 文解决图象交点及方程根问题的方法函数图象的交点、函数零点、方程的根三者之间可互相转化，解题的宗旨就是函数与方程的思想即方程的根可转化为函数零点、函数图象的交点，反之函数零点、函数图象交点个数问题也
6、可转化为方程根的问题20热点题型探究大二轮 数学 文【针对训练 2】已知定义在 R 上的函数 f(x)满足：f(x)x22，x0，1，2x2，x1，0，且 f(x2)f(x)，g(x)2x5x2，则方程 f(x)g(x)在区间5,1上的所有实根之和为()A5 B6C7 D8解析 g(x)2x5x2 2x21x22 1x2，由题意知函数 f(x)的周期为 2，则函数 f(x)，g(x)在区间5,1上的图象如图所示：21热点题型探究大二轮 数学 文由图象知 f(x)、g(x)有三个交点，故方程 f(x)g(x)，在x5,1上有三个根 xA、xB、xC，且 xB3，xAxC22，xAxC4，xAxB
7、xC7.22热点题型探究大二轮 数学 文考点 函数与方程思想在不等式中的应用 典例 3 设函数 f(x)cos2xsinxa1，已知不等式1f(x)174 对一切 xR 恒成立，求 a 的取值范围 解 f(x)cos2xsinxa11sin2xsinxa1sinx122a14.因为1sinx1，所以当 sinx12时，23热点题型探究大二轮 数学 文函数有最大值 f(x)maxa14，当 sinx1 时，函数有最小值 f(x)mina2.因为 1f(x)174 对一切 xR 恒成立，所以 f(x)max174 且 f(x)min1，即a14174，a21，解得 3a4，所以 a 的取值范围是3
8、,424热点题型探究大二轮 数学 文不等式恒成立问题的处理方法在解决不等式恒成立问题时，一种最重要的思想方法就是构造适当的函数，利用函数的图象和性质解决问题同时要注意在一个含多个变量的数学问题中，需要确定合适的变量和参数，从而揭示函数关系，使问题更明朗化一般地，已知存在范围的量为变量，而待求范围的量为参数25热点题型探究大二轮 数学 文【针对训练 3】设 f(x)，g(x)分别是定义在 R 上的奇函数和偶函数，当 x0，且 g(3)0，则不等式 f(x)g(x)0 的解集是_(，3)(0,3)解析 设 F(x)f(x)g(x)，由于 f(x)，g(x)分别是定义在R 上的奇函数和偶函数，得 F
9、(x)f(x)g(x)f(x)g(x)F(x)，即 F(x)在 R 上为奇函数26热点题型探究大二轮 数学 文又当 x0，所以 x0 时，F(x)也是增函数因为 F(3)f(3)g(3)0F(3)所以，由图可知 F(x)1 时，记 cnanbn，求数列cn的前 n 项和 Tn.28热点题型探究大二轮 数学 文解(1)由题意有，10a145d100，a1d2，即2a19d20，a1d2，解得a11，d2 或a19，d29.故an2n1，bn2n1或an192n79，bn929n1.29热点题型探究大二轮 数学 文(2)由 d1，知 an2n1，bn2n1，故 cn2n12n1，于是Tn132 5
10、22 723 9242n12n1，12Tn12 322523 724 9252n12n.可得12Tn212 122 12n22n12n32n32n，故 Tn62n32n1.30热点题型探究大二轮 数学 文数列问题函数(方程)化法数列问题函数(方程)化法形式结构与函数(方程)类似，但要注意数列问题中 n 的取值范围为正整数，涉及的函数具有离散性特点，其一般解题步骤是：第一步：分析数列式子的结构特征第二步：根据结构特征构造“特征”函数(方程)，转化问题形式31热点题型探究大二轮 数学 文第三步：研究函数性质结合解决问题的需要研究函数(方程)的相关性质，主要涉及函数单调性与最值、值域问题的研究第四步
11、：回归问题结合对函数(方程)相关性质的研究，回归问题32热点题型探究大二轮 数学 文【针对训练 4】2016东城模拟已知数列an是各项均为正数的等差数列(1)若 a12，且 a2，a3，a41 成等比数列，求数列an的通项公式 an；(2)在(1)的条件下，数列an的前 n 项和为 Sn，设 bn 1Sn1 1Sn2 1S2n，若对任意的 nN*，不等式 bnk 恒成立，求实数 k 的最小值33热点题型探究大二轮 数学 文解(1)因为 a12，a23a2(a41)，又因为an是正项等差数列，故公差 d0，所以(22d)2(2d)(33d)，解得 d2 或 d1(舍去)，所以数列an的通项公式
12、an2n.(2)因为 Snn(n1)，bn 1Sn1 1Sn2 1S2n1n1n21n2n334热点题型探究大二轮 数学 文12n2n1 1n1 1n2 1n2 1n3 12n12n1 1n112n1n2n23n112n1n3，令 f(x)2x1x(x1)，则 f(x)21x2，当 x1 时，f(x)0 恒成立，35热点题型探究大二轮 数学 文所以 f(x)在1，)上是增函数，故当 x1 时，f(x)minf(1)3，即当 n1 时，(bn)max16，要使对任意的正整数 n，不等式 bnk 恒成立，则须使k(bn)max16，所以实数 k 的最小值为16.36热点题型探究大二轮 数学 文考点
13、 函数与方程思想在解析几何中的应用 典例 5 2015陕西高考已知椭圆 E：x2a2y2b21(ab0)的半焦距为 c，原点 O 到经过两点(c,0)，(0，b)的直线的距离为12c.37热点题型探究大二轮 数学 文(1)求椭圆 E 的离心率；(2)如图，AB 是圆 M：(x2)2(y1)252的一条直径，若椭圆 E 经过 A，B 两点，求椭圆 E 的方程解(1)过点(c,0)，(0，b)的直线方程为 bxcybc0，则原点 O 到直线的距离 dbcb2c2bca，由 d12c，得 a2b2 a2c2，解得离心率ca 32.38热点题型探究大二轮 数学 文(2)解法一：由(1)知，椭圆 E 的
14、方程为x24y24b2.依题意，圆心 M(2,1)是线段 AB 的中点，且|AB|10.易知，AB 与 x 轴不垂直，设其方程为 yk(x2)1，代入得(14k2)x28k(2k1)x4(2k1)24b20.设 A(x1，y1)，B(x2，y2)，则 x1x28k2k114k2，x1x242k124b214k2.39热点题型探究大二轮 数学 文由 x1x24，得8k2k114k2 4，解得 k12.从而 x1x282b2.于是|AB|1122|x1x2|52x1x224x1x2 10b22.由|AB|10，得10b22 10，解得 b23.故椭圆 E 的方程为x212y231.40热点题型探究
15、大二轮 数学 文解法二：由(1)知，椭圆 E 的方程为x24y24b2.依题意，点 A，B 关于圆心 M(2,1)对称，且|AB|10.设 A(x1，y1)，B(x2，y2)，则x214y214b2,x224y224b2，两式相减并结合 x1x24，y1y22，得4(x1x2)8(y1y2)0.易知 AB 与 x 轴不垂直，则 x1x2，所以 AB 的斜率 kABy1y2x1x212.41热点题型探究大二轮 数学 文因此直线 AB 的方程为 y12(x2)1，代入得x24x82b20.所以 x1x24，x1x282b2.于是|AB|1122|x1x2|52x1x224x1x2 10b22.由|
16、AB|10，得10b22 10，解得 b23.故椭圆 E 的方程为x212y231.42热点题型探究大二轮 数学 文函数与方程思想在解析几何中的应用(1)利用方程求椭圆离心率的方法第一步：设椭圆的标准方程x2a2y2b21.第二步：转化几何、向量、三角等关系为数量关系第三步：利用方程思想建立 a、b、c 的关系式构建离心率 eca或 e1ba2(ab0)43热点题型探究大二轮 数学 文(2)解析几何中的最值问题解析几何中的最值是高考的热点，在圆锥曲线的综合问题中经常出现，求解此类问题的一般思路为在深刻认识运动变化的过程之中，抓住函数关系，将目标量表示为一个(或者多个)变量的函数，然后借助于函数
17、最值的探求来使问题得以解决44热点题型探究大二轮 数学 文(3)解析几何中的范围问题的解题步骤第一步：联立方程第二步：求解判别式.第三步：代换利用题设条件和圆锥曲线的几何性质，得到所求目标参数和判别式不等式中的参数的一个等量关系，将其代换第四步：下结论将上述等量代换式代入 0 或 0中，即可求出目标参数的取值范围45热点题型探究大二轮 数学 文第五步：回顾反思在研究直线与圆锥曲线的位置关系问题时，无论题目中有没有涉及求参数的取值范围，都不能忽视了判别式对某些量的制约，这是求解这类问题的关键环节46热点题型探究大二轮 数学 文【针对训练 5】已知椭圆 C：x2a2y2b21(ab0)的离心率为
18、22，左、右焦点分别为 F1、F2，以原点 O 为圆心，椭圆 C 的短半轴长为半径的圆与直线 xy20 相切(1)求椭圆 C 的标准方程；(2)设 Q 为椭圆 C 上不在 x 轴上的一个动点，过点 F2 作OQ 的平行线交椭圆 C 于 M、N 两个不同的点，记QF2M的面积为 S1，OF2N 的面积为 S2，令 SS1S2，求 S 的最大值47热点题型探究大二轮 数学 文解(1)由题意知 eca 22，所以 e2c2a2a2b2a212，即 a22b2，又以原点 O 为圆心，椭圆 C 的短半轴长为半径的圆为 x2y2b2，且与直线 xy20 相切，所以 b21212 2，所以 a24，b22，
19、故椭圆 C 的标准方程为x24y221.48热点题型探究大二轮 数学 文(2)设 M(x1，y1)，N(x2，y2)，直线 OQ：xmy，则直线MN：xmy 2，由xmy 2，x24y221，得(m22)y22 2my20，y1y22 2mm22，y1y22m22.所以|MN|m21|y2y1|m21y1y224y1y249热点题型探究大二轮 数学 文 m212 2mm22242m224m21m22，因为 MNOQ，所以QF2M 的面积等于OF2M 的面积，SS1S2SO MN，因为点 O 到直线 MN：xmy 2的距离 d2m21，50热点题型探究大二轮 数学 文所以 S12|MN|d124
20、m21m22 2m212 2 m21m22.令m21t，则 m2t21(t1)，S2 2tt212 2t1t，因为 t1t2t1t2(当且仅当 t1t，即 t1，也即 m0 时取等号)，所以当 m0 时，S 取得最大值 2.51热点题型探究大二轮 数学 文考点 函数与方程思想在平面向量中的应用 典例 6 已知 e1，e2 是单位向量，e1e212.若向量 b满足be12，be252，且对于任意x，yR，|b(xe1ye2)|b(x0e1y0e2)|1(x0，y0R)，则 x0_，y0_，|b|_.1 2 2 2 52热点题型探究大二轮 数学 文解析 问题等价于|b(xe1ye2)|当且仅当 x
21、x0，yy0 时取到最小值 1，即|b(xe1ye2)|2b2x2e21y2e222xbe12ybe22xye1e2|b|2x2y24x5yxy 在 xx0，yy0 时取到最小值 1，又|b|2x2y24x5yxyx2(y4)xy25y|b|2xy42234(y2)27|b|2，53热点题型探究大二轮 数学 文所以x0y0420，y020，7|b|21，解得x01，y02，|b|2 2.54热点题型探究大二轮 数学 文函数与方程思想在平面向量中的应用策略平面向量问题的函数(方程)法是把平面向量问题，通过模、数量积等转化为关于相应参数的函数(方程)问题，从而利用相关知识结合函数或方程思想来处理有
22、关参数值问题其一般的解题要点如下：55热点题型探究大二轮 数学 文(1)向量代数化，利用平面向量中的模、数量积等，结合向量的位置关系、数量积公式等进行代数化，得到含有参数的函数(方程)(2)代数函数(方程)化，利用函数(方程)思想，结合相应的函数(方程)的性质来求解问题(3)得出结论，根据条件建立相应的关系式，并得到对应的结论56热点题型探究大二轮 数学 文【针对训练 6】已知 e1，e2 是平面两个相互垂直的单位向量，若向量 b 满足|b|2，be11，be21，则对于任意 x，yR，|b(xe1ye2)|的最小值为_2 解析|b(xe1ye2)|2b2x2e21y2e222xbe12ybe22xye1e2|b|2x2y22x2y(x1)2(y1)222，当且仅当 x1，y1 时，|b(xe1ye2)|2 取得最小值 2，此时|b(xe1ye2)|取得最小值 2，故填 2.