1、3.1.3 复数的几何意义1.掌握复数的几何意义,即能够掌握复数与复平面内的点的对应关系,掌握向量、复数及复平面上点的坐标之间的转化关系.2.能够利用复数的几何意义解决一些较简单的题目.1 2 3 1.复数的几何表示根据复数相等的定义,复数 z=a+bi 被一个有序实数对(a,b)所唯一确定,而每一个有序实数对(a,b),在平面直角坐标系中又唯一确定一点 Z(a,b)(或一个向量 ).这就是说,每一个复数,对应着平面直角坐标系中唯一的一个点(或一个向量);反过来,平面直角坐标系中每一个点(或每一个向量),也对应着唯一的一个有序实数对.这样我们通过有序实数对,可以建立复数=+i 和点(,)(或向
2、量 )之间的一一对应关系.点(,)或向量 是复数的几何表示(如图).1 2 3 复数 z=a+bi有序实数对(a,b)点 Z(a,b).1 2 3【做一做1-1】对于复平面,下列命题中是真命题的是()A.虚数集和各个象限内的点的集合是一一对应的 B.实、虚部都是负数的虚数的集合与第二象限内的点的集合是一一对应的 C.实部是负数的复数的集合与第二、三象限的点的集合是一一对应的 D.实轴上方的点的集合与虚部为正数的复数的集合是一一对应的 1 2 3 解析：当虚数为纯虚数时,所对应的点位于虚轴上,不属于任何象限,因此选项A不正确;实、虚部都是负数的虚数的集合与第三象限内的点的集合是一一对应的,因此选
3、项B不正确;实部是负数的实数所对应的点位于实轴上,不属于第二、三象限,因此选项C不正确;选项D正确.答案：D 1 2 3【做一做1-2】设z=(2a2+5a-3)+(a2-2a+3)i(aR),则下列命题正确的是()A.z的对应点Z在第一象限 B.z的对应点Z在第四象限 C.z不是纯虚数 D.z是虚数 解析：由2a2+5a-3=(2a-1)(a+3),得其实部可正,可负也可以是零,而虚部a2-2a+3=(a-1)2+20,故z是虚数.答案：D 1 2 3 2.复平面 建立了平面直角坐标系来表示复数的平面叫做复平面.在复平面内,x轴叫做实轴,y轴叫做虚轴.x轴的单位是1,y轴的单位是i.实轴与虚
4、轴的交点叫做原点,原点(0,0)对应复数0.名师点拨1.复数与向量建立一一对应关系的前提是起点都是原点.2.复数z的几何表示为我们用向量方法解决复数问题或用复数方法解决向量问题创造了条件.1 2 3【做一做2】下面有关复平面的命题,其中正确的有 .(填序号)实轴与虚轴无交点;实轴上的点对应的复数为实数,虚轴上的点对应的复数为虚数;实轴与虚轴的单位都是1;实数对应的点在实轴上,纯虚数对应的点在虚轴上.解析：由于实轴与虚轴相交于原点,故错;由于原点也在虚轴上,它与复数0对应,故不正确;虚轴的单位为i,所以错;正确.答案：1 2 3 3.复数的模、共轭复数(1)设 =+i(,R),则向量 的长度叫做
5、复数+i 的模(或绝对值),记作|+i|,|+i|=2+2.(2)如果两个复数的实部相等,而虚部互为相反数,则这两个复数叫做互为共轭复数.复数 z 的共轭复数用表示.1 2 3 归纳总结 1.复数 z 的模即有向线段的长度或两点间的距离.在数轴(一元坐标)上我们叫实数的绝对值,在直角坐标系(二元坐标)上我们叫向量的模,但叫绝对值也可以.其本质都是线段的长.2.由|z|=2+2,得|z|2=a2+b2,而由 a2+b2=(a+bi)(a-bi),可得公式 z=2=2,这一公式在分解因式、复数与实数的互化、模及共轭复数的运算中都应用很广泛.1 2 3【做一做3-1】复数i+2i2的共轭复数是()A
6、.2+i B.2-i C.-2+iD.-2-i 解析：i+2i2=-2+i,其共轭复数是-2-i.答案：D 1 2 3【做一做3-2】满足条件|z|=|3+4i|的复数z在复平面上对应的点Z的轨迹是()A.一条直线 B.两条直线 C.圆D.椭圆 解析：|3+4i|=32+42=5.故复数z 的模为 5,即点 Z 到原点的距离等于 5,因此满足条件|z|=5 的点 Z 的集合是以原点为圆心,以5 为半径的圆.答案：C1 2 1.如何理解复数的两种几何形式?剖析：这种对应关系架起了联系复数与解析几何之间的桥梁,使得复数问题可以用几何方法解决,而几何问题也可以用复数方法解决(即数形结合法),增加了解
7、决复数问题的途径.1 2 复数 z=a+bi(a,bR)对应的点的坐标是(a,b),而不是(a,bi).复数z=a+bi(a,bR)对应的向量 是以原点O 为起点的,否则就谈不上一一对应,因为复平面上与 相等的向量有无数个.1 2 2.复数的模、共轭复数有什么联系?剖析：(1)复数 z=a+bi(a,bR)的模用|z|表示,其公式为|z|=2+2,它既是z 对应的向量 的长度又是其对应的点Z(a,b)到原点的距离.(2)复数 z=a+bi(a,bR)的共轭复数为=i,它们对应的点关于实轴对称.当 b=0 时,z=,此时z与对应的点是实轴上的同一个点.如果 z=,可以推得z 为实数.由此可得 z
8、=z 为实数.|z|2=z.题型一 题型二 题型三 题型四 复数的几何表示【例题1】已知aR,则z=(a2-2a+4)-(a2-2a+2)i所对应的点在第几象限?复数z所对应的点的轨迹是什么?分析：根据复数与复平面上点的对应关系知,复数z对应的点在第几象限与复数z的实部和虚部的符号有关;求复数z对应的点的轨迹问题,首先把z表示成为z=x+yi(x,yR)的形式,然后寻求x,y之间的关系,但要注意参数限定的条件.题型一 题型二 题型三 题型四 解：a2-2a+4=(a-1)2+30,a2-2a+2=(a-1)2+10,复数z的实部为正,虚部为负,即复数z对应的点在第四象限.上述两式相加,得x+y
9、=2.又x=a2-2a+4=(a-1)2+33,复数z对应的点的轨迹是一条射线,其方程为x+y-2=0(x3).设 z=x+yi(x,yR),则 =2-2+4,=-(2-2+2).题型一 题型二 题型三 题型四 共轭复数【例题2】已知x-1+yi与i-3x是共轭复数,求实数x与y的值.分析：根据共轭复数及复数相等的概念列方程组求x,y.解：因为i-3x的共轭复数为-3x-i,所以x-1+yi=-3x-i,从而 -3=-1,=-1,解得 =14,=-1.题型一 题型二 题型三 题型四 反思 复数 z 的共轭复数用来表示,即若 z=a+bi(a,bR),则=i(,R).在复平面内,点 Z(a,b)
10、对应复数 z=a+bi(a,bR);点(,)对应复数=i(,R),点 Z和关于实轴对称.题型一 题型二 题型三 题型四 复数的模【例题 3】已知复数 z1=3 i,2=12+32 i.(1)求|1|及|2|的值并比较大小;(2)设 zC,满足条件|z2|z|z1|的点 Z 的集合是什么图形?分析：根据模的定义及几何意义来求解.解：(1)|1|=|3+i|=3 2+12=2.|2|=-12-32 i=-12 2+-32 2=1.所以|1|2|.题型一 题型二 题型三 题型四(2)由|z2|z|z1|,得1|z|2.因为|z|1表示圆|z|=1上及其外部所有点组成的集合,|z|2表示圆|z|=2上
11、及其内部所有点组成的集合,所以符合题设条件的点的集合是以O为圆心,以1和2为半径的圆所夹的圆环(包括边界),如图.题型一 题型二 题型三 题型四 反思 复数的模表示复数在复平面内对应的点到原点的距离.计算复数的模时,应先找出复数的实部与虚部,再利用公式进行计算,复数的模可以比较大小.题型一 题型二 题型三 题型四 易错辨析易错点:复数的模是实数的绝对值概念的扩充,但在求解有关问题时,不能当成实数的“绝对值”加以求解,否则易丢解、漏解,造成答案不完整或错误.题型一 题型二 题型三 题型四【例题 4】求方程-5|x|+6=0 在复数集上解的个数.错解：-5|x|+6=0,5|x|=6,即|x|=6
12、5,x=65,故原方程在复数集上有两个解.错因分析：错解中将|x|看成了实数的绝对值,忽略在复数集上解方程而导致错误.正解：设 x=a+bi(a,bR),原方程可化为 2+2=65,即a2+b2=3625,在复平面上满足此条件的点有无数个,所以原方程在复数集上有无数个解.1 2 3 4 5 1若复数a+bi(a,bR)在复平面内对应的点在第二象限,则()A.a0,b0,b0 C.a0,b0D.a0 答案：D 1 2 3 4 5 2 若复数 z=3a-6i 的模为 40,则实数的值为()A.23 B.23 C.23 D.43解析：(3a)2+(-6)2=40,a=23.答案：C1 2 3 4 5
13、 3 若 a,bR,z=a+bi,我们称复数-a-bi 为 z 的相反复数,则()A.复平面上表示 z 和它的相反复数的点关于虚轴对称B.复平面上表示 z 的共轭复数的点与表示的相反复数的点关于虚轴对称C.z 的共轭复数的相反复数是D.z 的相反复数与不相等解析：选项 A 中应为关于原点对称;选项 C 中因为=i,所以的相反复数为-a+bi,并非等于 z;选项 D 中若 z 为纯虚数,则 z 的相反复数与相等.答案：B1 2 3 4 5 4复数z=1+itan 200的模是 .解析：|z|=12+tan2200=1+tan220=1cos220=1cos20.答案：1cos201 2 3 4 5 5 已知 0,4,复数=2cos +isin,则|的取值范围是 .解析：|z|=(2cos)2+(sin)2=4cos2+sin2=1+3cos2,又 0,4,22 cos 1,521+3cos24,故 102|z|2.答案：102,2
