1、第九章 直线、平面、简单几何体第 讲 考点搜索空间两点间的距离，点到直线的距离，点到平面的距离，两条平行直线间的距离，两条异面直线间的距离，直线到与它平行的平面的距离，两个平行平面间的距离高考猜想1.用几何法或向量法求点到平面的距离是考查的重点.2.利用化归与转化的数学思想，融计算与证明于一体解决有关距离的问题，是高考试题的基本走向.1.两点间的距离连结两点的_的长度.2.点到直线的距离从直线外一点向直线引垂线，_的长度.3.点到平面的距离从点向平面引垂线，_的长度.4.平行直线间的距离从两条平行线中一条上任意取一点向另一条直线引垂线，_的长度.线段点与垂足的连线段点与垂足的连线段点与垂足的连
2、线段5.异面直线间的距离两条异面直线的公垂线夹在这两条异面直线间的_的长度.6.直线与平面间的距离如果一条直线和一个平面平行，从直线上任意一点向平面引垂线，_的长度.7.两平行平面间的距离夹在两个平面之间的_的长度.点与垂足的连线段线段公垂线段8.若线段AB平面，则两端点A、B到平面的距离_；若线段AB的中点在平面内，则两端点A、B到平面的距离_.9.设PA为平面的一条斜线段，A为斜足，n为平面的一个法向量，点P到平面的距离为d，则d=_.相等相等n PAn10.如图，AB为异面直线a、b的公垂线,AC=m,BD=n,CD=l,a、b所成的角为,则AB=_.2222coslmnmn1.ABCD
3、是边长为2的正方形，以BD为棱把它折成直二面角A-BD-C，E是CD的中点，则异面直线AE、BC的距离为()A.B.C.D.1解：易证CE是异面直线AE与BC的公垂线段，其长为所求.易得CE=1，所以选D.32D322.在ABC中，AB=15，BCA=120，若ABC所在平面外一点P到A、B、C的距离都是14，则P到的距离是()A.13 B.11 C.9 D.7解：作PO于点O，连结OA、OB、OC.因为PA=PB=PC，所以OA=OB=OC.所以O是ABC的外心.所以所以,所以选B.155 3.2sin2sin120ABOABCAB2211POPAOA1.已知正四棱柱ABCD-A1B1C1D
4、1的底面边长为1，侧棱长为2，点E为CC1的中点，求点D1到平面BDE的距离.解法1：连结B1D1，则B1D1BD，所以B1D1平面BDE.分别取BD、B1D1的中点M、N，题型1 求点到平面的距离连结MN、ME、MC.因为BDMC，BDCC1，所以BD平面MNC1C.所以平面BDE平面MNC1C，且ME为它们的交线.过点N作NHME，垂足为H，则NH平面BDE，所以NH等于点D1到平面BDE的距离.由已知可得MN=2，MC=，CE=1，从而ME=.在RtMHN中，NH=MNsinNMH=MNcosEMC=MN 故点D1到平面BDE的距离是.222262MCCE2 33MCME 2 32解法2
5、：设点D1到平面BED的距离为d.因为VD1-BDE=VB-DD1E，BC平面CC1D1D，所以SBDEd=SDD1EBC.取BD的中点M，连结EM，则EMBD.由已知可得，BD=，所以SBDE=BDME=.又SDD1E=21=1，BC=1，2222226122MEMCCE()121232所以d=1，则d=.故点D1到平面BDE的距离是.解法3：如图所示建立空间直角坐标系,则B(1,1,0),E(0,1,1),D1(0,0,2).设n=(x，y，z)为平面BDE的一个法向量.因为n，n，所以，即322 332 33DEDB00n DEn DB 00yz.xy 取x=1，则y=-1，z=1.所以
6、n=(1，-1，1)，所以n =2，|n|=.所以点D1到平面BDE的距离31DD12 33n DDdn点评：求点到平面的距离，一般是先找到点在平面内的射影，然后转化为求这两点连线段的长度，利用解三角形知识可求得.若用向量法来解，先求得平面的一个法向量，然后求此点与平面内任意一点连线的向量在法向量上的投影长度即为所求的距离.如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是矩形，PA平面AB C D,PA=AD=4,AB=2.以AC的中点O为球心、AC为直径的球面交PD于点M，交PC于点N.求点N到平面ACM的距离.解法1：在RtPAC中，PC=.因为ANNC，由,得PN=.PNPAPAPC2224
7、24683所以NCPC=59.故N点到平面ACM的距离等于P点到平面ACM的距离的.依题设知，AC是所作球面的直径，则AMMC.又因为PA平面ABCD，则PACD，又CDAD，所以CD平面，则CDAM，所以A M平面PCD，所以AMPD，又PA=AD,则M是PD的中点.59所以P、D到平面ACM的距离相等.易得AM=且M到平面ABCD的距离为2,则,SACD=4.设D到平面ACM的距离为h，由VD-ACM=VM-ACD，即h=8,可求得h=，所以所求距离为.22222 3MCMDCD12 62ACMSAM AC2 62 63510 6927h 解法2:如图所示，建立空间直角坐标系，则A(0,0
8、,0),P(0,0,4),B(2,0,0),C(2,4,0),D(0,4,0),M(0,2,2),设平面ACM的一个法向量n=(x,y,z),由n,n，可得令z=1,则n=(2,-1,1).由条件可得，ANNC.AC240220 xy.yzAM在RtPAC中，PA2=PNPC,所以PN=,则NC=PC-PN=,所以,所以所求距离等于点P到平面ACM的距离的.设点P到平面ACM的距离为h，则h=,所以所求的距离为.5983510 6927h 2 63AP nn10359NCPC 2.在长方体ABCD-A1B1C1D1中，AB=2，AD=AA1=1，E、F分别为AB、CD的中点，求直线AF到平面C
9、D1E的距离.解法1：连结DE，交AF于点M.在矩形ABCD中，因为AB=2，AD=1，E为AB的中点所以CEDE.又D1DCE，所以CE平面D1DE，题型2 求平行线面间的距离所以平面CD1E平面D1DE，且它们的交线是D1E.过点M作MND1E，垂足为N，则MN平面CD1E，所以MN的长即为点M到平面CD1E的距离.由已知，DE=，DD1=1，所以D1E=又F是CD的中点，所以M是DE的中点，故ME=.2322由ENMEDD1，得，所以MN=.因为AF平面CD1E，所以点M到平面CD1E的距离即为直线AF到平面CD1E的距离.故直线AF到平面CD1E的距离为.11MNMEDDD E2626
10、366解法2：如图所示建立空间直角坐标系，则E(1，1，0)，C(0，2，0)，D1(0，0，1)，A(1，0，0).所以=(0，1，0)，=(1，-1，0)，=(0，-2，1).设n=(x，y，z)为平面CD1E的法向量.由得取y=1，则x=1，z=2.AE1nCEnCD 020 x-y.-yzCE1CD所以n=(1，1，2)，所以n =1，|n|=.所以点A到平面CD1E的距离.因为AF平面CD1E，所以点A到平面CD1E的距离即为直线AF到平面CD1E的距离.故直线AF到平面CD1E的距离为.点评：求平行线面间的距离,也就是转化为求该线上某点到平面的距离，然后求得的点面距离即为线面距离.
11、AE666n AEdn66在棱长为4的正方体ABCD-A1B1C1D1中，M、N、E、F分别是A1D1、A1B1、C1D1、B1C1的中点，求平面AMN与平面BDEF间的距离.解：如图所示建立空间直角坐标系，则E(0，2，4)，B(4，4，0)，A(4，0，0).所以=(0，2，4)，=(4，4，0)，=(0，4，0).DEDBAB设n=(x，y，z)为平面BDEF的法向量.由得取y=2，则x=-2，z=-1.所以n=(-2，2，-1)，所以n=8，|n|=3.所以点A到平面BDEF的距离故平面AMN与平面BDEF间的距离为.nDEnDB240440yz.xyAB83n ABdn83参 考 题
12、参 考 题1.四棱锥P-ABCD的底面是边长为a的正方形，PA底面ABCD，PA=a，求异面直线PC和AB的距离.解法1：分别取AB、PC的中点M、N，连结PM、CM、MN.由已知可得PAMCBM，所以PM=CM，从而MNPC.连结AC，取AC的中点E，连结ME、NE，则MEBC，NEPA.题型异面直线间的距离因为ABBC，ABPA，所以AB ME，ABNE，从而AB平面MNE，所以AB M N，所以MN为异面直线PC和AB的公垂线.因为PA平面ABCD，所以NE平面ABCD.在RtMEN中，所以故异面直线PC和AB的距离是.112222aaMEBC,NEPA.2222MNMENEa.22 a
13、解法2：如图所示建立空间直角坐标系.由已知可得，P(0，0，a)，B(a，0，0)C(a，a，0)，所以=(0，0，a)，=(a，0，0)，=(a，a，-a).设n=(x，y，z)为异面直线PC和AB的公垂线的一个方向向量.由得APnABnPC ABPC00ax.axay-az取z=1，则x=0，y=1.所以n=(0，1，1)，从而n =a，|n|=.因为向量在n方向上的投影长故异面直线PC和AB的距离为.AP2AP22n APdan22 a2.在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为矩形，侧棱PA平面ABCD，AB=，BC=1，PA=2，E为PD的中点.过点E作平面PAC的垂线，交平面PAB于
14、点N，求点N到直线AB和AP的距离.解法1：在平面ABCD内过D作AC的垂线，交AB于F，则ADF=.3题型点到直线的距离6连结PF，则在RtADF中，因为DFAC，DFPA，所以DF平面PAC.又因为NE平面PAC，且点E在侧面PAB内，所以NEDF且N为PF的中点.所以点N到AB的距离为 AP=1，故点N到AP的距离为.2 3cos3ADDFADF123tan3AFADADF.1326AF 解法2：如图所示建立空间直角坐标系，则A(0，0，0)，B(，0，0)，C(，1，0)，D(0，1，0)，P(0，0，2)，E(0，1).由于点N在侧面PAB内，故可设点N的坐标为(x，0，z)，则=(
15、-x,1-z).由NE平面PAC，可得即300NE AP,NE AC312NE1 10 0 2021 13 1 002(-x,-z)(,)(-x,-z)(,)12化简得所以所以点N的坐标为(，0，1).从而点N到AB，AP的距离分别为1，.101302z-,-x361x.z 36361.求点到平面的距离大致有四种方法：一是直接法，即过这个点作平面的垂线，通过解三角形求垂线段长.如果点在平面内的射影位置能够确定在某条直线上，则用此法求解较适宜；二是体积法，即将点到平面的距离看作是某个三棱锥的高，再由体积相等建立方程求解.如果点在平面内的射影位置难以确定，则可用此法求解；三是转移法，即过这个点找一条或作一条与这个平面平行的直线，从而将这个点到平面的距离转化为这条直线上另一个点到平面的距离.也可以过这个点找一条或作一条直线与这个平面相交，再在这条直线上另取一点，那么这两个点与直线和平面的交点的距离之比等于这两个点到平面的距离之比；四是向量法，即利用点到平面的距离的向量公式求解，或求过这个点的平面的垂线段对应向量的坐标，进而求模.2.求直线到与它平行平面的距离，关键是在直线上找一个适当的点，将问题转化为求点到平面的距离.求两个平行平面的距离也是如此.
