1、备考最新6套数学压轴题之一1.（本小题满分12分）已知，函数，（其中为自然对数的底数）（1）判断函数在区间上的单调性；（2）是否存在实数，使曲线在点处的切线与轴垂直? 若存在，求出的值；若不存在，请说明理由解（1）：，令，得 若，则，在区间上单调递增. 若，当时，函数在区间上单调递减，当时，函数在区间上单调递增，若，则，函数在区间上单调递减. 6分（2）解：，由（1）可知，当时，此时在区间上的最小值为，即当， 曲线在点处的切线与轴垂直等价于方程有实数解 而，即方程无实数解 故不存在，使曲线在处的切线与轴垂直12分2（本小题满分12分）已知线段，的中点为，动点满足（为正常数）（1）建立适当的直角
2、坐标系，求动点所在的曲线方程；（2）若，动点满足，且，试求面积的最大值和最小值 解（1）以为圆心，所在直线为轴建立平面直角坐标系.若，即，动点所在的曲线不存在；若，即，动点所在的曲线方程为； 若，即，动点所在的曲线方程为.4分(2)当时，其曲线方程为椭圆.由条件知两点均在椭圆上，且设，的斜率为，则的方程为，的方程为 解方程组得，同理可求得， 面积= 8分令则令 所以，即 当时，可求得,故， 故的最小值为，最大值为1. 12分（2）另解：令，则解得所以，而因此，即最大值是1，最小值是.3（本小题满分12分）函数的反函数为，数列和满足：，函数的图象在点处的切线在轴上的截距为. （1）求数列的通项公
3、式；（2）若数列的项中仅最小,求的取值范围；（3）令函数,.数列满足:,且，(其中).证明:解:(1)令 解得 由 解得 函数的反函数则 得 是以2为首项，1为公差的等差数列，故3分(2) 在点处的切线方程为令得仅当时取得最小值， 的取值范围为6分(3) 所以 又因 则 显然8分10分 2010年备考最新6套数学压轴题之二1.（本小题满分12分）已知=-，（0，e，其中是自然常数，（）当时, 求的单调区间和极值；来源:学科网（）是否存在实数，使的最小值是3，若存在，求出的值；若不存在，说明理由.解（1）时， 1分由得，f(x)的单调递减区间(0,1)由得，单调递增区间（1，e） 3分 的极小值
4、为 4分（2）假设存在实数，使（）有最小值3， 5分 当时，在上单调递减，（舍去），所以，此时无最小值. 7分 当时，在上单调递减，在上单调递增，满足条件. 9分 当时，在上单调递减，（舍去），所以，此时无最小值.11分综上所述，存在实数，使得当时有最小值3 。12分2 （本小题满分12分）设上的两点，已知向量,若且椭圆的离心率e=,短轴长为，为坐标原点.（）求椭圆的方程；来源:Zxxk.Com（）试问：AOB的面积是否为定值？如果是，请给予证明；如果不是，请说明理由解： 椭圆的方程为 4分(2) 当直线AB斜率不存在时，即,由5分又在椭圆上，所以 所以三角形的面积为定值.6分当直线AB斜率存
5、在时：设AB的方程为y=kx+b ，D=(2kb)2-4(k2+4)(b2-4)08分而, 10分 S=|AB|=|b|=1综上三角形的面积为定值1.12分3（本小题满分12分）已知数列的前n项和满足：（为常数，（）求的通项公式；（）设，若数列为等比数列，求的值；（）在满足条件（）的情形下，数列的前n项和为. 求证：解：（） .1分当时， 两式相减得：，(a0，n2)即是等比数列；4分（）由（）知a1,，若为等比数列，则有 而 ， 6分故，解得， 7分再将代入得成立，所以 8分（III）证明：由（）知，所以， 10分所以来源:学科网12分来源:Zxxk.Com2010年备考最新6套数学压轴题之
6、三1 (本小题满分13分)已知函数的导数a，b为实数，(1) 若在区间上的最小值、最大值分别为、1，求a、b的值；(2) 在 (1) 的条件下，求曲线在点P（2，1）处的切线方程；(3) 设函数，试判断函数的极值点个数解：(1) 由已知得， 由，得， 当时，递增；当时， 递减 在区间上的最大值为，又， 由题意得，即，得 故，为所求(2) 由 (1) 得，点在曲线上当切点为时，切线的斜率， 的方程为，即 (3 二次函数的判别式为令，得：令，得 ，当时，函数为单调递增，极值点个数为0；当时，此时方程有两个不相等的实数根，根据极值点的定义，可知函数有两个极值点2(本小题满分12分)设F是椭圆C：的左
7、焦点，直线l为其左准线，直线l与x轴交于点P，线段MN为椭圆的长轴，已知(1) 求椭圆C的标准方程；(2) 若过点P的直线与椭圆相交于不同两点A、B求证：AFM =BFN；(3) 求三角形ABF面积的最大值解：(1) a = 4又 | PM | = 2 | MF |得 (2) 当AB的斜率为0时，显然满足题意当AB的斜率不为0时，设，AB方程为代入椭圆方程整理得 则 综上可知：恒有 (3)当且仅当（此时适合0的条件）取得等号.三角形ABF面积的最大值是33(本小题满分12分)古代印度婆罗门教寺庙内的僧侣们曾经玩过一种被称为“河内宝塔问题”的游戏，其玩法如下：如图，设有n（）个圆盘依其半径大小，
8、大的在下，小的在上套在A柱上，现要将套在A柱上的盘换到C柱上，要求每次只能搬动一个，而且任何时候不允许将大盘套在小盘上面，假定有三根柱子A、B、C可供使用现用an表示将n个圆盘全部从A柱上移到C柱上所至少需要移动的次数，回答下列问题：(1) 写出a1，a2，a3，并求出an；（2）记，求和（）；（其中表示所有的积的和）(2) 证明：(3) 解：(1) 事实上，要将个圆盘全部转移到C柱上，只需先将上面个圆盘转移到B柱上，需要次转移，然后将最大的那个圆盘转移到C柱上，需要一次转移，再将柱上的个圆盘转移到C柱上，需要次转移，所以有则，所以(2) 则 (3) 令，则当时 又，所以对一切有：另方面恒成立
9、，所以对一切有综上所述有：2010年备考最新6套数学压轴题之四1.小题满分12分)已知函数f(x)=(1)当时, 求的最大值;(2) 设, 是图象上不同两点的连线的斜率，否存在实数，使得恒成立?若存在,求的取值范围;若不存在,请说明理由(2)存在符合条件 解: 因为=不妨设任意不同两点，其中则 由 知: 1+又 故故存在符合条件 12分解法二:据题意在图象上总可以在找一点使以P为切点的切线平行图象上任意两点的连线,即存在 故存在符合条件2.小题满分13分）在平面直角坐标系中，线段AB与y轴交于点，直线AB的斜率为k，且满足（1）证明：对任意的实数，一定存在以y轴为对称轴且经过A、B、O三点的抛
10、物线C，并求出抛物线C的方程；（2）对（1）中的抛物线C，若直线与其交于M、N两点，求MON的取值范围解：（1）由已知设又设抛物线由得 设，则由弦长公式得 而，所以，即抛物线方程为6分（2）设，由而则，7分不妨设，由于，则令，则ON到OM的角为，且满足令，则，且 函数与在上皆为增函数 则，又时， 13分3.小题满分14分)设数列的前项和为，已知(nN*).（1）求数列的通项公式；（2）设，数列的前项和为，若存在整数，使对任意nN*且n2，都有成立，求的最大值；3）令，数列的前项和为，求证：当nN*且n2时，.解（1）由，得(n2).两式相减，得，即(n2). 于是，所以数列是公差为1的等差数列
11、 又，所以. 所以，故.4分 （2）因为，则. 令，则.所以.即，所以数列为递增数列. 所以当n2时，的最小值为.据题意，即.又为整数，故的最大值为18. 8分（3）因为，则当n2时，. 下面证方法一：先证一个不等式，当时，令，则，在时单调递增，即当时，令， ，以上个式相加，即有 14分 方法二：先用数学归纳法证明一个加强不等式。时， 成立，故时不等式成立。假设时成立，即则当时，下面用分析法证来源:Z,xx,k.Com即证来源:学科网即证， 故即证即证上式显然成立。（可以从到时引导学生发现中的的值，此种方法对于常数型的关于正整数的不等式的证明很凑效）方法三：又据柯西不等式，有.来源:学_科_网
12、2010年备考最新6套数学压轴题之五1.(分12分）各项都为正数的数列，满足（）求数列的通项公式；（）证明对一切恒成立.来源解：（），为首项为1，公差为2的等差数列，2分，又，则 5分（）只需证：. 当=1时，左边=1，右边=1，所以命题成立. 当=2时，左边0g(x)在 (0,+)上是增函数,故g(x)g(0)=0,即f(x) ;8分（III）原不等式等价于,令h(x)= =由当x-1,1时,h(x)max=0, m2-2bm-30,令Q(b)= m2-2bm-3，则由Q(1)0及Q（-1)0解得m-3或m3. 12分2,满分12分）设f(x) 是定义在R上的减函数，满足f(x+y)=f(x
13、)f(y)且f(0)=1,数列an满足a1=4，f(log3f(-1-log3=1 (nN*)；（）求数列an的通项公式；（）设Sn是数列an的前n项和, 试比较Sn与6n2-2的大小。解.()由题设知f(log3f(-1-log3=1 (nN*)可化为,y=f(x)是定义在R上的单调减函数，即数列是以为首项，1为公差的等差数列。log3即an=.-6分 ()Sn=a1+a2+a3+an =4(1+31+32+3n-1)=2(3n-1)当n=1时有Sn=6n2-2=4; 当n=2时有Sn=166n2-2=94; 当n=5时有Sn=4846n2-2=148.由此猜想当n4时, 有Sn6n2-23
14、n-1n2.下面用数学归纳法证明：当n=1时显然成立；假设当n=k(k4,kN*)时, 有3k-1k2; 当n=k+1时，有3k=33k-13k2,k4k(k-1)12, 3k2-(k-1)2=2k(k-1)-10即3k2(k+1)2, 3k3k2(k+1)2, 3k(k+1)2,因此当n=k+1时原式成立.由可知当n4时有3n-1n2即Sn6n2-2.综上可知当n=1,3时,有Sn=6n2-2；当n=2时,有Sn6n2-2。12分3. 已知抛物线C1:y2=4x的焦点与椭圆C2:的右焦点F2重合，F1是椭圆的左焦点； （）在ABC中，若A(-4,0)，B(0,-3)，点C在抛物线y2=4x上
15、运动，求ABC重心G的轨迹方程；（）若P是抛物线C1与椭圆C2的一个公共点，且PF1F2=，PF2F1=,求cos的值及PF1F2的面积。解：（）设重心G(x,y)，则 整理得将(*)式代入y2=4x中，得(y+1)2= 重心G的轨迹方程为(y+1)2=.6分() 椭圆与抛物线有共同的焦点，由y2=4x得F2(1,0)，b2=8，椭圆方程为.设P(x1,y1) 由得，x1=，x1=-6(舍).x=-1是y2=4x的准线，即抛物线的准线过椭圆的另一个焦点F1。设点P到抛物线y2=4x的准线的距离为PN，则PF2=PN.又PN=x1+1=,.过点P作PP1x轴，垂足为P1，在RtPP1F1中，cos=在RtPP1F2中，cos(-)=,cos=,coscos=。x1=,PP1=,.12分
