1、第2讲等差数列1等差数列的有关概念(1)定义：一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差都等于同一个常数，那么这个数列就叫做等差数列，这个常数叫做等差数列的公差，公差通常用字母d表示数学语言表示为an1and(nN*)，d为常数(2)等差中项：数列a，A，b成等差数列的充要条件是A，其中A叫做a，b的等差中项.2等差数列的有关公式(1)通项公式：ana1(n1)d.(2)前n项和公式：Snna1d.等差数列的常用性质(1)通项公式的推广：anam(nm)d(n，mN*)(2)若an为等差数列，且klmn(k，l，m，nN*)，则akalaman.若mn2p(m，n，pN*)，则am
2、an2ap.(3)若an是等差数列，公差为d，则a2n也是等差数列，公差为2d.(4)若an，bn是等差数列，则panqbn也是等差数列(5)若an是等差数列，公差为d，则ak，akm，ak2m，(k，mN*)是公差为md的等差数列(6)等差数列an的前n项和为Sn，则Sn，S2nSn，S3nS2n仍成等差数列，其公差为n2d.(7)若等差数列的项数为2n(nN*)，则S偶S奇nd，.(8)若等差数列的项数为2n1(nN*)，则S奇S偶an，(S奇nan，S偶(n1)an)(9)若an，bn均为等差数列且其前n项和为Sn，Tn，则.(10)若Smn，Snm(mn)，则Smn(mn)(11)由公
3、式Snna1得a1dna1，因此数列是等差数列，首项为a1，公差为等差数列an公差的一半(12)等差数列与函数的关系ana1(n1)d可化为andna1d的形式当d0时，an是关于n的一次函数当d0时，数列为递增数列；当d0时，数列为递减数列Snn2n.当d0时，它是关于n的二次函数数列an是等差数列SnAn2Bn(A，B为常数)1在数列an中，a12，an1an2.则a5()A6 B6 C10 D10答案B解析an1an2，数列an是公差为2的等差数列，又a12，a5a14d2246.故选B.2(2022辽宁大连高三月考)等差数列an中，a4a810，a106，则公差d等于()A B C2
4、D答案A解析a4a82a610，a65，又a106，公差d.故选A3设数列an是等差数列，其前n项和为Sn，若a62且S530，则S8等于()A31 B32 C33 D34答案B解析设数列an的公差为d，解法一：由S55a330得a36，又a62，S832.故选B.解法二：由得S88a1d82832.故选B.4(2020全国卷)记Sn为等差数列an的前n项和若a12，a2a62，则S10_.答案25解析设等差数列an的公差为d，由a12，a2a62，可得a1da15d2，即2d(2)5d2，解得d1.所以S1010(2)1204525.5某剧场有20排座位，后一排比前一排多2个座位，最后一排有
5、60个座位，则剧场总共的座位数为_.答案820解析设第n排的座位数为an(nN*)，数列an为等差数列，其公差d2，则ana1(n1)da12(n1)由已知a2060，得60a12(201)，解得a122，则剧场总共的座位数为820.6(2019北京高考)设等差数列an的前n项和为Sn，若a23，S510，则a5_，Sn的最小值为_.答案010解析a2a1d3，S55a110d10，a14，d1，a5a14d0，ana1(n1)dn5.令an0，则n1，且am1am1a10，S2m139，则m等于()A39 B20 C19 D10答案B解析数列an为等差数列，则am1am12am，则am1am
6、1a10可化为2ama10，解得am1.又S2m1(2m1)am39，则m20.故选B.7(2022山东济南阶段检测)已知Sn是等差数列an的前n项和，若a12022，6，则S2022_.答案2022解析由等差数列的性质可得也为等差数列，设其公差为d，则6d6，d1，2021d202220211，S20222022.考向三等差数列的判定与证明例4(1)数列an满足a12，a21并且(n2)，则数列an的第100项为()A B C D答案B解析(n2)，为等差数列，首项为，第2项为1，d，99d50，a100.故选B.(2)已知数列an满足a11，且nan1(n1)an2n22n.求a2，a3；
7、证明数列是等差数列，并求an的通项公式解由已知，得a22a14，则a22a14，又因为a11，所以a26.由2a33a212，得2a3123a2，所以a315.由已知nan1(n1)an2n22n，得2，即2，所以数列是首项为1，公差为d2的等差数列，则12(n1)2n1.所以an2n2n. 等差数列的判定方法(1)定义法：对于n2的任意自然数，验证anan1为同一常数(2)等差中项法：验证2an1anan2(n3，nN*)成立(3)通项公式法：验证anpnq.(4)前n项和公式法：验证SnAn2Bn.提醒：在解答题中常应用定义法和等差中项法，而通项公式法和前n项和公式法主要适用于选择题、填空
8、题中的简单判断8.已知数列an中，a11，a24,2anan1an1(n2，nN*)，当an298时，项数n()A100 B99 C96 D101答案A解析因为2anan1an1(n2，nN*)，所以anan1an1an，所以数列an是首项为a11，公差为da2a13的等差数列，所以ana1(n1)d1(n1)33n2.由3n2298，解得n100.故选A9(2021全国甲卷)已知数列an的各项均为正数，记Sn为an的前n项和，从下面中选取两个作为条件，证明另外一个成立数列an是等差数列；数列是等差数列；a23a1.注：若选择不同的组合分别解答，则按第一个解答计分解选择条件.已知数列an是等差
9、数列，a23a1，设数列an的公差为d，则a23a1a1d，所以d2a1.因为Snna1dn2a1，所以 n(a10)，所以 (n1)n(常数)所以数列是等差数列选择条件.已知数列an是等差数列，数列是等差数列，设数列an的公差为d，则S1a1，S22a1d，S33a13d，因为数列是等差数列，所以2，即2，化简整理得d2a1.所以a2a1d3a1.选择条件.已知数列是等差数列，a23a1，设数列的公差为d，所以d，即d.所以a1d2, (n1)dnd，所以Snn2d2.所以anSnSn12d2nd2(n2)又a1d2也适合该通项公式，所以an2d2nd2(nN*)an1an2d2(n1)d2
10、(2d2nd2)2d2(常数)，所以数列an是等差数列破解等差数列前n项和的最值问题1(多选)设等差数列an的前n项和为Sn，公差为d，且满足a10，S11S18，则对Sn描述正确的有()AS14是唯一最大值 BS15是最大值CS290 DS1是最小值答案BC解析由S11S18可知a12a13a180，又an是等差数列，所以a150，故S2929a150.又a10，故S14S15，所以S14，S15都是最大值，且公差d0，S3S11，则当n_时，Sn最大答案7解析解法一：由S3S11，得3a1d11a1d，则da1.从而Snn2n(n7)2a1.又因为a10，所以0.故当n7时，Sn最大解法二
11、：由于f(x)ax2bx是关于x的二次函数，且(n，Sn)在二次函数f(x)的图象上，由S3S11，可知f(x)ax2bx的图象关于直线x7对称由解法一可知a0，S3S11可知d0，a80，d0时，满足的项数n，使Sn取最大值；当a10时，满足的项数n，使Sn取最小值，即正项变负项处最大，负项变正项处最小若有零项，则使Sn取最值的n有两个对点训练1设等差数列an满足3a85a15，且a10，Sn为其前n项和，则数列Sn的最大项为()AS23 BS24 CS25 DS26答案C解析设等差数列的公差为d，3a85a15，3a121d5a170d，a1d0.a10，d0，a125da260，数列Sn
12、的最大项为S25.故选C2已知数列an为等差数列，若0的最大值n为()A11 B19 C20 D21答案B解析Snn2n有最大值，d0，又0，a110，a10a110，即a1a200，S2010(a1a20)0，使Sn0的n的最大值为19.故选B.一、单项选择题1在等差数列an中，已知a22，前7项和S756，则公差d()A2 B3 C2 D3答案B解析由题意可得即解得故选B.2在等差数列an中，a13a8a15120，则a2a14的值为()A6 B12 C24 D48答案D解析在等差数列an中，a13a8a15120，由等差数列的性质可得a13a8a155a8120，a824，a2a142a
13、848.故选D.3(2021福建莆田二模)已知等差数列an满足a3a6a8a1112，则a43a6的值为()A6 B6 C12 D12答案A解析由等差中项的性质可得a3a6a8a114a712，解得a73，设等差数列an的公差为d，则a43a6a4a62a62d2a62(a6d)2a76.故选A4(2021陕西名校5月联考)已知数列an中，a24，amnaman，则a11a12a13a19()A95 B145 C270 D520答案C解析在等式amnaman中，令m1，可得an1ana1，则an1ana1，所以数列an为等差数列，且该数列的首项和公差均为a1.因为a22a14，故a12，所以a
14、n22(n1)2n，则a1521530，因此a11a12a13a199a15270.故选C5等差数列an和bn的前n项和分别为Sn，Tn，且，则()A B C D答案A解析由题知，.故选A6(2020全国卷)北京天坛的圜丘坛为古代祭天的场所，分上、中、下三层，上层中心有一块圆形石板(称为天心石)，环绕天心石砌9块扇面形石板构成第一环，向外每环依次增加9块，下一层的第一环比上一层的最后一环多9块，向外每环依次也增加9块，已知每层环数相同，且下层比中层多729块，则三层共有扇面形石板(不含天心石)()A3699块 B3474块C3402块 D3339块答案C解析设第n环扇面形石板块数为an，第一层
15、共有n环，则an是以9为首项，9为公差的等差数列，an9(n1)99n.设Sn为an的前n项和，则第一层、第二层、第三层的块数分别为Sn，S2nSn，S3nS2n，因为下层比中层多729块，所以S3nS2nS2nSn729，即729，即9n2729，解得n9，所以S3nS273402.故选C7设等差数列an的前n项和为Sn，且a10，a3a100，a6a70的最大自然数n的值为()A6 B7 C12 D13答案C解析a10，a6a70，a70，a1a132a70，S130的最大自然数n的值为12.故选C8设Sn是等差数列an的前n项和，若，则()A B C D答案A解析an是等差数列，S3，S
16、6S3，S9S6，S12S9成等差数列令S31，则S63，S91236.S12S9410，.故选A二、多项选择题9已知等差数列an的前n项和为Sn，公差为d，且a35，a73，则()Ad BdCS918 DS936答案BD解析因为a1a9a3a7538，所以S936.因为a35，a73，所以公差d.故选BD.10(2022青岛模拟)已知数列an是等差数列，且满足a12a2S5，则下列结论中正确的是()AS90 BS5最小CS3S6 Da50答案ACD解析由题意，知a12(a1d)5a1d，则a14d0，即a50，a4a60，S3S6，且S99a50.故选ACD.11已知数列an(nN*)是等差
17、数列，Sn是其前n项和，且S5S8，则下列结论正确的是()AdS6DS6，S7均为Sn的最大值答案ABD解析因为S5S6，所以S50，因为S6S7，所以S6S6a7，所以a70，因为S7S8，所以S7S7a8，所以a80，所以d0且S6，S7均为Sn的最大值，所以S9a4，故立春的晷长比立秋的晷长长，故D正确故选ABD.三、填空题13正项数列an满足a11，a22,2aaa(nN*，n2)，则a7_.答案解析由2aaa(nN*，n2)，得数列a是等差数列，公差daa3，首项a1，所以a13(n1)3n2，an，a7.14(2020新高考卷)将数列2n1与3n2的公共项从小到大排列得到数列an，
18、则an的前n项和为_.答案3n22n解析因为数列2n1是以1为首项，2为公差的等差数列，数列3n2是以1为首项，3为公差的等差数列，所以这两个数列的公共项所构成的新数列an是以1为首项，6为公差的等差数列，所以an的前n项和为n163n22n.15已知等差数列an中，a22，a48，若abn3n1，则b2021_.答案2022解析由a22，a48，得公差d3，所以an2(n2)33n4，所以an13n1.又由数列an的公差大于0，知数列an为递增数列，所以结合abn3n1，可得bnn1，故b20212022.16在数列an中，a12，anan12an11(n2，nN*)，数列bn满足bn，则数
19、列an的通项公式为an_，数列bn的前n项和Sn的最小值为_.答案解析由题意知，an2(n2，nN*)，bn11bn1，即bnbn11(n2，nN*)又b1，数列bn是以为首项，1为公差的等差数列，bnn，即n，an.又b10，Sn的最小值为S1b1.四、解答题17(2018全国卷)记Sn为等差数列an的前n项和，已知a17，S315.(1)求an的通项公式；(2)求Sn，并求Sn的最小值解(1)设an的公差为d.由题意，得3a13d15.由a17，得d2.所以an的通项公式为an2n9.(2)由(1)，得Snn28n(n4)216.所以当n4时，Sn取得最小值，最小值为16.18在b1b3a
20、2，a4b4，S525这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，并解答设等差数列an的前n项和为Sn，bn是等比数列，_，b1a5，b23，b581.是否存在k，使得SkSk1且Sk1Sk1且Sk1Sk2等价于ak10，即即k4.所以满足题意的k存在，k4.若选条件：设bn的公比为q，则q327，即q3，b11，所以bn(3)n1.从而a5b11，a4b427，所以an的公差d28.因为SkSk1且Sk1Sk2等价于ak10，此时dak2ak10，与d28矛盾，所以满足题意的k不存在若选条件：设bn的公比为q，则q327，即q3，b11，所以bn(3)n1.从而a5b11，由an是等差数列得S5
21、，由S525得a19.公差d2，所以an2n11.因为SkSk1且Sk1Sk2等价于ak10且ak20，即即k4.所以满足题意的k存在，k4.19(2022湖北仙桃高三阶段考试)已知一次函数f(x)x82n.(1)设函数yf(x)的图象与y轴交点的纵坐标构成数列an，求证：数列an是等差数列；(2)设函数yf(x)的图象与y轴的交点到x轴的距离构成数列bn，求数列bn的前n项和Sn.解(1)证明：由题意得an82n，因为an1an82(n1)82n2，且a1826，所以数列an是首项为6，公差为2的等差数列(2)由题意得bn|82n|.由b16，b24，b32，b40，b52，可知此数列前4项是首项为6，公差为2的等差数列，从第5项起，是首项为2，公差为2的等差数列所以当n4时，Sn6n(2)n27n；当n5时，SnS4(n4)22n27n24.故Sn20(2021全国乙卷)记Sn为数列an的前n项和，bn为数列Sn的前n项积已知2.(1)证明：数列bn是等差数列；(2)求an的通项公式解(1)证明：当n1时，b1S1，易得b1.当n2时，Sn，代入2消去Sn，得2.化简，得bnbn1.所以数列bn是以为首项，为公差的等差数列(2)由题意可知a1S1b1.由(1)可得bn，由2可得Sn.当n2时，anSnSn1，显然a1不满足该式，所以an