1、16.1 二根次式第十六章 二次根式导入新课 讲授新课 当堂练习 课堂小结 第2课时 二次根式的性质学习目标 1.经历二次根式的性质的发现过程，体验归纳、猜想 的思想方法.（重点）2.会运用二次根式的两个性质进行化简计算.（难点）导入新课情景引入 问题1 下列数字谁能顺利通过下面两扇门进入客厅？14算术平方根之门平方之门0-4-1a2()aaa011214我们都是非负数哟 问题2 若下列数字想从客厅出来，谁能顺利通过两扇门出来呢？算术平方根之门平方之门140-4-111641116142a2aaa为任意数 我们都是非负数，可出来之前我们有正数，零和负数.思考 你发现了什么？正方形的边长为，用边
2、长表示正方形的面积为，又面积为a，即.（a0）的性质 一2()a讲授新课活动1 如图是一块具有民族风的正方形方巾，面积为a，求它的边长，并用所求得的边长表示出面积，你发现了什么？a2aa2a这个式子是不是对所有的二次根式都成立呢？活动2 为了验证活动1的结论是否具有广泛性，下面根据算术平方根及平方的意义填空，你又发现了什么？.算术平方根平方运算024.004213a(a0)a2)(a02 =0.1321133 观察两者有什么关系？222=42222_1.3 22_;24_;20_;41320根据活动2直接写出结果，然后根据活动2的探究过程说明理由：是2的算术平方根，根据算术平方根的意义，是一个
3、平方等于2的非负数.因此.同理，分别是0,4，的算术平方根，即得上面的等式.2222210,4,313归纳总结 的性质：2()(0)aa 一般地，a(a 0).2()a即一个非负数的算术平方根的平方等于它本身.注意：不要忽略a0这一限制条件.这是使二次根式 有意义的前提条件.a典例精析 例1 计算：2(1)(1.5);2(2)(2 5)；解：2(1)(1.5)1.5.222(2)(2 5)2(5)4 520.(2)可以用到幂的哪条基本性质呢？积的乘方：（ab）2=a2b2例2 在实数范围内分解因式：42(2)44.yy解：222422222(2)442222.yyyyyy2(1)3;x 2(1
4、)333.xxx本题逆用了在实数范围内分解因式.在实数范围内分解因式时，原来在有理数范围内分解因式的方法和公式仍然适用.归纳2()0aa a练一练计算：22(1)(5)(2)(2 2).；解:2(1)(5)5 .222(2)(2 2)=2(2)=4 2=8.平方运算算术平方根20.10.449a(a0)2a2a2.23观察两者有什么关系？0.010.10230 的性质 二2a填一填：a(a0).2a.平方运算算术平方根-2-0.1.4492a2a2.23观察两者有什么关系？0.010.123a(a0)思考：当a0时，=2a？-a归纳总结 a(a0)2aa-a(a0)即任意一个数的平方的算术平方
5、根等于它本身的绝对值.的性质：2(0)aa 例3 化简：(1)16;2(2)(5)；解：2(1)1644.22(2)(5)55.2(3)10;2(4)(3.14).22111(3)10=10=10=10.2(4)(3.14)=3.14=3.14.，而3.14，要注意a的正负性.注意 2aa计算：22(1)(-2)(2)(-1.2).；练一练解:22 1(-2)=2=2().22 2 (-1.2)=1.2 =1.2().辨一辨：请同学们快速分辨下列各题的对错（）（）（）（）2222(1)22(2)22(3)22(4)22 议一议：如何区别 与？2a2()a2()a2a从运算顺序看 从取值范围看
6、从运算结果看 先开方,后平方 先平方，后开方 a0a取任何实数 a|a|意义 表示一个非负数a的算术平方根的平方表示一个实数a的平方的算术平方根例4 实数a、b在数轴上的对应点如图所示，请你化简:222.abab解：由数轴可知a0，b0，a-b0，原式=|a|-|b|+|a-b|=-a-b-（a-b）=-2a.ab【变式题】实数a、b在数轴上的对应点如图所示，化简：.2244aabbab解：根据数轴可知ba0，a+2b0，a-b0，则=|a+2b|+|a-b|=-a-2b+a-b=-3b2244aabbab利用数轴和二次根式的性质进行化简，关键是要要根据a,b的大小讨论绝对值内式子的符号.注意
7、例5 已知a、b、c是ABC的三边长，化简：222.abcbcacba解：a、b、c是ABC的三边长，a+b+c0，b+ca，b+ac，原式=|a+b+c|-|b+c-a|+|c-b-a|=a+b+c-（b+c-a）+（b+a-c）=a+b+c-b-c+a+b+a-c=3a+b-c分析：利用三角形三边关系 三边长均为正数，a+b+c0两边之和大于第三边，b+c-a0，c-b-a0 用基本运算符号（包括加、减、乘、除、乘方和开方）把 或 连接起来的式子，我们称这样的式子为代数式.概念学习 数 表示数的字母 想一想 到现在为止，初中阶段所学的代数式主要有哪几类？代数式 整式 分式 二次根式 代数式
8、的定义 三（1）一条河的水流速度是2.5 km/h，船在静水中的速度是 v km/h，用代数式表示船在这条河中顺水行驶和逆水行驶时的速度；例6 解：（1）船在这条河中顺水行驶的速度是 km/h，逆水行驶的速度是 km/h(2.5)v(2.5)v（2）如图，小语要制作一个长与宽之比为5:3的长方形贺卡，若面积为S，用代数式表示出它的长.（2）设贺卡的长为5x,则宽为3x.依题意得15x2=S，所以所以它的长为,15Sx 5.15S列代数式的要点：要抓住关键词语，明确它们的意义以及它们之间的关系，如和、差、积、商及大、小、多、少、倍、分、倒数、相反数等；理清语句层次明确运算顺序；牢记一些概念和公式
9、 归纳总结 1.在下列各式中，不是代数式的是（）A.7 B.32 C.D2x2223 xyB练一练2.如图是一圆形挂钟，正面面积为S，用代数式表示出钟的半径为_.S方法总结：单个的数字或字母也是代数式，代数式中不能含有“=”“”或“”等.当堂练习1.化简 得（）A.4 B.2C.4 D.-416C2.当1x3时，的值为（）A.3 B.-3 C.1 D.-12(3)3xxD3.下列式子是代数式的有()a2+b2;13;x=2;3（4 5）;x10;10 x+5y=15;ab.acb A.3个B.4个C.5个D.6个C4.化简：（1）;（2）;（3）;（4）.2728137492(4)81-1 0
10、12a5.实数a在数轴上的位置如图所示，化简 的结果是 .22(1)aa16.利用a （a0），把下列非负数分别写成一个非负数的平方的形式：(1)9；(2)5；(3)2.5 ；(4)0.25 ；(5)；(6)0.2()a212(9)2(5)2522142122(0)7.(1)已知a为实数，求代数式的值.2242aaa 解：由题意得a+20，-4-2a0，a=-2，.2224222aaa(2)已知a为实数，求代数式的值.249aaa解：由题意得-a20，又a20，a2=0，a=0，24949231.aaa 能力提升：课堂小结二次根式 性质 2()(0)aaa a(a 0).2a2a 拓展性质|a|（a为全体实数）
