1、第九章 直线、平面、简单几何体第 讲（第一课时）考点搜索空间直角坐标系的有关概念，空间向量的坐标空间向量的坐标运算公式，空间两点间的距离公式直线的方向向量，平面的法向量高考高考猜想1.利用空间向量判断或证明线面平行、垂直.2.利用空间向量的坐标运算求空间角和距离.1.如果空间的一个基底的三个基向量互相垂直，且长都为1，则这个基底叫做_，常用i，j，k来表示.2.在空间选定一点O和一个单位正交基底i，j，k，以O为原点，分别以i、j、k的方向为正方向建立三条数轴：x轴、y轴、z轴，它们都叫做_，点O叫做原点，向量i、j、k都叫做_，单位正交基底坐标轴坐标向量通过每两个坐标轴的平面叫做_,分 别称
2、为xOy平面、yOz平面、zOx平面.3.在空间直角坐标系中，记右手拇指指向_的正方向，食指指向_的正方向，如果中指能指向_的正方向，则称这个坐标系为右手直角坐标系.4.在空间直角坐标系O-xyz中,对空间任一向量a,满足a=a1i+a2j+a3k的有序实数组(a1,a2,a3)叫做a的坐标,简记为a=_.坐标平面x轴y轴z轴(a1,a2,a3)5.在空间直角坐标系O-xyz中，对空间任一向量a，满足a=xi+yj+zk的有序实数组(x,y,z)叫做点A的坐标，记作_,其中x,y,z分别叫做点A的_.6.设a=(a1,a2,a3),b=(b1,b2,b3),则A(x,y,z)横坐标、纵坐标、竖
3、坐标a+b=_;a-b=;a=_(R);ab=_;ab(R);ab_.a1b1+a2b2+a3b3a1=b1,a2=b2,a3=b3a1b1+a2b2+a3b3=0(a1+b1,a2+b2,a3+b3)(a1-b1,a2-b2,a3-b3)(a1,a2,a3)7.设a=(a1，a2，a3)，b=(b1，b2，b3)，则cosa，b=_.8.设A(x1，y1，z1)，B(x2，y2，z2)，则dAB=_.9.如果表示向量a的有向线段所在直线垂直于平面，即a，那么向量a叫做平面的_.AB1 12233222222123123a ba ba baaabbb222121212(-)(-)(-)xxyy
4、zz法向量1.已知向量a=(1，1，0)，b=(-1，0，2)，且ka+b与2a-b互相垂直，则k的值是()A.1 B.C.D.解：ka+b=k(1，1，0)+(-1，0，2)=(k-1，k，2)，2a-b=2(1，1，0)-(-1，0，2)=(3，2，-2).因为两向量垂直，所以3(k-1)+2k-22=0，解得k=D751575352.在空间直角坐标系中，已知点A(1，0，2)，B(1，-3，1)，点M在y轴上，且M到A与到B的距离相等，则M的坐标是_解：设M(0,y,0).由12+y2+4=1+(-3-y)2+1,可得y=-1,故M(0,-1,0).(0,-1,0).3.已知空间三点A(
5、1，1，1)、B(-1，0，4)、C(2，-2，3)，则与的夹角的大小是.解：=(-2，-1，3)，=(-1，3，-2)，所以=，=120.ABCA120.AB(-2)(-1)(-1)33(-2)cos,141471142AB CA CAAB CA1.如图，在棱长为1的正方体ABCD-A1B1C1D1中，E、F分别是D1D、DB的中点，G在棱CD上，且CG=CD，H是C1G的中点.以D为原点，DA、DC、DD1所在直线分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系，求向量和的坐标.EF题型1 求点和向量的坐标FH14解：由已知可得，E(0，0，)，F(，0)，C1(0，1，1)，G(0，0).因为H
6、是C1G的中点，所以H(0，).故点评：涉及空间向量的坐标问题，首先建立空间直角坐标系，即找到从一点出发的三条两两互相垂直的直线，以此点为原点，三条直线分别为三条坐标轴；然后根据条件写出关键点的坐标；再求得向量的坐标.1212123412781 111 3 1(,),(,)2 222 8 2EFFH 如图所示，PD平面ABCD，且四边形ABCD为正方形，AB=2，E是PB的中点，cos，=.(1)建立适当的空间直角坐标系，写出点E的坐标;(2)在平面PAD内求一点F，使EF平面PCB.33DP AE解：(1)以点D为原点，以DA、DC、DP所在直线分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系，则A
7、(2，0，0)，B(2，2，0)，C(0，2，0).设E(1，1，m).所以=(-1，1，m)=(0，0，2m).所以cos，=解得m=1.所以点E的坐标是(1，1，1).AEDPAEDP22233112mmm(2)因为F平面PAD，所以可设F(x，0，z)，则=(x-1，-1，z-1).因为EF平面PCB，所以.由(x-1，-1，z-1)(2，0，0)=0，解得x=1;由(x-1，-1，z-1)(0，2，-2)=0，解得z=0.所以点F的坐标是(1，0，0)，即点F是AD的中点.EFEFCB,EFPC2.在正方体ABCD-A1B1C1D1中，M、N、E分别是A1D1、A1B1、C1D1的中点
8、，求证：BE平面AMN.证明：如图建立空间直角坐标系，设正方体的棱长为4，则A(4，0，0)，M(2，0，4)，N(4，2，4)，B(4，4，0)，E(0，2，4).题型2 平行问题的判定与证明所以=(2，2，0)，=(-2，0，4)，=(-4，-2，4).设=x +y，则解得所以=-+，所以与、共面.所以BE平面AMN.MNAMBEBEMNAM2202244xyxy 11xy BEMNAMBEMNAM点评：利用坐标向量判断平行(或共面)问题的思路是：先利用平面向量基本定理，即向 量 a 与 两 向 量 b、c 共 面 的 充 要 条 件：a=xb+yc(x，yR).当向量b，c是坐标形式时，
9、由待定系数法可得三个方程，两个未知数，如果有解，则说明三向量共线.再根据向量对应直线的关系得到平行(或共面).如图，已知矩形ABCD所在平面外一点P，PA平面ABCD，E、F分别是AB、PC的中点.求证：EF平面PAD.证明：以点A为原点，以AB、AD、AP所在直线分别为x轴、y轴、z轴建立直角坐标系，设|AB|=2a，|AD|=2b，|AP|=2c.因为=(0，b，c)，=(0，0，2c)，=(0，2b，0)，所以=(+)，所以与、共面.又因为EPAD，所以EF平面PAD.APEFADEF12AP ADEFAPAD3.如图，直三棱柱ABC-A1B1C1D1中，A CB=90，AC=1，CB=
10、2，侧棱AA1=1，侧面AA1B1B的两条对角线的交点为D，B1C1的中点为M.求证：CD平面BDM.证明：如图建立直角坐标系，则B(，0，0)，B1(，1，0)，A1(0，1，1)，D(，)，M(，1，0).题型3 垂直问题的判定与证明2222121222所以=(，)，=(，-1，-1)，=(0，-).于是有所以CDA1B，且CDDM.因为A1B和DM为平面BDM内两条相交直线，所以CD平面BDM.1212022CD A B2212CD121A B2DM12122104024CD DM点评：利用空间向量的坐标运算证空间两直线垂直问题的一般步骤是：先建立空间直角坐标系，然后写出(或求出)关键点
11、的坐标，再计算出直线所对应向量的坐标，最后计算其数量积，并判断是否为零.如图所示，已知在矩形ABCD中，AB=1，BC=a(a0)，PA平面ABCD，且PA=1.(1)试建立适当的坐标系，并写出点P、B、D的坐标；(2)问当实数a在什么范围时，BC边上能存在点Q，使得PQQD？解：(1)以A为坐标原点，AB、AD、AP所在直线分别为x、y、z轴建立坐标系，如图所示.因为PA=AB=1，BC=a，所以P(0，0，1)，B(1，0，0)，D(0，a，0).(2)设点Q(1，x，0)，则=(1,x-a,0),=(-1,-x,1).DQQP由=0，得x2-ax+1=0.显然当该方程有实数解时，BC边上
12、才存在点Q，使得PQQD，故=a2-4 0.因为a0，故a的取值范围为2,+).DQ QP1.在给定的空间直角坐标系中，对任一向量a，据空间向量基本定理知，a的坐标是唯一存在的.2.在空间直角坐标系O-xyz中，对空间任一点P，过点P作yOz平面的平行平面，交x轴于点A，则点P的横坐标，且当与i方向相同时，x0;反之，x0.同理可确定点P的纵坐标y和竖坐标z.OA|x|OA|3.在空间直角坐标系中，求点的坐标主要有三种方法：一是几何法，即通过点P到三个坐标平面的距离来确定点P的坐标；二是待定系数法，即首先设出点P的坐标，再结合条件建立方程组求待定系数的值，进而得到点P的坐标；三是向量运算法，即
13、把求点P的坐标转化为求向量的坐标.OP4.若点P在直线AB上，设(-1)，A(x1，y1，z1)，B(x2，y2，z2)，则利用待定系数法可得点P的坐标为(，)，这就是空间有向线段定比分点公式，可用来求点的坐标.APPB121xx121yy121zz5.在空间图形中，若有三条两两互相垂直的直线，或有一条直线垂直于一个平面，则可考虑利用空间向量的坐标运算来解题，因为这种背景图形便于建立空间直角坐标系.判断线线平行或诸点共线，转化为证ab(b0)a=b；证明线线垂直，转化为证abab=0.若a=(a1，a2，a3)，b=(b1，b2，b3)，则 转 化 为 计 算a1b1+a2b2+a3b3=0.