1、2.5 直线与圆锥曲线1.能用坐标法解决直线与圆锥曲线的位置关系问题和实际问题.2.掌握直线与圆锥曲线的位置关系的判断,弦长问题,中点弦及相关问题.1.直线与圆锥曲线的位置关系(1)从几何角度看,可分为三类:无公共点,仅有一个公共点及有两个相异的公共点.(2)从代数角度看,可通过将表示直线的方程代入二次曲线的方程消元后所得方程解的情况来判断.设直线l的方程为Ax+By+C=0,圆锥曲线方程为f(x,y)=0.由 +=0,(,)=0消元,如消去y后得ax2+bx+c=0.若a=0,当圆锥曲线是双曲线时,直线l与双曲线的渐近线平行或重合;当圆锥曲线是抛物线时,直线l与抛物线的对称轴平行(或重合).
2、若a0,设=b2-4ac.当0时,直线和圆锥曲线相交于不同的两点;当=0时,直线和圆锥曲线相切于一点;当0 知,32 0),则由 y2=ax,y=x,得x2-ax=0.设 A(x1,y1),B(x2,y2).由 x1+x2=a,又 x1+x22=2,所以a=4,即 y2=4x.答案:y2=4x1.解决直线与圆锥曲线的位置关系问题时,有哪些常用的数学思想方法?剖析:(1)方程的思想.笛卡儿在创立解析几何时,他大胆设想:所有的数学问题都可以化为方程(组)问题,然后通过解方程(组)得到数学问题的解决,因此,直线和圆锥曲线位置关系的判定,直线和圆锥曲线的交点,直线和圆锥曲线相关的弦长等,都可以通过方程
3、(组)来解决.(2)数形结合的思想.由于几何研究的对象是图形,而图形的直观性会帮助我们发现问题,启发我们的思路,得到解决问题的有效方法,所以在解决本类题目时,最好先画出草图,注意观察、分析图形的特征,将形与数结合起来.(3)设而不求与整体代入的技巧与方法.解析几何的运算具有明确的几何意义,是带有几何特色的代数计算,在处理圆锥曲线中与“中点弦”有关问题时,常用中点公式、根与系数的关系整体代入使问题得到解决.2.在直线与圆锥曲线的位置关系中,常见问题的处理方法有哪些?剖析:(1)在解析几何中,直线与曲线的位置关系可以转化为二元二次方程组的解的问题进行讨论,但当直线与曲线只有一个交点时,须除去以下两
4、种情况,此直线才是曲线的切线:一是直线与抛物线的对称轴平行;二是直线与双曲线的渐近线平行.(2)运用圆锥曲线弦长公式时,注意结合中点坐标公式和根与系数的关系求解.题型一 题型二 题型三 直线与圆锥曲线的位置关系【例1】已知曲线C:x2-y2=1及直线l:y=kx-1.(1)若l与C有两个不同的交点,求实数k的取值范围;(2)若 l 与 C 交于 A,B 两点,O 是坐标原点,且AOB 的面积为 2,求实数的值.分析:(1)联立方程组 2-2=1,=-1,得到(1-k2)x2+2kx-2=0,再由 1-2 0,=42+8(1-2)0即可求得k 的取值范围.(2)先由(1)得 x1+x2 和 x1
5、x2,再由面积公式求解.题型一 题型二 题型三 解:(1)联立方程组 2-2=1,=-1,消去 y,得(1-k2)x2+2kx-2=0.由 1-2 0,=42+8(1-2)0,得 k 的取值范围为(2,1)(-1,1)(1,2).(2)设 A(x1,y1),B(x2,y2),由(1)得 x1+x2=21-2,12=21-2.又 l 过点 D(0,-1),当 l 与左右两支相交时,SOAB=SOAD+SOBD=12|1|+12|2|=12|1 2|=2.同理,当 l 与其中一支相交时,SOAB=12|1 2|=2,(x1-x2)2=(2 2)2,即 -21-2 2+81-2=8,k=0 或 k=
6、62.题型一 题型二 题型三 反思一般地,在讨论直线和圆锥曲线的位置关系时,先联立方程组,再消去x(或y),得到关于y(或x)的方程.若是直线与圆或椭圆,则无需讨论二次项系数是否为零(一定不为零),直接考虑的情况即可;若是直线与双曲线或抛物线,则需讨论二次项系数等于零和不等于零两种情况,这是要特别注意的问题.另外注意直线的斜率不存在的情形.题型一 题型二 题型三 点关于直线对称的问题【例 2】设椭圆 C 的方程为 24+23=1,试确定的取值范围,使上的不同两点,关于直线=4+对称.分析:先利用对称性,设出点A,B及AB中点的坐标,再利用点A,B在椭圆上,寻找中点的横、纵坐标的关系,最后确定m
7、的取值范围.解:设椭圆上两点A(x0-s,y0-t),B(x0+s,y0+t),AB的中点为C(x0,y0).因为点A,B关于直线y=4x+m对称,所以直线 AB 的斜率 kAB=14.又 (0-)24+(0-)23=1,(0+)24+(0+)23=1,题型一 题型二 题型三-得,=3040,即y0=3x0.而点 C在直线 y=4x+m 上,则 0=-,0=-3.因为点 C在椭圆 24+23=1 内,所以(-)24+(-3)23 1,所以 m-2 1313,2 1313 .反思解决点关于直线对称,主要利用“点与对称点所在的直线和对称轴所在直线的斜率之积为-1”和“点与对称点的中点在对称轴上”两
8、个条件.题型一 题型二 题型三 易错题型【例 3】已知双曲线 x2 22=1,过点(1,1)能否作直线,使其与已知双曲线交于,两点,且是线段的中点,这样的直线如果存在,求出它的方程;如果不存在,说明理由.错解:设 P(x1,y1),Q(x2,y2),代入双曲线方程,得 12-122=1,22-222=1,-得,(x1+x2)(x1-x2)=12(1+2)(1 2).因为 A(1,1)为 PQ 的中点,所以直线 l 的斜率k=1-21-2=2(1+2)1+2=2.所以满足条件的直线存在,其方程为 y=2x-1.题型一 题型二 题型三 错因分析:事实上,不存在这样的直线,由 =2-1,2-22=1
9、得2x2-4x+3=0,=-80 这一条件.题型一 题型二 题型三 正解:设 P(x1,y1),Q(x2,y2),代入双曲线方程得,12-122=1,22-222=1.-得,(x1+x2)(x1-x2)=12(1+2)(1 2).因为 A(1,1)为 PQ 的中点,所以直线的斜率为 k=1-21-2=2(1+2)1+2=2.所以直线方程为y=2x-1,再把直线与双曲线联立,即 =2-1,2-22=1,得2x2-4x+3=0.上式中=-8 0,故 x 有 4 个解,即直线与曲线有 4 个交点.答案:D 123453.已知抛物线 y2=4x 的焦点为 F,准线为 l,经过 F 且斜率为 3的直线与
10、抛物线在轴上方的部分相交于点,l,垂足为 K,则AKF 的面积是()A.4B.3 3C.4 3 D.8解析:由抛物线的定义知|AF|=|AK|,又KAF=60,所以AFK 是正三角形.联立方程组 2=4,=3(-1),消去 y 得 3x2-10 x+3=0,解得 x=3 或 x=13.由题意得 A(3,2 3),所以AKF 的边长为 4,面积为 12 4 2 3=4 3.答案:C123454.如图所示,过点P(0,2)的直线和抛物线y2=8x交于A,B两点,若线段AB的中点M在直线x=2上,则弦AB的长为 .解析:设 A(x1,y1),B(x2,y2),则 AB 的中点 2,1+22,将12=
11、81 和22=82 相减得(y1-y2)(y1+y2)=8(x1-x2).因为 kPM=kAB,所以 kAB=1-21-2=81+2=1+22-22-0.令 y1+y2=2b,则得 b2-2b-8=0,所以 b=4 或 b=-2,12345于是点 M 的坐标为(2,4)或(2,-2).因为 M(2,4)在抛物线上,舍去,所以 M 的坐标是(2,-2).从而 kAB=-2,所以 AB 的方程为 y=-2x+2,将其代入抛物线的方程得 x2-4x+1=0,所以|AB|=(1+2)(1+2)2-412=1+(-2)2(42-4 1)=2 15.答案:2 15123455.已知斜率为 1 的直线 l
12、与双曲线 C:22 22=1(0,0)相交于,两点,且的中点为(1,3),求双曲线的离心率.分析:由题意可知,直线 l 的斜率为 1,且 M(1,3)在直线 l 上,即可求出直线 l 的方程,再联立直线 l 与双曲线 C 的方程,得到 x1+x2=422-2.又因为M 为 BD 的中点,所以 1+22=1,从而得到b2=3a2,再由 c=2+2,即可求出双曲线的离心率.12345解:由题设得,直线 l 的方程为 y=x+2.代入 C 的方程,并化简,得(b2-a2)x2-4a2x-4a2-a2b2=0.设 B(x1,y1),D(x2,y2),则 x1+x2=422-2,1x2=42+222-2.由 M(1,3)为 BD 的中点知 1+22=1,故 12 422-2=1,即 b2=3a2,故 c=2+2=2,所以双曲线 C 的离心率 e=2.