1、第2讲充分条件与必要条件充分条件、必要条件与充要条件若pq，则p是q的充分条件，q是p的必要条件p是q的充分不必要条件pq且qpp是q的必要不充分条件pq且qpp是q的充要条件pqp是q的既不充分也不必要条件pq且qp1(1)若p是q的充分不必要条件，q是r的充分不必要条件，则p是r的充分不必要条件(2)若p是q的充分不必要条件，则q是p的必要不充分条件2若Ax|p(x)，Bx|q(x)，则(1)若AB，则p是q的充分条件；(2)若AB，则p是q的必要条件；(3)若AB，则p是q的充要条件；(4)若AB，则p是q的充分不必要条件；(5)若AB，则p是q的必要不充分条件；(6)若AB且AB，则p
2、是q的既不充分也不必要条件1(2022海南月考)已知p：x(x1)0，q：x1，则p是q的()A充分不必要条件B必要不充分条件C充要条件D既不充分也不必要条件答案B解析x(x1)0x0或x1，因此由p：x(x1)0不一定能推出q：x1，但是由q：x1一定能推出p：x(x1)0，所以p是q的必要不充分条件，故选B.2(2020天津高考)设aR，则“a1”是“a2a”的()A充分不必要条件B必要不充分条件C充要条件D既不充分也不必要条件答案A解析求解二次不等式a2a可得a1或a0，据此可知，“a1”是“a2a”的充分不必要条件故选A.3(2021南京师范大学附属扬子中学模拟)设乙的充分不必要条件是
3、甲，乙是丙的充要条件，丁是丙的必要不充分条件，那么甲是丁的()A充分不必要条件B必要不充分条件C充要条件D既不充分也不必要条件答案A解析甲是乙的充分不必要条件，即甲乙，乙甲，乙是丙的充要条件，即乙丙，丁是丙的必要不充分条件，即丙丁，丁丙，所以甲丁，丁甲，即甲是丁的充分不必要条件故选A.4(2022承德摸底)“A60”是“cosA”的()A充分不必要条件B必要不充分条件C充要条件D既不充分也不必要条件答案A解析由A60，可得cosA；由cosA，可得A60k360，kZ.所以“A60”是“cosA”的充分不必要条件故选A.5已知p：xa是q：2x3的必要不充分条件，则实数a的取值范围是_.答案(
4、，2解析由已知，得x|2xa，所以实数a的取值范围是(，26函数f(x)x23mx1的图象关于直线x1对称的充要条件是_.答案m解析函数f(x)x23mx1的图象的对称轴为直线x，函数f(x)x23mx1的图象关于直线x1对称的充要条件是1，即m.考向一充分、必要条件的判断例1(1)(2021厦门一模)“x24”是“3x9”的()A充分不必要条件B必要不充分条件C充要条件D既不充分也不必要条件答案B解析因为x24x2或x9x2，记Ax|x2或x2，则BA，所以x24不能推出3x9,3x9能推出x24，所以“x24”是“3x9”的必要不充分条件故选B.(2)(2021烟台模拟)若l，m是两条不同
5、的直线，是一个平面，l，则“lm”是“m”的()A充分不必要条件B必要不充分条件C充要条件D既不充分也不必要条件答案B解析由l，lm，得m或m，不满足充分性，由l，m，得lm，满足必要性，故“lm”是“m”的必要不充分条件故选B. 充分、必要条件的两种判断方法(1)定义法：根据pq，qp进行判断(2)集合法：根据p，q成立时对应的集合之间的包含关系进行判断1.(2021温州模拟)已知xR，则“x0”是“x|x|0”的()A充分不必要条件B必要不充分条件C充要条件D既不充分也不必要条件答案B解析由x|x|0可解得x0，“x0”是“x0”的必要不充分条件，故“x0”是“x|x|0”的必要不充分条件
6、故选B.2(2021盐城一模)已知a，b都是实数，那么“a2”是“方程x2y22xa0表示圆”的()A充分不必要条件B必要不充分条件C充要条件D既不充分也不必要条件答案A解析方程x2y22xa0表示圆方程(x1)2y2a1表示圆a10a1.由a2能推出a1，但是a1推不出a2，故“a2”是“方程x2y22xa0表示圆”的充分不必要条件考向二根据充分、必要条件求参数的范围例2(2021漳州模拟)已知关于x的不等式(xa)(x3)0成立的一个充分不必要条件是1x0的解集的一个真子集当a3时，不等式(xa)(x3)0的解集为x|x3，此时(1,1)x|x3；当a3时，不等式(xa)(x3)0的解集为
7、(，3)(a，)，此时(1,1)(，3)，符合题意；当a0的解集为(，a)(3，)，由题意可得(1,1)(，a)，此时1a3(xm)是q：x23x43(xm)得x3m，所以p：x3m；解x23x40得4x1，所以q：4x1.因为p是q的必要不充分条件，所以m1或m34，得m1或m7.故选B.考向三充要条件的证明与探求例3已知a，b，c均为实数，求证：一元二次方程ax2bxc0有一正根和一负根的充要条件是ac0.证明(1)充分性：如果ac0且0，0，所以ac0.由(1)(2)知，一元二次方程ax2bxc0有一正根和一负根的充要条件是ac0”是“2x2”的()A充分不必要条件B必要不充分条件C充要
8、条件D既不充分也不必要条件答案B解析若2x2，则x1，因为(1，)(0，)，所以“x0”是“2x2”的必要不充分条件故选B.3(2021重庆一中高三月考)“(a2)3(b2)3”是“lg alg b”的()A充分不必要条件B必要不充分条件C充要条件D既不充分也不必要条件答案B解析充分性：(a2)3(b2)3a2b2，明显地有ab，由于对数的真数大于0，所以无法推导出lg alg b，所以充分性不成立；必要性：由lg alg b得ab0，所以a2b2，所以(a2)3(b2)3，所以必要性成立故选B.4(2022济宁模拟)已知f(x)是R上的奇函数，则“x1x20”是“f(x1)f(x2)0”的(
9、)A充分不必要条件B必要不充分条件C充要条件D既不充分也不必要条件答案A解析函数f(x)是R上的奇函数，若x1x20，则x1x2，则f(x1)f(x2)f(x2)，即f(x1)f(x2)0成立，即充分性成立；若f(x)0，满足f(x)是R上的奇函数，当x1x22时，f(x1)f(x2)0，此时满足f(x1)f(x2)0，但x1x240，即必要性不成立故“x1x20”是“f(x1)f(x2)0”的充分不必要条件5(2022山东淄博摸底)设a，b均为单位向量，则“|a3b|3ab|”是“ab”的()A充分不必要条件B必要不充分条件C充要条件D既不充分也不必要条件答案C解析|a3b|3ab|(a3b
10、)2(3ab)2a26ab9b29a26abb2，又|a|b|1，ab0ab，因此“|a3b|3ab|”是“ab”的充要条件6(2021泰安模拟)已知p：xa，q：|x2a|3，且p是q的必要不充分条件，则实数a的取值范围是()A(，1 B(，1)C1，) D(1，)答案A解析因为q：|x2a|3，所以q：2a3x2a3，记Ax|2a3x1”是“不等式2xax成立”的必要不充分条件，则实数a的取值范围是()A(3，) B(，3)C(4，) D(，4)答案A解析若2xax，即2xxa，设f(x)2xx，则函数f(x)为增函数由题意知，不等式2xxa成立，即f(x)a成立能得到x1，反之不成立因为
11、当x1时，f(x)3，所以a3.9(2021重庆市第七中学模拟)“a2”是“函数f(x)2x24ax19在(2，)上为增函数”的()A充分不必要条件B必要不充分条件C充要条件D既不充分也不必要条件答案A解析函数f(x)2x24ax19的图象的对称轴为直线xa，若函数f(x)2x24ax19在(2，)上为增函数，则a2，所以a2，所以“a2”是“函数f(x)2x24ax19在(2，)上为增函数”的充分不必要条件故选A.10(2021浙江杭州高级中学模拟)设A(x，y)|ykx，B(x，y)|y，则“1k1”是“AB”的()A充分不必要条件B必要不充分条件C充要条件D既不充分也不必要条件答案B解析
12、因为AB，所以ykx与y有交点，即方程kx在有解，所以k，所以0k1，故“1k1”是“AB”的必要不充分条件故选B.二、多项选择题11(2021辽宁实验中学高三二模)下列四个选项中，q是p的充分必要条件的是()Ap：q：Bp：q：Cp：q：Dp：q：答案ABC解析对于A，由a0，b0，可得ab0，ab0，反之也成立，q是p的充分必要条件；对于B，由a1，b1，可得ab2，ab1，反之也成立，q是p的充分必要条件；对于C，由a0，b0，可得ab0，ab0，反之也成立，q是p的充分必要条件；对于D，由a1，b1，可得ab2，ab1，反之不成立，例如取a6，b，q是p的必要不充分条件故选ABC.12
13、(2021山东德州模拟)下列叙述中正确的是()A“a1”是“cb2”的充要条件是“ac”C“a11，1，“a1”是“c成立，而ab20cb2，充分性不成立，B错误；令f(x)x2xa，方程x2xa0有一个正根和一个负根，则f(0)0，则有a0，“a0时，ax2bxc0可以推出b24ac0，而b24ac0也可以推出ax2bxc0，D正确故选ACD.三、填空题13(2021珠海市第二中学模拟)墨子经说上上说：“小故，有之不必然，无之必不然体也，若有端，大故，有之必然，若见之成见也”这一段文字蕴含着十分丰富的逻辑思想，那么文中的“小故”指的是逻辑中的_(选填“充分条件”“必要条件”“充要条件”或“既
14、不充分也不必要条件”)答案必要条件解析由“小故，有之不必然，无之必不然”，知“小故”是导致某个结果出现的几个条件中的一个或一部分条件，故“小故”指的是逻辑中的必要条件14(2021昆明诊断)已知Px|x28x200，非空集合Sx|1mx1m，若xP是xS的必要条件，则m的取值范围为_.答案0,3解析由x28x200，得2x10，Px|2x10xP是xS的必要条件，SP，解得0m3.故m的取值范围为0,315(2021青岛二中检测)直线xyk0与圆(x1)2y22有两个不同交点的充要条件是_.答案1k3解析直线xyk0与圆(x1)2y22有两个不同交点等价于，解得1k3.16(2022湖北襄阳测
15、试)已知p：实数m满足3am0)，q：方程1表示焦点在y轴上的椭圆，若p是q的充分条件，则a的取值范围是_.答案解析由2mm10，得1m，即q：1m.因为p是q的充分条件，所以解得a.四、解答题17(2021重庆模拟)已知p：x，q：x(x3)0，若p是q的充分不必要条件，求实数m的取值范围解记A，Bx|x(x3)0x|0x3若p是q的充分不必要条件，则AB.注意到Bx|0x3，可分两种情况讨论：若A，即，解得m0，此时AB，符合题意；若A，即0，要使AB，应有或解得0m3.综上可得，实数m的取值范围是(，3)18已知关于x的方程ax22x10，求这个方程至少有一个负实根的充要条件解(1)当a0时，为一元一次方程，其根为x，符合题目要求；(2)当a0时，为一元二次方程，它有实根的充要条件是判别式0，即44a0，从而a1.又设方程ax22x10的两根为x1，x2，则由根与系数的关系得x1x2，x1x2.方程ax22x10有一个负实根的充要条件是得a0.方程ax22x10有两个负实根的充要条件是得0a1.综上，方程ax22x10至少有一个负实根的充要条件是a1.