1、2.4.1 抛物线的标准方程1.掌握抛物线的定义,理解焦点、准线方程的几何意义.2.能够根据已知条件写出抛物线的标准方程.1.抛物线的定义 平面内与一个定点F和一条定直线l(Fl)的距离相等的点的轨迹叫做抛物线,定点F叫做抛物线的焦点,定直线l叫做抛物线的准线.名师点拨抛物线定义中的定点F不在定直线l上,否则点的轨迹不是抛物线,而是过点F与l垂直的一条直线.2.抛物线的标准方程方程 y2=2px(p0)叫做抛物线的标准方程.它所表示的抛物线的焦点在 x 轴的正半轴上,坐标是 2,0;它的准线方程是=2,其中是焦点到准线的距离.【做一做】若抛物线的焦点坐标为(1,0),则抛物线的标准方程为()A
2、.y2=xB.y2=2x C.y2=4xD.无法确定 解析:因为焦点(1,0)在x轴的正半轴上,所以抛物线的标准方程为y2=4x.故选C.答案:C 抛物线是双曲线的一支吗?剖析:虽然抛物线的形状与双曲线的形状看起来有点“像”,但绝不能把抛物线看成是双曲线的一支.当抛物线上的点趋向于无穷远时,曲线上的点的切线与对称轴近似平行;而双曲线上的点趋向于无穷远时,曲线上的点的切线与渐近线近似平行;抛物线没有渐近线;从方程上看,抛物线方程与双曲线方程有很大差别.题型一 题型二 题型三 抛物线的标准方程【例1】已知焦点在x轴正半轴的抛物线C经过点(2,-4),求抛物线的标准方程.分析:已知抛物线的焦点在x轴
3、正半轴,设出标准方程y2=2px(p0),将点(2,-4)代入求解即可.解:因为焦点在x轴的正半轴上,所以设抛物线方程为y2=2px(p0),将(2,-4)的横、纵坐标代入得p=4,故所求方程为y2=8x.题型一 题型二 题型三 抛物线定义的应用【例2】过抛物线x=4y2的焦点作直线交抛物线于A(x1,y1),B(x2,y2)两点,若x1+x2=5,求线段AB的长.分析:先把方程化为标准方程,即 y2=14,再由抛物线的定义得到答案.解:将抛物线方程 x=4y2 化为 y2=14,设焦点为 F,则|AF|=x1+2,|=2+2.又由已知,得 p=18.所以|AB|=|AF|+|BF|=x1+2
4、+2+2=x1+x2+p=418.题型一 题型二 题型三 反思过焦点的直线被抛物线截得的线段叫焦点弦,焦点与抛物线上的点的连线叫焦半径.已知抛物线 y2=2px(p0)上的点 M(x0,y0),则过该点的焦半径为 x0+2.题型一 题型二 题型三 根据抛物线的方程求焦点坐标和准线方程【例3】已知抛物线的方程如下,分别求其焦点坐标和准线方程:(1)y2=8x;(2)x=ay2(a0).分析:先将所给方程化为标准形式,求出p,再结合图形,求出焦点坐标与准线方程.解:(1)因为2p=8,所以p=4,开口向右,焦点坐标为(2,0),准线方程为x=-2.(2)因为抛物线的方程可化为 y2=1,所以 2p
5、=1,所以 2=14.故焦点坐标为 14,0,准线方程为x=14.123451.抛物线 y2=ax(a0)的焦点到其准线的距离是()A.4 B.2C.aD.2a答案:B 123452.抛物线 x=4y2 上的一点 M 到焦点的距离为 1,则点 M 的横坐标是()A.1716 B.1516C.1516 D.1716答案:B 123453.以抛物线y2=4x的焦点为圆心,且过坐标原点的圆的方程为()A.x2+y2+2x=0 B.x2+y2+x=0 C.x2+y2-x=0 D.x2+y2-2x=0 解析:因为抛物线y2=4x的焦点坐标为(1,0),所以满足题意的圆的方程为(x-1)2+y2=1,整理得x2+y2-2x=0,故选D.答案:D 123454.抛物线y2=2x上的两点A,B到焦点的距离之和是5,则线段AB的中点到y轴的距离是 .解析:由抛物线的定义可知,A,B到准线x=12 的距离之和是5,从而线段 AB 的中点到准线的距离是 52,故AB 的中点到 y 轴的距离是 52 12=2.答案:2123455.已知点P(1,-2)在抛物线y2=2px(p0)上,求点P到抛物线焦点的距离.分析:由点P在抛物线上可求得p值,再结合定义求得点P到焦点的距离.解:因为点P在抛物线上,所以(-2)2=2p1,即p=2.故点 P(1,-2)到抛物线焦点的距离为 1+2=1+1=2.