1、16.1 二根次式第16章 二次根式 导入新课 讲授新课 当堂练习 课堂小结 第1课时 二次根式的概念学习目标 1.理解二次根式的概念.（重点）2.掌握二次根式有意义的条件.（重点）3.会利用二次根式的非负性解决相关问题.（难点）导入新课情景引入 里约奥运会上，哪位奥运健儿给你留下了深刻的印象？你能猜出下面表情包是谁吗？你们是根据哪些特征猜出的呢？下面来看傅园慧在里约奥运会赛后的采访视频，注意前方高能表情包.通过表情包来辨别人物，最重要的是根据个人的特征，那么数学的特征是什么呢？“数学根本上是玩概念的，不是玩技巧，技巧不足道也.”-中科院数学与系统科学研究院 李邦河 复习引入 问题1 什么叫做
2、平方根?一般地，如果一个数的平方等于a，那么这个数叫做a的平方根.问题2 什么叫做算术平方根?如果 x2=a（x0），那么 x 称为 a 的算术平方根.用表示.(0)a a 问题3 什么数有算术平方根?我们知道,负数没有平方根.因此，在实数范围内开平方时，被开方数只能是正数或0.思考 用带根号的式子填空，这些结果有什么特点？(1)如图的海报为正方形，若面积为2m2,则边长为_m；若面积为S m2，则边长为_m(2)如图的海报为长方形，若长是宽的2倍，面积为6m2，则它的宽为_m图图2S3（3）一个物体从高处自由落下，落到地面所用的时间 t（单位：s）与开始落下的高度h（单位：m）满足关系 h=
3、5t2，如果用含有h 的式子表示 t，那么t为_5h问题1 这些式子分别表示什么意义？5h分别表示2，S，3，的算术平方根上面问题中，得到的结果分别是：，2S35h讲授新课二次根式的概念及有意义的条件 一根指数都为2;被开方数为非负数.问题2 这些式子有什么共同特征？归纳总结 一般地，我们把形如 的式子叫做二次根式.“”称为二次根号.(0)aa 两个必备特征 外貌特征：含有“”内在特征：被开方数a 0注意：a可以是数，也可以是式.例1 下列各式中，哪些是二次根式？哪些不是？23(1)32;(2)6;(3)12;(4)-0(5),;(6)1;(7)5.m mxy x ya；异号 解：(1)(4)
4、(6)均是二次根式，其中a2+1属于“非负数+正数”的形式一定大于零.(3)(5)(7)均不是二次根式.是否含二次根号 被开方数是不是非负数 二次根式 不是二次根式 是 是 否 否 分析：典例精析 例2 当x是怎样的实数时,在实数范围内有意义?2x 解：由x-20，得x2.当x2时，在实数范围内有意义.2x 111x（）；解：由题意得x-10，x1.3(2).1xx解：被开方数需大于或等于零，3+x0，x-3.分母不能等于零，x-10，x1.x-3 且x1.要使二次根式在实数范围内有意义，即需满足被开方数0，列不等式求解即可.若二次根式为分母或二次根式为分式的分母时，应同时考虑分母不为零.归纳
5、2(1)21;xx2(2)23.xx解：(1)无论x为何实数，当x=1时，在实数范围内有意义.(2)无论x为何实数，-x2-2x-3=-(x+1)2-20，无论x为何实数，在实数范围内都无意义.221xx223xx被开方数是多项式时，需要对组成多项式的项进行恰当分组凑成含完全平方的形式，再进行分析讨论.归纳222110 xxx ，(1)单个二次根式如有意义的条件：A0；A(2)多个二次根式相加如有意义的条件：.ABN00.0ABN；(3)二次根式作为分式的分母如有意义的条件：A0；BA(4)二次根式与分式的和如有意义的条件：A0且B0.1AB归纳总结 1.下列各式：.一定是二次根式的个数有（）
6、2233;5;112721axxxx；;A.3个B.4个C.5个D.6个B2.(1)若式子在实数范围内有意义，则x的取值范围是_;12x(2)若式子在实数范围内有意义，则x的取值范围是_.12xxx 1x 0且x2练一练问题1 当x是怎样的实数时，在实数范围内有意义？呢？2x3x前者x为全体实数；后者x为正数和0.当a0时，表示a的算术平方根，因此0；当a=0时，表示0的算术平方根，因此=0.这就是说，当a0时，0.aaaaa问题2 二次根式的被开方数a的取值范围是什么？它本身的取值范围又是什么？a二次根式的双重非负性 二二次根式的实质是表示一个非负数（或式）的算术平方根.对于任意一个二次根式
7、 ，我们知道：a（1）a为被开方数，为保证其有意义，可知a0；（2）表示一个数或式的算术平方根，可知0.aa二次根式的被开方数非负 二次根式的值非负 二次根式的双重非负性 归纳总结 例3 若，求a-b+c的值.223(4)0abc解：由题意可知a-2=0,b-3=0,c-4=0,解得a=2,b=3,c=4.a-b+c=2-3+4=3.多个非负数的和为零，则可得每个非负数均为零.初中阶段学过的非负数主要有绝对值、偶次幂及二次根式.归纳 典例精析 例4 已知y=,求3x+2y的算术平方根.338xx解：由题意得x=3，y=8，3x+2y=33+28=25.25的算术平方根为5，3x+2y的算术平方
8、根为53 030 xx ，3264baa解：由题意得a=3，b=4.当a为腰长时，三角形的周长为3+3+4=10；当b为腰长时，三角形的周长为4+4+3=1130260aa，若，则根据被开方数大于等于0，可得a=0.归纳yaab 已知|3x-y-1|和互为相反数，求x+4y的平方根24xy解：由题意得3x-y-1=0且2x+y-4=0解得x=1，y=2x+4y=1+24=9，x+4y的平方根为3.练一练|3x-y-1|24=0 xy当堂练习2.式子 有意义的条件是 （）236x A.x2 B.x2 C.x2 D.x23.当x=_时，二次根式取最小值，其最小值为_1.下列式子中，不属于二次根式的
9、是（）CDa CA-11x 04.当a是怎样的实数时，下列各式在实数范围内有 意义？(1)1;(2)23;2(3);(4).5aaaa(1)-10,1.aa 3(2)230,.2aa(3)0,0.aa (4)50,5.aa 5.(1)若二次根式有意义，求m的取值范围222mmm解：由题意得m-20且m2-m-20，解得m2且m-1，m2，m2(2)无论x取任何实数，代数式都有意义，求m的取值范围26xxm解：由题意得x2+6x+m0，即(x+3)2+m-90.(x+3)20，则m-90，即m9.6.若x，y是实数，且y,求的值.1112xx 11yy解：根据题意得x=1.y,y，.1112xx
10、 1211111yyyy 1 0,10,xx 7.先阅读，后回答问题：当x为何值时，有意义？解：由题意得x(x-1)0由乘法法则得解得x1 或x0即当x1 或x0时，有意义.1x x 001 01 0 xxxx，或，1x x 能力提升：体会解题思想后，试着解答：当x为何值时，有意义？221xx解：由题意得则解得x2或x，即当x2或x时，有意义2021xx ，202021 021 0 xxxx，或，1212221xx课堂小结二次根式 定义 带有二次根号 在有意义条件下求字母的取值范围 抓住被开方数必须为非负数，从而建立不等式求出其解集.被开方数为非负数 二次根式的双重非负性 二次根式 中,a0且 0 aa
