1、2.3.1 双曲线的标准方程1.理解双曲线的定义.2.掌握双曲线的标准方程的定义.1.双曲线的定义 平面内与两个定点F1,F2的距离的差的绝对值等于常数(小于|F1F2|且不等于零)的点的轨迹叫做双曲线.这两个定点叫做双曲线的焦点,两焦点的距离叫做双曲线的焦距.名师点拨在双曲线的定义中,(1)当常数等于|F1F2|时,动点的轨迹是以F1,F2为端点的两条射线(包括端点).(2)当常数大于|F1F2|时,动点的轨迹不存在.(3)当常数等于零时,动点的轨迹是线段F1F2的垂直平分线.(4)当定义中“差的绝对值”中的“绝对值”去掉的话,点的轨迹就成为双曲线的一支.【做一做1】已知定点F1(-3,0)
2、,F2(3,0),在满足下列条件的平面内动点P的轨迹中,为双曲线的是()A.|PF1|-|PF2|=5 B.|PF1|-|PF2|=6 C.|PF1|-|PF2|=7 D.|1|2|2|2=6解析:因为|F1F2|=6,所以与两个定点F1,F2的距离的差的绝对值应小于6,故选A.答案:A 2.双曲线的标准方程 焦点在 x 轴上 焦点在 y 轴上 标准方程x2a2 y2b2=1(0,0)y2a2 x2b2=1(0,0)焦点坐标 F1(-c,0),F2(c,0)F1(0,-c),F2(0,c)a,b,c 的关系c2=a2+b2 c2=a2+b2 名师点拨1.由求双曲线的标准方程的过程可知:只有当双
3、曲线的两个焦点在坐标轴上,且关于原点对称时,才能得到双曲线的标准方程.反之亦成立.2.在双曲线的标准方程中,若x2的系数为正,则焦点在x轴上;若y2的系数为正,则焦点在y轴上.【做一做 2-1】双曲线 210 22=1 的焦距为()A.3 2B.4 2C.3 3D.4 3解析:由已知有 c2=a2+b2=12,得 c=2 3,故双曲线的焦距为 4 3.答案:D【做一做 2-2】若双曲线的焦点在 x 轴上,且经过(2,0),(4,3)两点,则双曲线的标准方程为 .解析:设双曲线的标准方程为 22 22=1(0,0),由题意知a=2,则 24 22=1.将点(4,3)代入得 164 92=1,解得
4、b2=3,故双曲线的标准方程为 24 23=1.答案:24 23=11.椭圆与双曲线的区别 剖析:椭圆 双曲线 MF1+MF2=2 MF1 MF2=2 因为 ac0,所以令a2-c2=b2(b0)因为ca0,所以令c2-a2=b2(b0)x2a2+y2b2=1,y2a2+x2b2=1,其中ab0 x2a2 y2b2=1,y2a2 x2b2=1,其中a0,b0 2.求双曲线方程的常用方法 剖析:(1)待定系数法.即先设出方程的标准形式,再确定方程中的参数a,b的值,即“先定型,再定量”,若两种类型都有可能,则应进行分类讨论.(2)定义法.题型一 题型二 题型三 题型四 双曲线的定义及应用【例1】
5、如图所示,已知定圆F1:x2+y2+10 x+24=0,定圆F2:x2+y2-10 x+9=0,动圆M与定圆F1,F2都外切,求动圆圆心M的轨迹方程.分析:可利用双曲线的定义来求解.解:由圆F1:(x+5)2+y2=1,得圆心F1(-5,0),半径r1=1.由圆F2:(x-5)2+y2=42,得圆心F2(5,0),半径r2=4.设动圆M的半径为R,则有|MF1|=R+1,|MF2|=R+4,所以|MF2|-|MF1|=3,即点 M 的轨迹是以 F1,F2 为焦点的双曲线的左支,且 a=32,=5.所以 b2=c2-a2=25 94=914.故动圆圆心 M 的轨迹方程为 49 2 491 2=1
6、 -32.题型一 题型二 题型三 题型四 反思遇到动点到两定点的距离之差的问题时,应联想到能否用双曲线的定义来解,并要注意x的范围.题型一 题型二 题型三 题型四 求双曲线的标准方程【例 2】已知双曲线的焦点在 y 轴上,并且双曲线过点(3,-4 2),94,5,求双曲线的标准方程.分析:可根据已知条件,先设出双曲线方程,再把点的坐标代入即可.解:设双曲线的标准方程为 22 22=1(0,0),将点(3,-4 2),94,5 分别代入方程,得 322-92=1,252-81162=1,解得 2=16,2=9.故所求双曲线的标准方程为 216 29=1.题型一 题型二 题型三 题型四 反思双曲线
7、的标准方程有两种形式,即 22 22=1 0,0,22 22=1 0,0,方程2+2=1 表示双曲线的充要条件是mn 1).题型一 题型二 题型三 题型四 反思求轨迹方程时,如果没有平面直角坐标系,那么要建立适当的平面直角坐标系.动点M的轨迹是双曲线的一支且去掉一个点,这种情况一般在求得方程的后面应加以说明,并把说明的内容加上括号.题型一 题型二 题型三 题型四 易错题型【例 4】已知双曲线 4x2-9y2+36=0,求它的焦点坐标.错解:将双曲线方程化为标准方程 29+24=1,则a=3,b=2,c=13,故双曲线的焦点坐标为(13,0),(13,0).错因分析:这种解法是错误的.原因在于:
8、双曲线的焦点在 x 轴或y 轴上,不是以分母的大小确定的,而是依据二次项系数的符号确定的.正解:将双曲线方程化为标准方程 24 29=1,可知焦点在y 轴上,则 a=2,b=3,c2=a2+b2=13,即 c=13.故双曲线的焦点坐标为 F1(0,13),2(0,13).题型一 题型二 题型三 题型四 反思判断时,需先将原方程化为标准形式,即方程的右边是1,方程的左边是“x2”和“y2”项的差,再根据“x2”与“y2”系数的正负判断焦点所在的坐标轴,最后求解.12341.已知F1(-8,3),F2(2,3),动点P满足|PF1|-|PF2|=10,则点P的轨迹是()A.双曲线B.双曲线的一支
9、C.直线 D.一条射线 解析:因为F1,F2是两定点,|F1F2|=10,所以满足条件|PF1|-|PF2|=10的点P的轨迹为一条射线.答案:D 12342.若双曲线 225 2144=1 上一点到右焦点的距离是 5,则下列结论正确的是()A.P到左焦点的距离是8 B.P到左焦点的距离是15 C.P到左焦点的距离不确定 D.这样的点P不存在 解析:选项A和选项C易判断是错误的,对选项B而言,若|PF1|=15,|PF2|=5,则|PF1|+|PF2|=20,而|F1F2|=26,即有|PF1|+|PF2|F1F2|=26,这与“三角形的两边之和大于第三边”相矛盾,故选D.答案:D 12343
10、.已知方程 2-3+22-=1 表示焦点在轴上的双曲线,则的取值范围是_.解析:因为方程 2-3+22-=1 表示焦点在y 轴上的双曲线,所以-3 0,所以k2.答案:k212344.求适合下列条件的双曲线的标准方程:(1)a=4,c=5,焦点在x轴上;(2)a=b,经过点(3,-1).分析:灵活应用双曲线方程,要注意讨论焦点所在的位置,不要漏解.解:(1)因为a=4,c=5,所以b2=c2-a2=25-16=9.又因为焦点在x轴上,所以双曲线的标准方程为 216 29=1.(2)当焦点在 x 轴上时,可设双曲线方程为 x2-y2=a2,将点(3,-1)代入得,32-(-1)2=a2,所以 a2=b2=8.因此,所求双曲线的标准方程为 28 28=1.当焦点在 y 轴上时,可设双曲线方程为 y2-x2=a2,将点(3,-1)代入得(-1)2-32=a2,则 a2=-8,不符合实际,所以焦点不可能在 y 轴上.综上,所求双曲线的标准方程为 28 28=1.