1、第九章 直线、平面、简单几何体第 讲（第二课时）1.四面体ABCD中，E、G分别为BC、AB的中点，F在CD上，H在AD上，且有DFFC=23，DHHA=23.求证：EF、GH、BD交于一点.题型4 共点问题分析：只要证明点E、F、G、H分别所在的直线EG和HF平行，由公理的推论3就可知它们共面.在ABD和CBD中，由E、G分别是BC和AB的中点及可得，所以EGHF,直线EF，GH是梯形的两腰，所以它们的延长线必相交于一点P.因此，要证三条直线EF、GH、BD交于一点，只要证点P在直线BD上即可.事实上，由于BD是EF和GH分别所在平面BCD和平面ABD的交线，而点P是上述两平面的公共点，由公
2、理2知PBD.23DHDHFCHA1225EG/AC,HF/AC证法1：(几何法)连结GE、HF.因为E、G分别为BC、AB的中点，所以GEAC.又因为DFFC=23，DHHA=23，所以HFAC,所以GEHF.故G、E、F、H四点共面.又因为EF与GH不能平行，所以EF与GH相交，设交点为P.则P平面ABD，P平面BCD，而平面ABD平面BCD=BD，所以EF、GH、BD交于一点.证法2：(向量法)由所以，从而.1122EGBGBEBABC11,22(BABC)CA22225555FHDHDFDADC(DADC)CA45EGFHEG/FH故G、E、F、H四点共面.又因为EF与GH不能平行，所
3、以EF与GH相交，设交点为P.则P平面ABD，P平面BCD，而平面ABD平面BCD=BD，所以EF、GH、BD交于一点.点评：证明线共点，常采用证两直线的交点在第三条直线上的方法，而第三条直线又往往是两平面的交线.在正方体ABCD-A1B1C1D1中，E是AB的中点，F是A1A的中点，求证：CE，D1F，DA三线共点.证明：因为E是AB的中点，F是A1A的中点，连结A1B.则EFA1B，所以EFD1C且EF=D1C，故四边形ECD1F是梯形，两腰CE，D1F相交，设其交点为P.12则PCE，又CE平面ABCD，所以P平面ABCD.同理，P平面ADD1A1.又平面ABCD平面ADD1 A1=AD
4、，根据公理3知，PAD，所以CE，D1F，DA三线共点.2.在空间四边形ABCD中，E、F、G、H分别是AB、BC、AD、CD边上的点，且EF和GH相交于P点，求证：A、C、P三点共线.题型5 共线问题证明：依据题意，A、B、C为不共线三点，由这三点确定一个平面.因为E、F分别是AB、BC上的点，所以E、F在平面ABC内，从而直线EF在平面ABC内.因为点P在直线EF上，所以点P在平面ABC内.同理，点P在平面ACD内.所以点P是平面ABC和平面ACD的一个公共点.因为平面ABC平面ACD=AC，所以点P在直线AC上，即A、C、P三点共线.点评：证多点共线问题，一般先取过两点的直线，然后证其他
5、点在这条直线上；也可证明这些点均在两个平面的交线上.在正方体ABCD-A1B1C1D1中，对角线A1C与平面BDC1相交于O点，直线AC和BD相交于点M.求证：C1、O、M三点共线.证明：因为AA1CC1，所以AA1和CC1确定一个平面.显然，C1、O、M三点都在平面AA1C1C内.又C1、O、M三点都在平面BC1D内，所以C1、O、M三点在平面AA1C1C和平面BC1D的交线上，即三点共线.3.已知三条直线a、b、c两两互相平行，且分别与直线l相交于A、B、C三点，证明：四条直线l、a、b、c共面.证明：因为ab，bc，故设由a、b确定的平面为，由b、c确定的平面为.因为la=A，lb=B，
6、而A，B，所以l.同理，l.题型6 共面问题点评：证明直线共面通常的方法是：由其中两条直线确定一个平面，再证明其余的直线都在此平面内(纳入法)；过某些直线作多个平面，然后证明这些平面重合(重合法)；也可利用共面向量定理来证明.求证：两两相交且不通过同一点的四条直线必在同一平面内.证明：(1)若a、b、c三线共点P，但点Pd，由d和其外一点可确定一个平面.又ad=A,所以点A,所以直线a.同理可证：b、c,所以a、b、c、d共面.(2)若a、b、c、d两两相交但不过同一点,因为ab=Q,所以a与b可确定一个平面.又cb=E,所以E,同理ca=F,所以F,所以直线c上有两点E、F在内,所以c.同理
7、可证：d,故a、b、c、d共面.由(1)(2)知：两两相交且不通过同一点的四条直线必共面.对于空间五个不同的点，若任意四点都是共面的，求证：这五个点必共面.证明：设五个点分别为A、B、C、D、E，且A、B、C、D四点在平面内，A、B、C、E四点在平面内.(1)若A、B、C三点不共线，则平面、有三个不共线的公共点，所以与重合，从而五点共面.参 考 题参 考 题(2)若A、B、C三点共线，设所在直线为l.依据题意，A、B、D、E四点共面，则直线l在这个平面内，从而C点也在该平面内，故有五点共面.1.证明若干个点共线，常转化为证明这些点都是某两个平面的公共点，再根据公理2，这些点都在这两个平面的交线上，从而共线.2.证明若干条直线共点与证明若干个点共线是同一类问题，都可以转化为证明“点在直线上”(两条直线的交点在第三条直线上).3.证明某些点或直线共面，常用两种方法：一是先由其中的某些点或直线确定一个平面，再证其他点或直线都在这个平面内；二是先由其中的某些点或直线确定两个平面、，再证、重合.