1、第七章 直线与圆的方程 第 讲 考点搜索点与圆、直线与圆、圆与圆的位置关系过圆上一点的切线方程，相交圆的公共弦所在的直线方程高考猜想1.判定点、直线与圆的位置关系.2.根据直线与圆的位置关系求有关量的值或取值范围.3.求直线与圆的方程.1.已知点P(x0,y0)和圆C:(x-a)2+(y-b)2=r2，若点P在圆内，则(x0-a)2+(y0-b)2_;若点P在圆上，则(x0-a)2+(y0-b)2_；若点P在圆外，则(x0-a)2+(y0-b)2_.2.已知直线l:Ax+By+C=0和圆C:(x-a)2+(y-b)2=r2(r0)，圆心C到直线l的距离为d，则当_时，直线l与圆C相交；当_时，
2、直线l与圆C相切;当_时，直线l与圆C相离.r2=r2r2dr3.设O1的半径为R,O2的半径为r(Rr),两圆的圆心距|O1O2|=d,则当_时,两圆内含;当_时,两圆内切;当_时,两圆外切;当_时,两圆相交;当 _时,两圆外离.4.已知点M(x0,y0)和圆O:x2+y2=r2(r0).若点M在圆O上,则过点M的圆的切线方程是_;若点M在圆O外，过点M作圆的两条切线,切线长|MA|=|MB|=_.dR-rd=R-rd=R+rR-rdR+rdR+rx0 x+y0y=r222200-xyr5.若圆O1:x2+y2+D1x+E1y+F1=0和圆O2：x2+y2+D2x+E2y+F2=0相交于A、
3、B两点,则公共弦AB所在的直线方程是.;经过两圆交点的圆系方程是._.(D1-D2)x+(E1-E2)y+F1-F2=0+D1x+E1y+F1)+(x2+y2+D2x+E2y+F2)=0(x2+y21.圆x2+y2-4x+4y+6=0截直线x-y-5=0所得的弦长等于()解：易知圆心(2,-2)到直线x-y-5=0的距离为，又圆的半径为2,所以弦长为5 2A.6 B.2C.1 D.5222222(2)-()6.2A2.圆x2+y2-4x=0在点P(1,)处的切线方程为()A.x+y-2=0 B.x+y-4=0C.x-y+4=0 D.x-y+2=0解法1：x2-4x+(kx-k+)2=0.该二次
4、方程应有两个相等的实根，即=0，解得k=.所以y-3=(x-1)，即x-y+2=0.D3333322-40-3xyxykx k333333解法2：因为点(1，)在圆x2+y2-4x=0上，所以点P为切点，从而圆心与P的连线应与切线垂直.又因为圆心为(2，0)，所以解得所以切线方程为x-y+2=0.330-3-1,2-1k3,3k 3.若圆x2+y2=4与圆x2+y2+2ay-6=0(a0)的公共弦的长为，则a=_.解：易知x2+y2+2ay-6=0的半径为由图可知6+a2-(-a-1)2=()2，解得a=1.2 3326,a11.已知圆C:(x-1)2+(y-2)2=25及直线l:(2m+1)
5、x+(m+1)y=7m+4(mR).(1)求证:不论m为何值,直线l与圆C恒相交；(2)求直线l被圆截得的最短弦的长度及此时直线l的方程.解：(1)证明：直线l的方程可写作x+y-4+m(2x+y-7)=0.题型1 直线与圆的位置关系分析由方程组可得所以不论m取何值，直线l恒过定点(3，1)，且故点(3，1)在圆内.即不论m取何值，直线l与圆C恒相交.(2)由平面几何知识可知，当直线l经过M(3，1)且与过点M(3，1)的直径垂直时，弦|AB|最短.-40,2-70 xyxy3.1xy22(3-1)(1-2)5 5,2222|2-|2 25-(3-1)(1-2)4 5.ABrCM此时，即解得代
6、入原直线的方程可得直线l的方程为2x-y-5=0.点评：直线方程中若只含一个参数，则表示直线是平行系直线或过定点系的直线.本题中的直线是恒过定点的直线，而此定点在圆内，由此得出直线与圆相交.1-,CMkk211-2,11-2mm3-.4m 已知圆C：x2+y2-2x+4y-4=0.是否存在斜率为1的直线l，使以l被圆C截得的弦AB为直径的圆过原点？若存在，求出直线l的方程；若不存在，说明理由.解：圆C的方程化成标准式为(x-1)2+(y+2)2=32.假设存在以AB为直径的圆M，圆心M的坐标为(a，b).由于CMl，所以kCMkl=-1，所以即a+b+1=0，得b=-a-1.2-1,-1CMb
7、ka直线l的方程为y-b=x-a，即x-y+b-a=0，则又以AB为直径的圆M过原点，所以|MA|=|MB|=|OM|.又所以把代入，得2a2-a-3=0，所以a=或a=-1.|-3|.2b aCM2222222(-3)|-|9-,|,2b aMBCBCMOMab222(-3)9-.2b aab32当a=时，b=-，直线l的方程为x-y-4=0；当a=-1时，b=0，直线l的方程为x-y+1=0.故这样的直线l是存在的，且直线方程为x-y-4=0或x-y+1=0.32522.已知圆C经过点A(-2，3)和B(1，4)，且与圆x2+y2-7y+1=0相交，其公共弦所在直线与直线2x-3y+1=0
8、平行，求圆C的方程.解：设圆心C(a,b).已知圆的圆心为D(0,).又因为两圆的连心线与公共弦垂直，所以化简，得3a+2b-7=0.因为点A、B在圆C上，所以|AC|=|BC|，727-32-,-02ba即(a+2)2+(b-3)2=(a-1)2+(b-4)2，化简，得3a+b-2=0.联立，解得a=-1，b=5.从而|AC|2=(-1+2)2+(5-3)2=5.故圆C的方程是(x+1)2+(y-5)2=5.点评：圆与圆的位置关系问题一般转化为连心线、公共弦等问题，然后利用直线与直线、直线与圆的位置关系求解.求经过点A(4,-1),且与圆C：x2+y2+2x-6y+5=0相切于点B(1,2)
9、的圆的方程.解：圆C的方程可化为(x+1)2+(y-3)2=5,所以圆心为C(-1,3),直线BC的方程为x+2y-5=0.又线段AB的中点为D()，kAB=-1，所以线段AB的垂直平分线的方程为即x-y-2=0.联立，解得x=3，y=1.所以所求圆的圆心为E(3，1)，且|BE|=.故所求圆的方程是(x-3)2+(y-1)2=5.5 1,2 215-,22yx53.自点A(-3，3)发出的光线l射到x轴上，被x轴反射，其反射光线所在直线与圆x2+y2-4x-4y+7=0相切，求光线l所在直线的方程.解：已知圆的标准方程为(x-2)2+(y-2)2=1，其关于x轴的对称圆C为(x-2)2+(y
10、+2)2=1.设入射光线所在直线的方程为y-3=k(x+3)，则此直线与圆C相切，所以化简得2|55|1,1kk21225120,kk题型3 对称性问题所以k=-或k=-.故所求的直线方程是y-3=-(x+3)或y-3=-(x+3)，即3x+4y-3=0或4x+3y+3=0.点评：对称问题可先画出草图进行分析，再转化题中条件，将圆的对称问题转化为圆心的对称问题.本题可先求出关于x轴对称的圆再求解，也可将入射线的斜率转化为其相反数，即反射线的斜率再求解.34433443若圆x2+y2+2x-4y+1=0关于直线2ax-by+2=0(a，bR)对称，则ab的取值范围是()解：由条件可知直线过圆心，
11、所以-2a-2b+2=0，即a+b=1,所以1=(a+b)2=a2+2ab+b24ab,所以ab .故选A.1411A.(-,B.(0,4411C.(-,0)D.(-,)44A1.过圆x2+y2=25上一点A(-3，4)作两直线l1、l2，分别与圆相交于P、Q.若直线l1、l2的倾斜角互补，试推断直线PQ的斜率是否为定值.解：过点A作x轴的垂线交圆O于B点.设直线l1、l2分别与x轴相交于M、N点.依据题意，AMN为等腰三角形，所以AB为PAQ的平分线，所以B为PQ的中点.题型在直线与位置关系中求值参 考 题参 考 题（连结OB,则OBPQ.由对称性知,点B(-3,-4)，所以kOB=，所以k
12、PQ=为定值.4313-,4OBk2.已知圆C：x2+y2-4x-14y+45=0及点Q(-2，3).若M是圆C上任意一点，求|MQ|的最大值和最小值.解：圆C:(x-2)2+(y-7)2=8，所以|CM|=2 ，|CQ|=4 ，所以|MQ|max=|CQ|+r=6 ，|MQ|min=|CQ|-r=2 .题型求变量的最大值与最小值22223.已知动圆M与定圆C:(x+4)2+y2=4外切，圆心M在y轴上移动,圆M与y轴相交于A、B两点,P(-3,0)为定点，求tanAPB的取值范围.解：设点M(0，a)，圆M的半径为r，则r+2=，点A(0，a-r)，B(0，a+r).题型 以直线与圆为背景求
13、变量的取值范围2 16a 所以因为r+2=4，所以r2.因为函数在2，+)上是减函数,所以,当r=2时,ymax=；当r+时,y .所以tanAPB的取值范围是(，.2222-33tan-113366639.-9(2)-16-94-328-6PBPAPBPAara rkkAPBar a rkkrrrarrrrr216a 3928-6yr12532321251.处理直线与圆、圆与圆的位置关系问题有代数法和几何法两种.由于用几何法处理抓住了圆的几何特征，因此常常要比代数法简捷些.如利用圆的弦长公式l=(R表示圆的半径，d表示弦心距)，由于抓住了半弦、半径及弦心距这三条线段构成直角三角形这一特点，因此利用这一公式求弦长比用代数法求弦长要方便.222-Rd2.处理直线与圆、圆与圆的位置关系，要全面地考虑各种位置关系，防止漏解.如设切线的方程为点斜式，要考虑斜率不存在的情况是否符合要求.两圆相切应考虑外切和内切两种情况，两圆没有公共点应包括外离和内含两种情况等等.