1、1.3.2 命题的四种形式1.了解四种命题的定义.2.会分析四种命题的相互关系.1.四种命题(1)原命题:如果p,则q;(2)原命题的条件和结论“换位”得 如果q,则p,这称为原命题的逆命题;(3)原命题的条件和结论“换质”(分别否定)得 如果非p,则非q,这称为原命题的否命题;名师点拨否命题和命题的否定是两个不同的概念,应注意区别:(1)一般地,只有“如果p,则q”形式的命题才有否命题:“如果非p,则非q”,而一般命题都可有“否定命题”;(2)一般命题的否定命题与原命题总是一真一假,而“如果p,则q”的否命题与原命题的真假可能相同也可能相反.(4)原命题的条件和结论“换位”又“换质”得如果非
2、q,则非p,这称为原命题的逆否命题.名师点拨原命题是我们自己规定的,其他三种命题是相对原命题而言的.【做一做1】已知命题“如果x2=1,则x=1或x=-1”为原命题,写出它的其他三种命题.解:它的逆命题、否命题、逆否命题分别为:如果x=1或x=-1,则x2=1;如果x21,则x1,且x-1;如果x1,且x-1,则x21.2.四种命题的关系(1)原命题和逆命题是互逆的命题;否命题和逆否命题也是互逆的命题.(2)原命题和否命题、逆命题和逆否命题都是互否的命题.(3)原命题和逆否命题、逆命题和否命题都是互为逆否的命题.四种命题的关系如下图:【做一做2】与命题“如果x2,则x24”互逆的命题是()A.
3、如果x2,则x24,则x2 1.互为逆否命题的两个命题的等价性的理解 剖析:互为逆否命题的两个命题的等价性可以从集合角度给出恰当的解释.设A=x|p(x),B=x|q(x),其中p,q是集合A,B中元素的特征性质,如果AB,则意味着对于元素x要具有性质p就必须具有性质q,所以可以认为AB与pq等同.由维恩图(如图所示)易发现有下面的结论:AB与UBUA等价,也就说明“pq”与“q p”等价.2.互为逆否命题的两个命题的等价性的应用 剖析:由于原命题和逆否命题同真同假,逆命题和否命题同真同假,所以当一个命题不易判断真假时,可以通过判断其逆否命题的真假来判断原命题的真假,这种方法特别适合条件和结论
4、是否定形式的命题.例如,判断“如果a+b5,则a2或b3”的真假,直接去看,是不易判断其真假的,但以其逆否命题“如果a=2,且b=3,则a+b=5”来判断真假就十分容易了.题型一 题型二 题型三 四种命题【例1】写出命题“已知a,b,c,d都是实数,若a=b,c=d,则a+c=b+d”的逆命题、否命题与逆否命题.分析:先分清命题的条件和结论,再由四种命题的定义写出即可.条件“a=b,c=d”是“p且q”形式的命题,其否定为“ab或cd”.解:逆命题:已知a,b,c,d都是实数,若a+c=b+d,则a=b,c=d;否命题:已知a,b,c,d都是实数,若ab或cd,则a+cb+d;逆否命题:已知a
5、,b,c,d都是实数,若a+cb+d,则ab或cd.反思写已知命题的逆命题、否命题与逆否命题时,应先把已知命题看成原命题,再分清原命题的条件和结论,最后利用四种命题的定义写出其他三种命题.题型一 题型二 题型三 四种命题的关系【例2】已知下列四个命题:(1)p:若一个数是负数,则它的平方是正数;(2)q:若一个数不是负数,则它的平方不是正数;(3)s:若一个数的平方不是正数,则它不是负数;(4)r:若一个数的平方是正数,则它是负数.其中是互为逆否命题且都为真命题的两个命题为()A.p与rB.q与rC.p与qD.p与s 解析:利用四种命题的相互关系可判断p与s,q与r都互为逆否命题.命题p是真命
6、题,利用互为逆否的两个命题真假性相同,可知s也为真命题,而命题q,r为假命题,故选D.答案:D 反思解决本题的关键是明确四种命题的相互关系,利用“原命题与逆否命题”互为逆否命题、“否命题与逆命题”互为逆否命题来解决.题型一 题型二 题型三 命题的否定与命题的否命题【例3】写出命题“面积相等的三角形是全等三角形”的否定及否命题,并判断它们的真假.分析:该命题是省略全称量词的全称命题,写其否定时要添加存在量词.利用否命题的定义写出否命题.解:其否定为:有些面积相等的三角形不是全等三角形.(真)其否命题为:面积不相等的三角形不是全等三角形.(真)反思命题的否定一般来说只否定命题的结论,而写原命题的否
7、命题时,既要否定条件又要否定结论.123451.对原命题的条件和结论分别否定得到的命题是原命题的()A.逆命题B.否命题 C.逆否命题D.全称命题 答案:B 123452.命题“若两个角相等,则这两个角是对顶角”的逆命题是()A.若两个角是对顶角,则这两个角相等 B.若两个角不是对顶角,则这两个角不相等 C.若两个角是对顶角,则这两个角不相等 D.若两个角不相等,则这两个角不是对顶角 答案:A 123453.与命题“若ab=0,则ab”等价的命题是()A.若ab0,则a不垂直于b B.若ab,则ab=0 C.若a不垂直于b,则ab0 D.若ab0,则ab 答案:C 123454.命题“若=4,则 tan =1”的逆否命题是()A.若 4,则 tan 1B.若=4,则 tan 1C.若 tan 1,则 4D.若 tan 1,则=4答案:C 123455.命题“如果角=60,则 tan=3”的否定是“”;其否命题是“”.答案:如果角=60,则 tan 3 如果角60,则 tan 3