1、大二轮文2高考随堂演练适考素能特训热点考向探究主干知识整合大二轮 数学 文专题四 数列 第二编 专题整合突破3高考随堂演练适考素能特训热点考向探究主干知识整合大二轮 数学 文 第二讲 数列求和及综合应用4高考随堂演练适考素能特训热点考向探究主干知识整合大二轮 数学 文主干知识整合5高考随堂演练适考素能特训热点考向探究主干知识整合大二轮 数学 文重要公式及结论1分组求和法：分组求和法是解决通项公式可以写成cnanbn 形式的数列求和问题的方法，其中an与bn是等差(比)数列或一些可以直接求和的数列2裂项相消法：将数列的通项分成两个代数式子的差，即 anf(n1)f(n)的形式，然后通过累加抵消中
2、间若干项的求和方法形如canan1(其中an是各项均不为 0 的等差数列，c 为常数)的数列等6高考随堂演练适考素能特训热点考向探究主干知识整合大二轮 数学 文3错位相减法：形如anbn(其中an为等差数列，bn为等比数列)的数列求和，一般分三步：巧拆分；构差式；求和4倒序求和法：距首尾两端等距离的两项和相等，可以用此法，一般步骤：求通项公式；定和值；倒序相加；求和；回顾反思7高考随堂演练适考素能特训热点考向探究主干知识整合大二轮 数学 文附：(1)常见的拆项公式(其中 nN*)1nn11n 1n1.1nnk1k1n 1nk.12n12n1.1212n112n18高考随堂演练适考素能特训热点考
3、向探究主干知识整合大二轮 数学 文若等差数列an的公差为 d，则1anan11d1an 1an1；1anan2 12d1an 1an2.1nn1n2121nn11n1n2.1n n1 n1 n.1n nk1k(nk n)9高考随堂演练适考素能特训热点考向探究主干知识整合大二轮 数学 文(2)公式法求和：要熟练掌握一些常见数列的前 n 项和公式，如123nnn12；135(2n1)；122232n216n(n1)(2n1)n210高考随堂演练适考素能特训热点考向探究主干知识整合大二轮 数学 文失分警示1公比为字母的等比数列求和时，注意公比是否为 1的分类讨论2错位相减法求和时易漏掉减数式的最后一
4、项3裂项相消法求和时易认为只剩下首尾两项4裂项相消法求和时注意所裂式与原式的等价性11高考随堂演练适考素能特训热点考向探究主干知识整合大二轮 数学 文热点考向探究12高考随堂演练适考素能特训热点考向探究主干知识整合大二轮 数学 文考点 数列求和问题 典例示法题型 1 分组转化求和典例 1 设数列an满足 a12，a2a48，且对任意nN*，函数 f(x)(anan1an2)xan1cosxan2sinx 满足f2 0.(1)求数列an的通项公式；(2)若 bn2an 12an，求数列bn的前 n 项和 Sn.13高考随堂演练适考素能特训热点考向探究主干知识整合大二轮 数学 文解(1)由题设可得
5、f(x)anan1an2an1sinxan2cosx.对任意 nN*，f2 anan1an2an10，即 an1anan2an1，故an为等差数列由 a12，a2a48，解得an的公差 d1，所以 an21(n1)n1.(2)因为 bn2an 12an2n1 12n1 2n 12n2，14高考随堂演练适考素能特训热点考向探究主干知识整合大二轮 数学 文所以 Snb1b2bn(222)2(12n)12 122 12n2n2nn1212112n112n23n1 12n.15高考随堂演练适考素能特训热点考向探究主干知识整合大二轮 数学 文题型 2 错位相减法求和典例 2 2015湖北高考设等差数列a
6、n的公差为 d，前 n 项和为 Sn，等比数列bn的公比为 q.已知 b1a1，b22，qd，S10100.(1)求数列an，bn的通项公式；(2)当 d1 时，记 cnanbn，求数列cn的前 n 项和 Tn.16高考随堂演练适考素能特训热点考向探究主干知识整合大二轮 数学 文解(1)由题意有，10a145d100，a1d2，即2a19d20，a1d2，解得a11，d2，或a19d29.故an2n1，bn2n1，或an192n79，bn929n1.17高考随堂演练适考素能特训热点考向探究主干知识整合大二轮 数学 文(2)由 d1，知 an2n1，bn2n1，故 cn2n12n1，于是Tn13
7、2 522 723 9242n12n1，12Tn12 322 523 724 9252n12n，18高考随堂演练适考素能特训热点考向探究主干知识整合大二轮 数学 文可得12Tn212 122 12n22n12n32n32n，故 Tn62n32n1.19高考随堂演练适考素能特训热点考向探究主干知识整合大二轮 数学 文题型 3 裂项相消法求和典例 3 2016洛阳统考设数列an的前 n 项和为 Sn，对任意正整数 n 都有 6Sn12an.(1)求数列an的通项公式；(2)设 bnlog12 an，求 Tn1b2111b2211b2n1.解(1)由 6Sn12an，得 6Sn112an1(n2)两
8、式相减得 6an2an12an，即 an14an1(n2)，20高考随堂演练适考素能特训热点考向探究主干知识整合大二轮 数学 文由 6S16a112a1，得 a118，数列an是等比数列，公比 q14，所以 an1814n1122n1.21高考随堂演练适考素能特训热点考向探究主干知识整合大二轮 数学 文(2)an122n1，bn2n1，从而1b2n114nn1141n 1n1.Tn14112 1213 1n 1n1141 1n1 n4n1.22高考随堂演练适考素能特训热点考向探究主干知识整合大二轮 数学 文1分组求和的常见方法(1)根据等差、等比数列分组(2)根据正号、负号分组，此时数列的通项
9、式中常会有(1)n 等特征2裂项相消的规律(1)裂项系数取决于前后两项分母的差(2)裂项相消后前、后保留的项数一样多23高考随堂演练适考素能特训热点考向探究主干知识整合大二轮 数学 文3错位相减法的关注点(1)适用题型：等差数列an与等比数列bn对应项相乘(anbn)型数列求和(2)步骤：求和时先乘以数列bn的公比把两个和的形式错位相减整理结果形式24高考随堂演练适考素能特训热点考向探究主干知识整合大二轮 数学 文考点 数列与函数、不等式的综合问题 典例示法题型 1 数列与函数的综合典例 4 2014四川高考设等差数列an的公差为 d，点(an，bn)在函数 f(x)2x 的图象上(nN*)(
10、1)若 a12，点(a8,4b7)在函数 f(x)的图象上，求数列an的前 n 项和 Sn；(2)若 a11，函数 f(x)的图象在点(a2，b2)处的切线在 x轴上的截距为 2 1ln 2，求数列anbn 的前 n 项和 Tn.25高考随堂演练适考素能特训热点考向探究主干知识整合大二轮 数学 文解(1)由已知得，b72a7，b82a84b7，有 2 a842a72a72.解得 da8a72.所以，Snna1nn12d2nn(n1)n23n.(2)f(x)2xln 2，f(a2)2 a2ln 2，故函数 f(x)2x 在(a2，b2)处的切线方程为 y2 a22 a2ln 2(xa2)，它在
11、x 轴上的截距为 a2 1ln 2.26高考随堂演练适考素能特训热点考向探究主干知识整合大二轮 数学 文由题意得，a2 1ln 22 1ln 2，解得 a22.所以 da2a11.从而 ann，bn2n.所以 Tn12 222 323n12n1 n2n，2Tn1122 322 n2n1.27高考随堂演练适考素能特训热点考向探究主干知识整合大二轮 数学 文因此，2TnTn112 122 12n1 n2n2 12n1 n2n2n1n22n.所以，Tn2n1n22n.28高考随堂演练适考素能特训热点考向探究主干知识整合大二轮 数学 文题型 2 数列与不等式的综合典例 5 2016广州模拟(利用单调性
12、证明不等式)设Sn 为数列an的前 n 项和，已知 a12，对任意 nN*，都有 2Sn(n1)an.(1)求数列an的通项公式；(2)若数列4anan2 的前 n 项和为 Tn，求证：12Tn0，所以 1 1n11.31高考随堂演练适考素能特训热点考向探究主干知识整合大二轮 数学 文因为 f(n)1n1在 N*上是递减函数，所以 1 1n1在 N*上是递增的，所以当 n1 时，Tn 取最小值12.所以12Tn1.32高考随堂演练适考素能特训热点考向探究主干知识整合大二轮 数学 文典例 6 2014全国卷(利用放缩法证明不等式)已知数列an满足 a11，an13an1.(1)证明an12 是等
13、比数列，并求an的通项公式；(2)证明 1a1 1a2 1an32.证明(1)由 an13an1 得 an1123an12.又 a11232，所以an12 是首项为32，公比为 3 的等比数列an123n2，因此an的通项公式为 an3n12.33高考随堂演练适考素能特训热点考向探究主干知识整合大二轮 数学 文(2)由(1)知 1an23n1.因为当 n1 时，3n123n1，所以13n1123n1.于是 1a1 1a2 1an113 13n1321 13n 32.所以 1a1 1a2 1an0)，因此，历年所交纳的储备金数目 a1，a2，是一个公差为 d 的等差数列与此同时，国家给予优惠的计
14、息政策，不仅采用固定利率，而且计算复利这就是说，如果固定年利率为 r(r0)，那么，在第 n 年末，第一年所交纳的储备金就变为 a1(1r)n1，第二年所交纳的储备金就变为 a2(1r)n2，以 Tn 表示到第 n 年末所累计的储备金总额44高考随堂演练适考素能特训热点考向探究主干知识整合大二轮 数学 文(1)写出 Tn 与 Tn1(n2)的递推关系式；(2)求证：TnAnBn，其中An是一个等比数列，Bn是一个等差数列解(1)由题意知：n2 时，TnTn1(1r)an，其中ana1(n1)d，TnTn1(1r)a1(n1)d，n2.(2)证明：Tna1(1r)n1a2(1r)n2an1(1r
15、)an，(1r)Tna1(1r)na2(1r)n1an2(1r)3an1(1r)2an(1r)，45高考随堂演练适考素能特训热点考向探究主干知识整合大二轮 数学 文得 rTna1(1r)nd(1r)n1(1r)n2(1r)ana1(1r)nd1r11rn111ra1(n1)da1dr(1r)na1dr dn，Tna1rdr2(1r)na1rdr2drn.令 Ana1rdr2(1r)n，Bna1rdr2drn，46高考随堂演练适考素能特训热点考向探究主干知识整合大二轮 数学 文则An1An 1r(定值)，Bn1Bndr(定值)，即 TnAnBn，其中An是一个等比数列，Bn是一个等差数列47高考
16、随堂演练适考素能特训热点考向探究主干知识整合大二轮 数学 文高考随堂演练48高考随堂演练适考素能特训热点考向探究主干知识整合大二轮 数学 文全国卷高考真题调研12015全国卷设 Sn 是数列an的前 n 项和，且 a11，an1SnSn1，则 Sn_.1n解析 an1Sn1Sn，Sn1SnSn1Sn，又由 a11，知 Sn0，1Sn 1Sn11，1Sn 是等差数列，且公差为1，而 1S1 1a11，1Sn1(n1)(1)n，Sn1n.49高考随堂演练适考素能特训热点考向探究主干知识整合大二轮 数学 文22016全国卷Sn 为等差数列an的前 n 项和，且a11，S728.记 bnlg an，其
17、中x表示不超过 x 的最大整数，如0.90，lg 991.(1)求 b1，b11，b101；(2)求数列bn的前 1000 项和解(1)设an的公差为 d，据已知有 721d28，解得 d1.所以an的通项公式为 ann.b1lg 10，b11lg 111，b101lg 1012.50高考随堂演练适考素能特训热点考向探究主干知识整合大二轮 数学 文(2)因为 bn0，1n10，1，10n100，2，100n1.a2a38，a1a48.又a1a49，a11，a48，q2.前 n 项和为112n122n1.53高考随堂演练适考素能特训热点考向探究主干知识整合大二轮 数学 文52015广东高考数列a
18、n满足：a12a2nan4n22n1，nN*.(1)求 a3 的值；(2)求数列an的前 n 项和 Tn；(3)令 b1a1，bnTn1n 112131n an(n2)，证明：数列bn的前 n 项和 Sn 满足 Sn22ln n.54高考随堂演练适考素能特训热点考向探究主干知识整合大二轮 数学 文解(1)由题意，知 3a3(a12a23a3)(a12a2)432231 422221 34，a314.(2)由条件知，nan(a12a2nan)a12a2(n1)an14n22n1 4n12n2(n2)，nan n2n1，an 12n1.55高考随堂演练适考素能特训热点考向探究主干知识整合大二轮 数
19、学 文又 a14 3201 时也符合此式，an 12n1(nN*)Tn11212n11112n1122 12n1.56高考随堂演练适考素能特训热点考向探究主干知识整合大二轮 数学 文(3)证明：依题意，得bna1a2an1n1121n an，b1a1，b2a12 112 a2，b3a1a2311213 a3，Snb1b2bn1121n(a1a2an)57高考随堂演练适考素能特训热点考向探究主干知识整合大二轮 数学 文1121n Tn1121n 2 12n1 1)，则 f(x)1x1x2x1x2 0，f(x)在(1，)上是增函数又 f(1)0，即 f(x)0，又 k2 且 kN*时，kk11，58高考随堂演练适考素能特训热点考向探究主干知识整合大二轮 数学 文fkk1 ln kk1 1kk110，即 ln kk11k，12ln21，13ln32，1nln nn1，即有12131nln21ln32ln nn1ln n，2112131n 22ln n，即 Sn 22ln n.59高考随堂演练适考素能特训热点考向探究主干知识整合大二轮 数学 文适考素能特训