1、第七章 直线与圆的方程 第 讲（第一课时）考点搜索圆的标准方程，一般方程和参数方程，及其相互转化由圆的方程确定圆的位置和大小高考猜想1.在相关条件下求圆的方程.2.解与圆有关的求值问题和定值问题.3.以圆为背景求变量的取值范围或最值.1.平面内与定点的距离_的点的轨迹是圆.2.以点(a，b)为圆心，r为半径的圆的标准方程是_.3.圆的一般式方程是_;其中D2+E2-4F_;圆心的坐标是_;圆的半径为_.等于定长(x-a)2+(y-b)2=r2x2+y2+Dx+Ey+F=00(-,-)22DE221-42DEF4.以点(a，b)为圆心，r为半径的圆的参数方程是_(为参数).cossinxaryb
2、r1.方程x2+y2-2(t+3)x+2(1-4t2)y+16t4+9=0(tR)表示圆，则t的取值范围是()解:由D2+E2-4F0,得7t2-6t-10,即-t1.11.-1 .-1721.-1 .127AtBtCtDt C172.点P(5a+1，12a)在圆(x-1)2+y2=1的内部，则a的取值范围是()解：点P在圆(x-1)2+y2=1(5a+1-1)2+(12a)21|a|.1.|1 .1311.|.|513AaB aCaDa113D3.已知圆心在x轴上，半径为的圆O位于y轴左侧，且与直线x+y=0相切，则圆O的方程是(x+2)2+y2=2.|0|12 12a 2解法：设圆心为(a
3、,0)(a0)，则r=，解得a=-2.1.已知一个圆的圆心为A(2，1)，且与圆x2+y2-3x=0相交于P1、P2两点.若点A到直线P1P2的距离为5，求这个圆的方程.解法1：设圆的方程为(x-2)2+(y-1)2=r2，即x2+y2-4x-2y+5-r2=0.题型1 求圆的方程所以直线P1P2的方程为x+2y-5+r2=0.由已知得所以r2=6.故所求圆的方程是(x-2)2+(y-1)2=6.解法2：已知圆的圆心为点B(，0)，半径为，所以|AB|=.连结AB延长交P1P2于C,则ACP1P2.2|2 2 1-5|5,5r 323252所以|AC|=，从而|BC|=又|P1B|=，所以在R
4、tP1CA中,|P1A|2=|P1C|2+|AC|2=6，故所求圆的方程是(x-2)2+(y-1)2=6.点评：求圆的方程一般是利用待定系数法求解，即设圆的方程的标准式(或一般式).如本题圆心坐标已知，则先设圆的标准式，然后求得半径r即可.5.2322211|-|1.PCPBBC5根据下列条件，求圆的方程.(1)经过A(6，5)，B(0，1)两点，并且圆心在直线3x+10y+9=0上；(2)经过P(-2，4)，Q(3，-1)两点，并且在x轴上截得的弦长为6.解:(1)由题意AB的中垂线方程为3x+2y-15=0.由解得所以圆心为C(7，-3)，半径r=CA=,故所求圆的方程为(x-7)2+(y
5、+3)2=65.32-150,31090 xyxy 7.-3xy65(2)设圆的一般方程为x2+y2+Dx+Ey+F=0.将P、Q两点坐标代入得.令y=0,得x2+Dx+F=0.由弦长|x1-x2|=6,得D2-4F=36.解可得D=-2，E=-4，F=-8或D=-6，E=-8，F=0,故所求圆的方程为x2+y2-2x-4y-8=0或x2+y2-6x-8y=0.2-4-203-10DE FD EF2.已知圆x2+y2+x-6y+m=0和直线x+2y-3=0交于P，Q两点，且OPOQ(O为坐标原点)，求该圆的圆心坐标及半径.解法1:将x=3-2y,代入方程x2+y2+x-6y+m=0得5y2-2
6、0y+12+m=0.设P(x1,y1),Q(x2,y2),则y1、y2满足条件：y1+y2=4,y1y2=因为OPOQ,所以x1x2+y1y2=0.而x1=3-2y1,x2=3-2y2，所以x1x2=9-6(y1+y2)+4y1y2.题型2 与圆有关的求值问题所以9-6(y1+y2)+5y1y2=0，即9-64+12+m=0,所以m=3,此时0,圆心坐标为(-,3),半径为.解法2：如图所示，设弦PQ中点为M，因为O1MPQ，所以kO1M=2.所以O1M的方程为y-3=2(x+),即y=2x+4.125212由方程组解得M的坐标为(-1，2).则以PQ为直径的圆可设为(x+1)2+(y-2)2
7、=r2.因为OPOQ,所以点O在以PQ为直径的圆上.所以(0+1)2+(0-2)2=r2，即r2=5,MQ2=r2.在RtO1MQ中，O1Q2=O1M2+MQ2.所以所以m=3,所以半径为,圆心为(-,3).24,2-30yxxy 22211(-6)-4(-1)(3-2)5,24m5212点评：求参数的值的问题，就是转化题中条件得到参数的方程(组)，然后解方程(组)即可.注意有时还需对方程的解进行检验.已知曲线C1：(t为参数),C2：(为参数).(1)化C1，C2的方程为普通方程，并说明它们分别表示什么曲线；(2)若C1上的点P对应的参数为t=，Q为C2上的动点，求PQ中点M到直线C3:(t
8、为参数)距离的最小值.解：(1)C1:(x+4)2+(y-3)2=1,C2:-4cos3sin xtyt8cos3sin xy 232-2 xtyt 221.649xyC1是圆心为(-4,3)，半径为1的圆.C2是中心在坐标原点，焦点在x轴上，长半轴长为8，短半轴长为3的椭圆.(2)当t=时，P(-4,4)、Q(8cos,3sin),所以M(-2+4cos,2+sin).C3为直线x-2y-7=0,所以M到C3的距离d=|4cos-3sin-13|.从而当cos=,sin=-时，d取得最小值.2325545358 551.由标准方程和一般方程看出圆的方程都含有三个参变数，因此必须具备三个独立条件，才能确定一个圆.求圆的方程时，若能根据已知条件找出圆心和半径，则可用直接法写出圆的标准方程，否则可用待定系数法求解.2.解答圆的问题，应注意数形结合，充分运用圆的几何性质，简化运算.3.若点A(x1,y1)、B(x2,y2)为圆的直径的两个端点,则这个圆的方程为(x-x1)(x-x2)+(y-y1)(y-y2)=0.