1、第二章 基本初等函数（）第二章 基本初等函数()2.1 指数函数2.1.1 指数与指数幂的运算学习目标 1.理解方根和根式的概念，掌握根式的性质，会进行简单的求 n 次方根的运算(重点、难点)2.理解整数指数幂和分数指数幂的意义，会进行根式与分数指数幂之间的相互转化(重点)3.理解有理数指数幂的含义及其运算性质(重点)1n 次方根定义 一般地，如果 xna，那么 x 叫做 a 的 n 次方根，其中 n1，且 xN*a0 x0个数 n 是奇数 a0 x0 x 有两个值，且互为相反数，记为_ 个数n 是偶数a1，且 nN*)(n a)nan ana，n为奇数，|a|，n为偶数.3分数指数幂的意义正
2、分数指数幂规定：amnnam(a0，m，nN*，且 n1)负分数指数幂规定：amn 1amn 1n am(a0，m，nN*，且 n1)分数指数幂0 的分数指数幂0 的正分数指数幂等于 0，0 的负分数指数幂没有意义4.有理数指数幂的运算性质(1)arasars(a0，r，sQ)(2)(ar)sars(a0，r，sQ)(3)(ab)rarbr(a0，b0，rQ)5无理数指数幂一般地，无理数指数幂 a(a0，是无理数)是一个确定的实数有理数指数幂的运算性质同样适用于无理数指数幂1思考判断(正确的打“”，错误的打“”)(1)根式一定是无理式()(2)若(n5)n有意义，则整数 n 一定是奇数()(3
3、)（4）24.()(4)只要根式有意义，都能化成分数指数幂的形式()解析：(1)错，根式不一定是无理式，如3273，164.(2)对，当整数 n 为偶数时，(n5)n没有意义(3)对，（4）2|4|4.(4)对，根据根式与分数指数幂的概念知(4)正确 答案：(1)(2)(3)(4)2以下说法正确的是()A正数的 n 次方根是正数B负数的 n 次方根是负数C0 的 n 次方根是 0(其中 n1 且 nN*)D负数没有 n 次方根解析：对于 A，正数的偶次方根中有负数，所以 A错误；对于 B，负数的奇次方根是负数，偶次方根不存在，所以 B 错误；对于 C，当 n1 且 nN*时，0 的 n 次方根
4、是 0，所以 C 正确；对于 D，n 为奇数时，负数的奇次方根是负数；所以 D 错误答案：C3在 4（4）2n，4（4）2n1，5 a4，4 a5(nN，aR)各式中，一定有意义的是()A B C D解析：(4)2n0，故有意义；(4)2n10，故无意义；显然有意义；当 a0 时，a50，此时4 a5无意义，故不一定有意义答案：B4化简x3x的结果为()A xB.xC xD.x解析：要使式子有意义，只需x30，即 x0，所以x3xxxxx.答案：A5已知 10a212，10b3 32，则 102a34b_解析：102a34b(10a)2(10b)34(212)2(3213)3421254214
5、.答案：214类型 1 根式的化简与求值(自主研析)典例 1 化简下列各式：(1)5 324（3）4_(2)8（x3）8_自主研析(1)原式5（2）5|3|235.(2)8（x3）8|x3|，当 x3 时，原式x3；当 x3 时，原式3x.所以8（x3）8x3，x3，3x，x3.答案：(1)5(2)x3，x3，3x，x0)；6 y2y13(y0)；x133 x(x0)；a aa34(a0)解析：对于，xx12，故错误；对于，当 y0，y130)，故正确；对于，x13 13 x(x0)，故错误；对于，a aaa12a32a34(a0)故正确 答案：归纳升华1在解决根式与分数指数幂互化的问题时，关
6、键是熟记根式与分数指数幂的转化式子：amnn am和 amn1amn 1n am，其中字母 a 要使式子有意义 2当根式为多重根式时，要清楚哪个是被开方数，一般由里向外用分数指数幂依次写出变式训练(1)用根式表示下列各式(其中，a0)：a15，a34，a23；(2)用分数指数幂表示下列各式(其中，a0)：3 a5，3 a6，1a3.解：(1)a155 a，a344 a3，a23 1a23 13 a2.(2)3 a5a53，3 a6a63a2，1a3 1a32a32.类型 3 利用分数指数幂的运算性质化简与求值典例 计算(或化简)下列各式：(1)(0.064)13780(2)343160.75|
7、0.01|12；(2)aba12b12ab2a12b12a12b12；(3)14216 6133 23 24 623.解：(1)原式(0.4)3131(2)423(0.1)212(0.4)11 116180.114380.(2)原式（a12b12）（a12b12）a12b12（a12b12）2a12b12a12b12(a12b12)0.(3)原式(22)2(632)13(312212)24186322461252612361221.归纳升华1基本原则：式子里既有分数指数幂又有根式时，一般把根式统一化为分数指数幂的形式，再用有理指数幂的运算性质化简 2常规方法：化负指数幂为正指数幂；化根式为分数
8、指数幂；化小数为分数进行运算 变 式 训 练 (1)若 a0，b0，化 简(3a13b34)12a12b14(6a16b12)_(2)计算：2790.50.1 221027233203748_解析：(1)原式32(6)a13(12)16b34141236ab.(2)原式259121026427233374853100 91633748100.答案：(1)36ab(2)100类型 4 含附加条件的幂的求值问题(规范解答)典例 4(本小题满分 12 分)已知 xy12，xy9，且 xy，求x12y12x12y12的值审题指导：先求(x12y12)2 和(x12y12)2 的值，再开方求出 x12y
9、12和 x12y12的值 规范解答(x12y12)2xy2 xy6(3 分)失分警示：此处的“平方”能够将需求值式与已知条件联系起来，想不到这一点，这题则不易求解 因为 xy，所以 x12y12 6(5 分)失分警示：此处的“开方”易出现符号的选择错误(x12y12)2xy2 xy18，(8 分)所以 x12y123 2.(10 分)所以x12y12x12y1263 2 33.(12 分)归纳升华条件求值是代数式求值中的常见题型，一般要结合已知条件先化简再求值，另外要特别注意条件的应用，如条件中的隐含条件，整体代入等，可以简化解题过程常用的整体代入有(aa1)2a2a22，(aa1)(aa1)a2a2.变式训练 已知 a，b 是方程 x26x40 的两根，且 ab0，求a ba b的值解：因为 a，b 是方程 x26x40 的两根，所以ab6，ab4.因为 ab0，所以 a b.所以a ba b2ab2 abab2 ab62 462 4 21015，所以a ba b15 55.1掌握两个公式：(1)(na)na；(2)n 为奇数，nana，n 为偶数，nan|a|a（a0），a（a0）.2根式一般先转化为分数指数幂，然后利用有理指数幂的运算性质进行运算在将根式化为分数指数幂的过程中，一般采用由内到外或由外到内逐层变换的方法，然后运用运算性质准确求解