1、选修4-5不等式选讲练好题考点自测 1.改编题若a,b,cR,且满足|a-c|c;b+ca;a-cb;|a|+|b|c|.其中错误的个数为()A.1B.2C.3D.42.2019浙江,16,4分已知aR,函数f(x)=ax3-x.若存在tR,使得|f(t+2)-f(t)|23,则实数a的最大值是.3.2017 浙江,17,4分已知aR,函数f(x)=|x+4x-a|+a在区间1,4上的最大值是5,则a的取值范围是.4.2020全国卷,23,10分文已知函数f(x)=|x-a2|+|x-2a+1|.(1)当a=2时,求不等式f(x)4的解集;(2)若f(x)4,求a的取值范围.拓展变式1.202
2、0全国卷,23,10分文已知函数f(x)=|3x+1|-2|x-1|.(1)在图1中画出y=f(x)的图象;(2)求不等式f(x)f(x+1)的解集.图12.2018全国卷,23,10分文已知f(x)=|x+1|-|ax-1|.(1)当a=1时,求不等式f(x)1的解集;(2)若x(0,1)时不等式f(x)x成立,求a的取值范围.3.2019全国卷,23,10分文已知a,b,c为正数,且满足abc=1.证明:(1)1a+1b+1ca2+b2+c2; (2)(a+b)3+(b+c)3+(c+a)324.4.2021湖南模拟已知函数f(x)=|x+1|+2|x-a|.(1)当a=1时,求不等式f(
3、x)7的解集;(2)已知a-1,且f(x)的最小值等于3,求实数a的值.答 案选修4-5不等式选讲1.A由题意得,a-c-b,a-cc,b+ca,都正确,不正确.又|a-c|=|c-a|c|-|a|,|c|-|a|c|.正确.故选A.2.43f(t+2)-f(t)=a(t+2)3-(t+2)-(at3-t)=2a(3t2+6t+4)-2,因为存在tR,使得|f(t+2)-f(t)|23,所以-232a(3t2+6t+4)-223有解.因为3t2+6t+41,所以23(3t2+6t+4)a43(3t2+6t+4)有解,所以a43(3t2+6t+4)max=43,所以a的最大值为43.3.(-,9
4、2x1,4,x+4x4,5.分类讨论:当a5时,f(x)=a-x-4x+a=2a-x-4x,函数f(x)在区间1,4上的最大值为2a-4=5,a=92,舍去;当a4时,f(x)=x+4x-a+a=x+4x5,此时符合题意;当4a5时,f(x)max=max|4-a|+a,|5-a|+a,则|4-a|+a|5-a|+a,|4-a|+a=5或|4-a|+a|5-a|+a,|5-a|+a=5,解得a=92或a92.综上可得,实数a的取值范围是(-,92.4.(1)当a=2时,f(x)=7-2x,x3,1,34.因此,不等式f(x)4的解集为x|x32或x112.(2)因为f(x)=|x-a2|+|x
5、-2a+1|a2-2a+1|=(a-1)2,故当(a-1)24,即a3或a-1时,f(x)4.当-1a3时,f(a2)=|a2-2a+1|=(a-1)24.所以a的取值范围是(-,-13,+).1.(1)由题设知f(x)=-x-3,x-13,5x-1,-131.y=f(x)的图象如图D 1所示.图D 1(2)函数y=f(x)的图象向左平移1个单位长度后得到函数y=f(x+1)的图象,如图D 2所示.图D 2由-x-3=5(x+1)-1,解得x=-76,故函数y=f(x)的图象与函数y=f(x+1)的图象的交点坐标为(-76,-116).由图D 2可知当且仅当xf(x+1)的解集为(-,-76)
6、.2.(1)当a=1时,f(x)=|x+1|-|x-1|,即f(x)=-2,x-1,2x,-1x1的解集为(12,+).(2)当x(0,1)时|x+1|-|ax-1|x成立等价于当x(0,1)时|ax-1|0,|ax-1|1的解集为(0,2a),所以2a1,故0a2.综上,a的取值范围为(0,2.【易错警示】本题的易错点有三个:一是零点分区间时,不注意端点值能否取到,导致结果出错;二是不会转化,如本题,不懂得利用x(0,1),把含双绝对值的不等式恒成立问题转化为含单绝对值的不等式恒成立问题;三是混淆不等式恒成立问题与不等式有解问题,导致所求的结果出错.3.(1)因为a2+b22ab,b2+c2
7、2bc,c2+a22ac,且abc=1,故有a2+b2+c2ab+bc+ca=ab+bc+caabc=1a+1b+1c.所以1a+1b+1ca2+b2+c2,当且仅当a=b=c=1时“=”成立.(2)因为a,b,c为正数且abc=1,故有(a+b)3+(b+c)3+(c+a)333(a+b)3(b+c)3(a+c)3=3(a+b)(b+c)(a+c)32ab2bc2ac=24.当且仅当a=b=c时两等号同时成立,所以(a+b)3+(b+c)3+(c+a)324.【方法技巧】本题考查利用基本不等式证明不等式,对于本题第(1)问,证明的关键是利用“1”的代换.在利用基本不等式时需注意取等号的条件能否成立.4.(1)当a=1时,f(x)=|x+1|+2|x-1|.当x-1时,f(x)7即-3x+17,解得x-2,故-2x1时,f(x)7即3x-17,解得x83,故1-1,所以f(x)=-3x+2a-1(x-1),-x+2a+1(-1xa),3x-2a+1(xa),作出y=f(x)的大致图象,如图D 3所示.由y=f(x)的图象知,f(x)min=f(a)=a+1=3,解得a=2,所以实数a的值为2.图D 3