1、解题思维6高考中立体几何解答题的提分策略1.2021成都石室中学模拟,12分如图6-1,四边形ABCD与BDEF均为菱形,FA=FC,且DAB=DBF=60.(1)求证:AC平面BDEF.(2)若AB=2,求三棱锥A-EDC的体积.图6-12.探索创新,12分如图6-2,在三棱柱ABC-ABC中,已知点A在底面ABC内的射影是线段BC的中点D,BCAA.(1)证明:AB=AC.(2)若AB=BC=CC=2,E是棱CC上的动点(不包括端点).试问:三棱锥A-BBE的体积是否为定值?若是,求出该定值;若不是,请说明理由.图6-23.2021江西红色七校第一次联考,12分如图6-3(1),平行四边形
2、ABPC中,ABC和PBC均为边长为23的等边三角形,现沿BC将PBC折起,使PA=32,如图6-3(2).(1)求证:平面PBC平面ABC.(2)求点C到平面PAB的距离.(1)(2)图6-34.理性思维,12分如图6-4,已知直四棱柱ABCD-A1B1C1D1中,底面ABCD是正方形,AB=2,点P,Q,M分别是线段A1C1,AB,AD的中点,直线BD1与底面ABCD所成角的正切值为64.(1)证明:PQ平面BD1M.(2)求三棱锥P-MQC的表面积.图6-4答 案解题思维6高考中立体几何解答题的提分策略1.(1)如图D 6-1,设AC与BD相交于点O,连接FO,因为四边形ABCD为菱形,
3、所以ACBD,O为AC的中点.因为FA=FC,所以ACFO,因为FOBD=O,所以AC平面BDEF.(4分)(2)如图D 6-1,连接DF,因为四边形BDEF为菱形,且DBF=60,所以DBF为等边三角形,所以FOBD,又ACFO,ACBD=O,所以FO平面ABCD,(6分)因为AB=AD=2,DAB=60,所以BD=2,所以F到平面ABCD的距离为FO=3.(8分)因为FEBD,BD平面ABCD,EF平面ABCD,所以EF平面ABCD,所以E到平面ABCD的距离等于F到平面ABCD的距离.(10分)SADC=1222sin23=3,所以VA-EDC=VE-ADC=13SADCFO=1.(12
4、分)图D 6-12.(1)如图D 6-2,连接AD,AD.BCAA,BCBC,BCAA.(1分)由题意可知AD平面ABC,BC平面ABC,BCAD.(2分)又AAAD=A,BC平面AAD,(3分)BCAD.(4分)又D是线段BC的中点,AB=AC.(5分)图D 6-2 (2)易得CE平面ABB,AB平面ABC.(6分)AB=BC=CC=2,且由(1)得AB=AC,ABC为正三角形,AD=3,则AD=AA2-AD2=1.(8分)连接BC,AC,AB,则VA-BBE=VE-ABB=VC-ABB=VB-ABC=VA-ABC=13SABCAD=1334221=33,(11分)三棱锥A-BBE的体积是定
5、值,且该定值是33.(12分)3.(1)如图D 6-3,取BC的中点O,连接OP,OA,ABC和PBC均为边长为23的等边三角形,AOBC,OPBC,且OA=OP=3,(2分)AP=32,OP2+OA2=AP2,OPOA.(4分)又OABC=O,OA平面ABC,BC平面ABC,OP平面ABC,(5分)又OP平面PBC,平面PBC平面ABC.(6分)图D 6-3(2)由(1)知,OP平面ABC,则三棱锥P-ABC的体积VP-ABC=13SABCPO,SABC=12232332=33.设点C到平面PAB的距离为h,则VC-PAB=13SPABh,由题意可知,在PAB中,AB=PB=23,AP=32
6、,边PA上的高为(23)2-(322)2=302,(8分)SPAB=1232302=3152.(10分)由VP-ABC=VC-PAB可得,13SABCPO=13SPABh,由(1)知,PO=3,3SABC=SPABh,h=3SABCSPAB=655,即点C到平面PAB的距离为655.(12分)4.(1)如图D 6-4,连接BD,B1D1,因为BB1DD1,BB1=DD1,所以四边形BB1D1D是平行四边形,所以BDB1D1,BD=B1D1.(1分)根据点Q,M分别是线段AB,AD的中点,得MQBD,MQ=12BD,(2分)所以MQB1D1,MQ=12B1D1.(3分)易知点P是线段B1D1的中
7、点,所以MQPD1,MQ=PD1,所以四边形MQPD1是平行四边形,PQMD1,(4分)又PQ平面BD1M,MD1平面BD1M,所以PQ平面BD1M.(5分)图D 6-4(2)由四边形ABCD是正方形,AB=2,得BD=22.根据DD1平面ABCD,得D1BD是直线BD1与底面ABCD所成的角,(6分)则tanD1BD=DD1BD=DD122=64,DD1=3.(7分)在MQC中,MQ=2,QC=MC=5,所以SMQC=1225-12=32.(8分)如图D 6-4,取BD的中点O,连接PO,则PO平面ABCD,PO=3,连接OQ,OM,OC,则OQ=OM=1,OC=2,所以PM=PQ=1+3=2,PC=2+3=5,所以SPMQ=12222-(22)2=72,(10分)SPQC=SPMC=122(5)2-1=2.(11分)因此三棱锥P-MQC的表面积S=SMQC+SPMQ+SPQC+SPMC=32+72+2+2=11+72.(12分)