1、第三章 函数的应用 3.1 函数与方程3.1.2 用二分法求方程的近似解学习目标 1.通过具体实例理解二分法的概念及其适用条件，了解二分法是求方程近似解的常用方法(难点)2.会用二分法求一个函数在给定区间内的零点近似值，从而求得方程的近似解(重点)1二分法的定义(1)满足的条件：函数 yf(x)在区间a，b上连续不断且 f(a)f(b)0.(2)操作过程：通过不断地把函数 f(x)的零点所在的区间一分为二，使区间的两个端点逐步逼近零点，进而得到零点近似值这种求函数零点近似值的方法叫做二分法2二分法的步骤给定精确度，用二分法求函数 f(x)零点近似值的步骤如下：(1)验证：确定区间a，b，验证
2、f(a)f(b)0，给定精确度.(2)求中点：求区间(a，b)的中点 c.(3)计算 f(c)：若 f(c)0，则 c 就是函数的零点；若 f(a)f(c)0，则令 bc(此时零点)x0(a，c)；若 f(c)f(b)0，则令 ac(此时零点 x0(c，b)(4)判断：判断是否达到精确度：即若|ab|，则得到零点近似值 a(或 b)；否则重复 24.1思考判断(正确的打“”，错误的打“”)(1)用二分法可求所有函数的零点()(2)用二分法求方程的近似解时，可以精确到小数点后的任一位()(3)用二分法求函数的零点近似值的方法仅对函数的变号零点适用()(4)用二分法求方程的近似解，实质上就是通过“
3、取中点”的方法，运用“逼近”思想逐步缩小零点所在的区间()解析：(1)错，如不能用二分法求函数 f(x)x2的零点 由二分法的概念知(2)、(3)、(4)正确 答案：(1)(2)(3)(4)2下列函数中，不能用二分法求零点的是()解析：观察图象与 x 轴的交点，若交点附近的函数图象连续，且在交点两侧的函数值符号相异，则可用二分法求零点，故 B 不能用二分法求零点答案：B3若函数 f(x)x3x22x2 的一个正数零点附近的函数值用二分法计算，其参考数据如下：f(1)2f(1.5)0.625f(1.25)0.984f(1.375)0.260f(1.437 5)0.162f(1.406 25)0.
4、054那么方程 x3x22x20 的一个近似解(精确度为0.1)为()A1.2 B1.3 C1.4 D1.5解析：根据题意知函数的零点在 1.406 25 至 1.437 5之间，且|1.406 251.437 5|0.031 250.1，取其中点作为函数零点符合精确度要求，所以 1.4 是方程的一个近似解，故选 C.答案：C4已知方程 f(x)0 的根所在区间为0，1，则用二分法求方程的近似解时，需计算的值为()Af(0)Bf(1)Cf(0.5)Df(0.25)解析：因为012 0.5，所以需计算 f(0.5)答案：C5用二分法求函数 yf(x)在区间2，4上的近似零点(精确度为 0.01)
5、，验证 f(2)f(4)0，取区间2，4的中点x1242 3，计算得 f(2)f(x1)0，则此时零点 x0 所在的区间是_解析：因为 f(2)f(4)0，f(2)f(3)0，所以 x0(2，3)答案：(2，3)类型 1 二分法的概念(自主研析)典例 1(1)下列图象与 x 轴均有交点，其中不能用二分法求函数零点的是()(2)用二分法求方程 f(x)0 在(1，2)内近似解的过程中得到 f(1)0，f(1.25)0，则方程的根所在的区间为()A(1.25，1.5)B(1，1.25)C(1.5，2)D不能确定解析：(1)由图象可知，选项 B 中的函数的零点左右两侧的函数值都为负值，不能用二分法求
6、零点(2)因为 f(1)0，f(1.25)0，所以 f(1)f(1.25)0，f(1.25)f(1.5)0，用二分法求方程 x32x50 在区间(2，3)内的实根，取区间中点为 x02.5，那么下一个有根的区间是_解析：因为 f(2)2322510，f(3)33235160，所以 f(2)f(2.5)0，用计算器计算，列表如下：取值区间中点值中点函数近似值区间长度(0，1)0.50.008 11(0.5，1)0.750.280 50.5(0.5，0.75)0.6250.147 50.25(0.5，0.625)0.562 50.073 00.125由于区间(0.5，0.625)的长度为 0.12
7、50.2，此时该区间中点 0.562 5与真正零点的误差不超过 0.1，所以函数 f(x)的零点近似值为 0.562 5，即方程 lg x12x1 的近似解为 x0.562 5.归纳升华利用二分法求方程的近似解的步骤(1)构造函数，利用图象确定方程的解所在的大致区间，通常取区间(n，n1)，nZ.(2)利用二分法求出满足精确度的方程的解所在的区间 M.(3)区间 M 内的任一实数均是方程的近似解，通常取区间 M 的一个端点变式训练 某同学在借助计算器求“方程 lg x2x 的近似解(精度为 0.1)”时，设 f(x)lg xx2，算得 f(1)0.在以下过程中，使用“二分法”又取了4 个 x
8、的值，计算了其函数值的正负，并得出判断：方程的近似解为 x2.8，那么他所取的 x 的 4 个值中最后一个值是_解析：已知 f(1)0，经计算 f32 0，f74 0，所以四个值中的最后一个值为74158229161.812 5.答案：1.812 5类型 3 对精确度的理解不准确致误(误区警示)典例 3 用二分法求函数 f(x)3xx4 的一个零点，其参考数据如下：f(1.600 0)0.200f(1.587 5)0.133f(1.575 0)0.067f(1.562 5)0.003f(1.556 25)0.029f(1.550 0)0.060据此数据，可得 f(x)3xx4 的一个零点的近似
9、值(精确度 0.01)为_解析：由参考数据知 f(1.562 5)0.0030，f(1.556 25)0.0290，即 f(1.562 5)f(1.556 25)0，且 1.562 51.556 250.006 250.01，所以函数 f(x)3xx4 的一个零点的近似值可取为 1.562 5(也可以取 1.556 25)答案：1.562 5(答案不唯一)易错警示：解答本题时，极易由于忽视精确度而致错 防范措施：利用二分法求方程的根，要注意在计算到第几步时，区间(an，bn)的长度才小于精确度变式训练 用二分法求函数 f(x)x3x1 在区间1，1.5内的一个零点(精确度为 0.01)解：经计
10、算，f(1)0，f(1.5)0，所以函数在1，1.5内存在零点 x0.取区间(1，1.5)的中点 x11.25，经计算 f(1.25)0，因为 f(1.25)f(1.5)0，所以 x0(1.25，1.5)如此继续下去，得到函数的一个零点所在的区间，如下表(a，b)(a，b)的中点 中点函数值符号(1，1.5)1.25f(1.25)0(1.25，1.5)1.375f(1.375)0(1.25，1.375)1.312 5f(1.312 5)0(1.312 5，1.375)1.343 75f(1.343 75)0(1.312 5，1.343 75)1.328 125f(1.328 125)0(1.312 5，1.328 125)1.320 312 5f(1.320 312 5)0因为|1.328 1251.320 312 5|0.007 812 50.01，所以函数 f(x)x3x1 的一个精确度为 0.01 的近似零点可取为 1.328 125.1二分法就是通过不断地将所选区间一分为二，使区间的两个端点逐步逼近零点，直至找到零点附近足够小的区间，根据所要求的精确度，用此区间的某个数值近似地表示真正的零点2并非所有函数都可以用二分法求其零点，只有满足：(1)在区间a，b上连续不断；(2)f(a)f(b)0.上述两条的函数，方可采用二分法求得零点的近似值.