1、第一章 集合与函数概念 1.2.2 函数的表示法第 1 课时 函数的表示法学习目标 1.掌握函数的三种表示方法：解析法、图象法、列表法(重点)2.会求函数解析式，并正确画出函数的图象(重点)3.会根据不同的需要选择恰当方法表示函数(难点)函数的三种表示方法表示法定 义解析法用数学表达式表示两个变量之间的对应关系图象法用图象表示两个变量之间的对应关系列表法通过表格来表示两个变量之间的对应关系 温馨提示(1)不是所有的函数都能用解析法表示；(2)函数的三种表示法各有优缺点，在使用时要根据具体情况合理选用 1思考判断(正确的打“”，错误的打“”)(1)任何一个函数都可以用解析法、列表法、图象法三种形
2、式表示()(2)函数 f(x)2x(xZ)的图象是直线()(3)根据函数的解析式就可以画出函数的图象()解析：(1)错，不一定如：函数的对应关系是：当 x为有理数时，函数值等于 1，当 x 为无理数时，函数值等于 0.此函数就无法用图象法表示(2)错，函数f(x)2x(xZ)是图象是直线y2x(xR)上的离散的点(3)对，利用列表、描点、连线这三个步骤就可以做出函数的图象 答案：(1)(2)(3)2已知函数 f(x)由下表给出，则 f(3)等于()11x222x4f(x)123A.1 B2 C3 D不存在解析：因为 3(2，4，所以 f(3)3.答案：C3某学生从家去学校，由于怕迟到，所以一开
3、始跑步，等跑累了，再走余下的路，如图中 y 表示该学生与学校的距离，x 表示出发后的时间，则符合题意的图象是()解析：由题意，知该学生离学校越来越近，故排除选项 A，C；又由于开始跑步，后来步行，体现在图象上是先“陡”，后“缓”，故选 D.答案：D4已知 f(x1)(x1)2，则 f(x)的解析式为_解析：由 f(x1)(x1)2，得 f(x)x2.答案：f(x)x2.5如图，函数 f(x)的图象是曲线 OAB，其中点 O，A，B 的坐标分别为(0，0)，(1，2)，(3，1)，则 f1f（3）的值等于_解析：因为 f(3)1，1f（3）1，所以 f1f（3）f(1)2.答案：2类型 1 函数
4、的表示方法(自主研析)典例 1 某商场新进了 10 台彩电，每台售价 3 000元，试分别用列表法、图象法、解析法表示售出台数x(x1，2，3，4，5，6，7，8，9，10)与收款总额 y(元)之间的函数关系自主研析 解：用列表法表示如下：x/台12345y/元3 0006 0009 00012 00015 000 x/台678910y/元18 00021 00024 00027 00030 000用图象法表示，如图所示 用解析法表示为 y3 000 x，x1，2，3，10归纳升华函数的三种表示法(1)列表法、图象法、解析法均是函数的表示方法，无论用哪种方式表示函数，都必须满足函数的概念(2)
5、判断所给图象、表格、解析式是否表示函数的关键在于是否满足函数的定义(3)函数的三种表示方法互相兼容或补充，许多函数是可以用三种方法表示的，但在实际操作中，仍以解析法为主 变式训练 某班连续进行了 5 次数学测试，其中智方同学的成绩如表所示，在这个函数中，定义域是_，值域是_次数12345分数8588938695解析：本题实际上是由列表法给出函数，由表格可知函数定义域是1，2，3，4，5，值域是85，88，93，86，95 答案：1，2，3，4，5 85，88，93，86，95类型 2 作函数的图象典例 2(1)函数 y|x|x x 的图象是()(2)作函数 yx22x2(0 x3)的图象并求其
6、值域(1)解析：函数的定义域为x|x0，可排除 C，当 x1 时，y2，可排除 B，当 x1 时，y2，可排除A.答案：D(2)解：yx22x2 是二次函数，所要作图的函数的定义域为x|0 x3，所以，该图象为抛物线的一部分先画出 yx22x2 的图象，再截取需要的部分，如图所示.由图可知，函数的最小值在顶点处取得，此时 x1，最大值在 x3 处取得，当 x1 时，y3；当 x3 时，y1.所以函数的值域为3，1归纳升华 作函数图象的三个步骤1列表，找出一些有代表性的自变量 x 的值，并计算出与这些自变量相对应的函数值 f(x)，列成表格 2描点，把表中一系列的点(x，f(x)在坐标平面上描出
7、来 3连线，用光滑的曲线把这些点按自变量由小到大的顺序连接起来变式训练 作出下列函数的图象：(1)y1x；(2)y1x(xZ)；(3)yx24x3，x1，3解：(1)y1x为反比例函数，其图象如图所示(2)因为 xZ，所以图象为直线 y1x 上的孤立点，其图象如图所示(3)yx24x3(x2)21，当 x1，3 时，y0；当 x2 时，y1，其图象如图所示.类型 3 函数解析式求法(互动探究)典例 3(1)已知 f(x)是一次函数，且 f(f(x)4x3，则 f(x)的解析式为()Af(x)2x3Bf(x)2x1Cf(x)2x3Df(x)2x3 或 f(x)2x1(2)已知 f(x)是二次函数
8、，且满足 f(0)1，f(x1)f(x)2x，求 f(x)的解析式(1)解析：设 f(x)axb，则 f(f(x)f(axb)a(axb)ba2xabb4x3，所以 a24 且 abb3，解得 a2，b3 或 a2，b1.故所求的函数为 f(x)2x3 或 f(x)2x1.答案：D(2)解：设 f(x)ax2bxc(a0)，因为 f(0)1，所以 c1.又因为 f(x1)f(x)2x，所以 a(x1)2b(x1)1(ax2bx1)2x.整理得：2ax(ab)2x.由恒等式性质知上式中对应项系数相等 所以2a2，ab0，解得 a1，b1，所以 f(x)x2x1.典例 4 求满足下列条件的函数解析
9、式：(1)函数 f(x1)x2 x1；(2)函数 f(x)满足 2f(x)f1x 3x.解：(1)(换元法)：令 t x1，则 x(t1)2.由于 x0，所以 t1.代入原式有 f(t)(t1)22(t1)1t2，所以 f(x)x2(x1)(2)因为 2f(x)f1x 3x，所以将 x 用1x替换，得 2f1x f(x)3x，联立得2f（x）f1x 3x，2f1x f（x）3x，解得 f(x)2x1x(x0)，即 f(x)的解析式是 f(x)2x1x(x0)迁移探究 1(变换条件)若将典例 4 第(1)题中条件“f(x1)x2 x1”变为“f1x1 1x21”，则 f(x)的解析式是什么？解(
10、配凑法)：f1x1 1x1 221x1，所以 f(x)x22x.因为1x0，所以1x11，所以 f(x)x22x(x1)迁移探究 2(变换条件)若将典例 4 第(2)题中条件“2f(x)f1x 3x”变为“f(x)2f(x)9x2”，则f(x)的解析式是什么？解：由条件知，f(x)2f(x)9x2，则f（x）2f（x）9x2，f（x）2f（x）9x2，解得 f(x)3x2.归纳升华 求函数解析式的几种常用方法1待定系数法：当已知函数类型时，常用待定系数法 2换元法：已知 yf(g(x)的解析式，求 yf(x)的解析式，可用换元法，即令 g(x)t，反解出 x，然后代入 yf(g(x)中求出 f
11、(t)，即得 f(x)3构造方程法：当同一个对应关系中的两个自变量之间有互为相反或者互为倒数关系时，构造方程组求解1函数三种表示方法的优缺点表示方法优点缺点解析法一是简明、全面概括了变量间的关系；二是利用解析式可求任一函数值不够形象、直观，而且并不是所有函数都有解析式图象法能形象、直观地表示函数的变化情况只能近似求出每一自变量所对应的函数值，而且有时误差较大列表法不需计算可以直接看出与自变量对应的函数值仅能表示自变量取较少的值时的对应关系2.描点法画函数图象的步骤步骤：求函数定义域化简解析式列表描点连线作图时要注意图象是实线或实点，定义域外的部分有时可用虚线来衬托整个图象3求函数解析式常用的方法常用方法有：待定系数法、换元法、配凑法等利用换元法要注意“新元”的范围