1、第八章立体几何第二讲空间点、直线、平面之间的位置关系练好题考点自测 1.下列说法正确的是()A.梯形一定是平面图形B.过三点确定一个平面C.三条直线两两相交确定一个平面D.若两个平面有三个公共点,则这两个平面重合2.广东高考,5分文若直线l1和l2是异面直线,l1在平面内,l2在平面内,l是平面与平面的交线,则下列命题正确的是()A.l与l1,l2都不相交B.l与l1,l2都相交C.l至多与l1,l2中的一条相交D.l至少与l1,l2中的一条相交3.若AOB=A1O1B1,且OAO1A1,OA与O1A1的方向相同,则下列结论中正确的是()A.OBO1B1且OB与O1B1的方向相同B.OBO1B
2、1C.OB与O1B1不平行D.OB与O1B1不一定平行4.2017全国卷,6,5分文如图,在下列四个正方体中,A,B为正方体的两个顶点,M,N,Q为所在棱的中点,则在这四个正方体中,直线AB与平面MNQ不平行的是()A B C D5.2020长春市第四次质量监测已知正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为2,点N是棱CC1的中点,则异面直线AN与BC所成角的余弦值为.6.2016全国卷,14,5分,是两个平面,m,n是两条直线,有下列四个命题:如果mn,m,n,那么.如果m,n,那么mn.如果,m,那么m.如果mn,那么m与所成的角和n与所成的角相等.其中正确的命题有.(填写所有正确命题的编号
3、)拓展变式1.2018全国卷,9,5分文正方体ABCD-A1B1C1D1中,E为棱CC1的中点,则异面直线AE与CD所成角的正切值为()A.22B.32C.52D.722.2021湖南四校联考如图8-2-8所示,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,N为底面ABCD的中心,P为线段A1D1上的动点(不包括两个端点),M为线段AP的中点,则下列结论错误的是()A.CM与PN是异面直线B.CMPNC.平面PAN平面BDD1B1D.过P,A,C三点的正方体的截面一定是等腰梯形图8-2-8答 案第八章立体几何第二讲空间点、直线、平面之间的位置关系1.A对于A,因为两条平行直线确定一个平面,所以梯形可以
4、确定一个平面,A正确;对于B,过不在同一条直线上的三点有且只有一个平面,注意三点不共线,B错误;对于C,三条直线两两相交,可以确定一个平面或三个平面,C错误;对于D,若两个平面有三个公共点,则这两个平面相交或重合,D错误.故选A.2.D假设l与l1,l2都不相交,因为l与l1都在平面内,于是ll1,同理ll2,于是l1l2,与已知矛盾,故l至少与l1,l2中的一条相交.故选D.3.D在空间中,若两角相等,角的一边平行且方向相同,则另一边不一定平行,故选D.4.A解法一对于选项B,如图D 8-2-1所示,C,D为正方体的两个顶点,连接CD,因为ABCD,M,Q分别是所在棱的中点,所以MQCD,所
5、以ABMQ,又AB平面MNQ,MQ平面MNQ,所以AB平面MNQ.同理可证选项C,D中均有AB平面MNQ.选A.图D 8-2-1解法二对于选项A,作出正方体的底面的对角线,记对角线的交点为O(如图D 8-2-2所示),连接OQ,则OQAB,因为OQ与平面MNQ有交点,所以AB与平面MNQ有交点,即AB与平面MNQ不平行,故选A.5.23因为ADBC,所以DAN为异面直线AN与BC所成的角,连接AC,在RtNAC中,因为N为CC1的中点,所以CN=1.AN=AC2+CN2=(22)2+12=3,连接DN,在RtADN中,cosDAN=ADAN=23.图D 8-2-26.对于命题,可运用长方体举反
6、例证明其错误.如图D 8-2-3,不妨设AA所在直线为直线m,CD所在直线为直线n,ABCD所在的平面为,ABCD所在的平面为,显然这些直线和平面满足题目条件,但不成立.故错误.对于命题,设过直线n的某平面与平面相交于直线l,则ln,由m知ml,从而mn,故正确.对于命题,由平面与平面平行的性质可知,正确.对于命题,由平行的传递性及线面角的定义可知,正确.图D 8-2-31.C如图D 8-2-4,连接BE,因为ABCD,所以异面直线AE与CD所成的角等于相交直线AE与AB所成的角,即EAB.不妨设正方体的棱长为2,则CE=1,BC=2,由勾股定理得BE=5.又由AB平面BCC1B1可得ABBE
7、,所以tanEAB=BEAB=52.故选C.图D 8-2-42.A对于选项A,如图D 8-2-5,连接NC,PC.在PAC中,M为AP的中点,N为AC的中点,CN,PM交于点A,所以CM与PN共面,故A错误.对于选项B,因为P为线段A1D1上的动点(不包括两个端点),所以ACAP.在MAC中,CM2=AC2+AM2-2ACAMcosMAC=AC2+14AP2-ACAPcosMAC.在PAN中,PN2=AP2+AN2-2APANcosPAN=AP2+14AC2-APACcosPAN,则CM2-PN2=34(AC2-AP2)0,所以CMPN,故B正确.对于选项C,在正方体ABCD-A1B1C1D1
8、中,易知AC平面BDD1B1,即AN平面BDD1B1,又AN平面PAN,所以平面PAN平面BDD1B1,故C正确.对于选项D,连接A1C1,在平面A1B1C1D1内作PKA1C1,交C1D1于K,连接KC.在正方体中,A1C1AC,所以PKAC,PK,AC共面,所以四边形PKCA就是过P,A,C三点的正方体的截面,AA1=CC1,A1P=C1K,所以AP=CK,即梯形PKCA为等腰梯形.故D正确.故选A.图D 8-2-5【解题关键】对于选项B,在AMC和PAN中利用余弦定理,表示出CM2和PN2,两式作差,再由ACAP可比较CM和PN的大小;对于选项D,通过作平行线得到过点P,A,C的截面,再证明其为等腰梯形.