1、浙江省2014届理科数学专题复习试题选编15：函数的最值与导数一、选择题 （浙江省名校新高考研究联盟2013届高三第一次联考数学（理）试题）设函数,若有且仅有一个正实数,使得对任意的正数t都成立,则=（）A5BC3D【答案】D （浙江省杭州市2013届高三第二次教学质检检测数学（理）试题）若函数,则下列命题正确的是（）A对任意,都存在,使得 B对任意,都存在,使得 C对任意,方程只有一个实根 D对任意,方程总有两个实根【答案】B 二、填空题 （浙江省杭州二中2013届高三年级第五次月考理科数学试卷）若时,不等式恒成立,则的取值范围是_.【答案】 三、解答题 （浙江省嘉兴市2013届高三第二次模
2、拟考试理科数学试卷）已知,函数.()若,求函数的极值点;()若不等式恒成立,求的取值范围.(为自然对数的底数)【答案】解:()若,则,. 当时,单调递增; 当时,单调递减 又因为,所以 当时,;当时,; 当时,;当时, 故的极小值点为1和,极大值点为 ()不等式, 整理为.(*) 设, 则() 当时, ,又,所以, 当时,递增; 当时,递减. 从而. 故,恒成立 当时, . 令,解得,则当时,; 再令,解得,则当时,. 取,则当时,. 所以,当时,即. 这与“恒成立”矛盾. 综上所述, （浙江省五校联盟2013届高三下学期第二次联考数学（理）试题）已知函数,它的一个极值点是.() 求的值及的值
3、域;()设函数,试求函数的零点的个数.【答案】 （浙江省永康市2013年高考适应性考试数学理试题 ）已知函数,R.()若,求曲线在点处的切线方程;()若对任意的,都有恒成立,求实数的取值范围.(注:为自然对数的底数.)【答案】解:() 当时,则 故, 所以曲线在点处的切线方程为即为; ()由题, 令,注意的图像过点(0,-1),且开口向上,从而有 (1),单调递增, 所以有 得; (2)当即时,单调递减, 所以有 得,故只有符合; (3)当即时,记函数的零点为, 此时,函数在上单调递减,在上单调递增, 所以, 因为是函数的零点,所以, 故有 令,则 所以函数在上单调递减,故恒成立, 此时,;
4、综上所述,实数的取值范围是 （浙江省2013年高考模拟冲刺（提优）测试一数学（理）试题）已知.()判断曲线在的切线能否与曲线相切?并说明理由;()若求的最大值;()若,求证:.【答案】 （浙江省绍兴一中2013届高三下学期回头考理科数学试卷）定义,(1)设函数,试求函数的定义域;(2)设函数的图象为曲线C,若存在实数b,使得曲线C在其上横坐标为的点处有斜率为-8的切线,求实数的取值范围;(3)当且时,证明:.【答案】解:(1),即 得函数的定义域是, (2) 设曲线处有斜率为-8的切线, 又由题设 存在实数b使得 有解, 由得代入得, 有解, 易得:,因为,所以, 当时,存在实数,使得曲线C在
5、处有斜率为-8的切线 (3)当且时 令 又令 , 单调递减. 单调递减, ,故不等式得证 （浙江省温州市2013届高三第二次模拟考试数学（理）试题）(本題满分15分)已知函数.(I)若关于x的不等式f(x)m恒成立,求实数m的最小值:(II)对任意的x1,x2(0,2)且x1x2,己知存在. 使得求证:【答案】(I)解:由解得 当时,单调递增; 当时,单调递减; 关于的不等式恒成立 即的最小值为 (II)证明:对任意的,若存在,使得 即 令,则有 , 当时,又有 即在上是减函数 又 令, 设, 设, (),在是减函数, ,在是减函数, 在上是减函数, （浙江省重点中学2013届高三上学期期中联
6、谊数学（理）试题）已知函数,()求证:;()若恒成立,求实数的值; ()设 ()有两个极值点、 (),求实数的取值范围,并证明:【答案】解:() , 在递减,在递增 () 所以(即)的必要条件是,得 当时,由(1)知恒成立. 所以 (注:直接得出,没有证明的,得3分) (3), ,有两个极值点、等价于 方程在上有两个不等的正根 得 由得, () 设, 得, 所以 （浙江省名校新高考研究联盟2013届高三第一次联考数学（理）试题）已知函数(I)若为的极值点,求实数的值;(II)若在上为增函数,求实数的取值范围;(III)当时,方程有实根,求实数的最大值.【答案】解:(I) 因为为的极值点,所以,
7、即,解得 (II)因为函数在上为增函数,所以 在上恒成立.6 分 当时,在上恒成立,所以在上为增函数,故 符合题意 当时,由函数的定义域可知,必须有对恒成立,故只能,所以在上恒成立 令函数,其对称轴为,因为,所以,要使在上恒成立,只要即可,即,所以.因为,所以. 综上所述,a的取值范围为 ()当时,方程可化为. 问题转化为在上有解,即求函数的值域. 因为函数,令函数, 则, 所以当时,从而函数在上为增函数, 当时,从而函数在上为减函数, 因此. 而,所以,因此当时,b取得最大值0 （浙江省嘉兴市第一中学2013届高三一模数学（理）试题）已知函数(I )求f(x)的单调区间;(II)对任意的,恒
8、有,求正实数的取值范围.【答案】解:()= () 令, 时,所以增区间是; 时,所以增区间是与,减区间是 时,所以增区间是与,减区间是 时,所以增区间是,减区间是 ()因为,所以,由(1)知在上为减函数 若,则原不等式恒成立, 若,不妨设,则, 所以原不等式即为:,即对任意的,恒成立 令,所以对任意的,有恒成立,所以在闭区间上为增函数 所以对任意的,恒成立 （浙江省黄岩中学2013年高三5月适应性考试数学(理)试卷 ）已知为正的常数,函数.(I)若,求函数的单调递增区间;(II)设,求在区间1,上的最小值.(为自然对数的底数)【答案】()时, , 可得单调增区间是 (), 当时,则,得; 当时
9、,单调递增,; 当时,在上减,上增, （浙江省宁波市金兰合作组织2013届高三上学期期中联考数学（理）试题）已知函数满足满足;(1)求的解析式及单调区间;(2)若,求的最大值.【答案】（浙江省宁波市2013届高三第一学期期末考试理科数学试卷）设函数.(I)试讨论函数在区间0,1上的单调性:(II)求最小的实数h,使得对任意x0,1及任意实数t,恒成立.【答案】 （浙江省杭州二中2013届高三6月适应性考试数学（理）试题）已知函数, ()求函数的单调区间;()设函数,若存在,使得成立,求的取值范围;()若方程有两个不相等的实数根,求证:.【答案】解析:(1) 当时,函数在上单调递增,函数的单调增
10、区间为 当时,由得;由得 函数的单调增区间为,单调减区间为 (2)当时, 则当时, 当,则显然成立,即 当,则,即综上可知 (3)是方程的两个不等实根,不妨设 则 两式相减得 即 又,当时;当 时 故只要证明即可,即证 即证明: ,设令则 则在为增函数,又 时,总成立,得证. （浙江省宁波市2013届高三第二次模拟考试数学（理）试题）设函数,其中(1)如果是函数的一个极值点,求实数a的值及的最大值;(2)求实数a的值,使得函数同时具备如下两个性质:对于任意实数恒成立;对于任意实数恒成立;【答案】 （浙江省温州八校2013届高三9月期初联考数学（理）试题）已知函数()()讨论的单调性;()当时,
11、设,若存在,使, 求实数的取值范围.为自然对数的底数,【答案】解:(), 令 当时,的减区间为,增区间为(. 当时, 所以当时,在区间上单调递减 当时, , 当时,单调递减, 当时,单调递增, 当时,单调递减, 所以当时,的减区间为,增区间为(. 当时,的减区间为. 当时,的减区间为, 增区间为 ()由()可知在上的最大值为, 令,得 时,单调递减, 时,单调递增, 所以在上的最小值为, 由题意可知,解得 所以 （浙江省温岭中学2013届高三高考提优冲刺考试（三）数学（理）试题 ）已知函数. ()若函数在区间上单调递增,求实数的取值范围; () 记,若,则当时,函数的图象是否总在不等式所表示的
12、平面区域内,请写出判断过程.【答案】解:(1)因 因函数在上单调递增 在上恒成立. - (2) 当时,所以函数在单调递增,所以其最小值为,而在的最大值为1,所以函数图象总在不等式所表示的平面区域内 当时, ()当,函数在单调递减,所以其最小值为 所以下面判断与的大小,即判断与的大小,其中 令, 因所以,单调递增; 所以,故存在 使得 所以在上单调递减,在单调递增 所以 所以时, 即也即 所以函数图象总在不等式所表示的平面区域内 （浙江省杭州市2013届高三上学期期中七校联考数学（理）试题）已知函数,其中a为常数,设e为自然对数的底数.当时,求的最大值;若在区间(0,e上的最大值为,求a的值;当
13、时,试推断方程=是否有实数解【答案】解:(1) 当a=-1时,f(x)=-x+lnx,f(x)=-1+ 当0x0;当x1时,f(x)0. f(x)在(0,1)上是增函数,在(1,+)上是减函数 =f(1)=-1 (2) f(x)=a+,x(0,e, 若a,则f(x)0,从而f(x)在(0,e上增函数 =f(e)=ae+10.不合题意 若a00,即0x 由f(x)00,即xe. 从而f(x)在上增函数,在为减函数 =f=-1+ln 令-1+ln=-3,则ln=-2 =,即a=. ,a=为所求 (3) 由(1)知当a=-1时=f(1)=-1, |f(x)|1 又令g(x)=,g(x)=,令g(x)
14、=0,得x=e, 当0x0,g(x) 在 (0,e)单调递增; 当xe时,g(x)0,g(x) 在(e,+)单调递减 =g(e)= 1, g(x)g(x),即|f(x)| 方程|f(x)|=没有实数解 （浙江省温州十校联合体2013届高三期中考试数学（理）试题）设函数.(1)当时,求曲线在处的切线方程;(2)当时,求函数的单调区间;(3)在()的条件下,设函数,若对于,使成立,求实数b的取值范围. 【答案】.解:函数的定义域为, (1)当时, 在处的切线方程为 的最小值为 若对于使成立在上的最小值不大于在1,2上的最小值(*) （浙江省温州中学2013届高三第三次模拟考试数学（理）试题）已知函
15、数 (I)当时,讨论在上的单调性;(II)若的定义域为(i)求实数的取值范围;(ii)若关于的不等式对任意的都成立,求实数的取值范围.【答案】解:(I), 由 解得 当时,单调递增;当时,单调递减 (II)(i)的定义域为 当时,恒成立 即恒成立, (ii)由,得 即在上恒成立 当时,当时, 而,原不等式不可能恒成立 当时,要使在上恒成立 设 又当时, 当时,在上是减函数, 在上恒成立,即原不等式恒成立 综上所述: （浙江省重点中学协作体2013届高三摸底测试数学（理）试题）已知函数()若,且对于任意,恒成立,试确定实数的取值范围;()设函数,求证:【答案】本题主要考查函数的极值概念、导数运算
16、法则、导数应用,同时考查推理论证能力,分类讨论等综合解题能力和创新意识.满分15分. 解:()由可知是偶函数. 于是对任意成立等价于对任意成立. 由得. 当时,. 此时在上单调递增.故,符合题意. 当时,. 当变化时的变化情况如下表:单调递减极小值单调递增由此可得,在上,. 依题意,又. 综合,得,实数的取值范围是.7分 (), , , 由此得, 故.15分 （浙江省“六市六校”联盟2013届高三下学期第一次联考数学（理）试题）已知函数.（1）当时，求函数的单调区间；（2）若对任意的时，都有，求实数m的取值范围。【答案】 解：（1）则 2分；5分（2）8分则对任意的时，都有,即为：即恒成立，设
17、 10分， （1,2）为减函数，且，则，矛盾; 12分若若，则（1,2）上为减函数，且，则，矛盾；若，则上为减函数，在上为增函数，且，矛盾若，则（1,2）上为增函数，则恒由，则，解得 15分（浙江省乐清市普通高中2013届高三上学期期末教学质量检测数学（理）试题）已知函数(1)若是函数的极值点,求的值;(2)求函数的最大值.【答案】解:(1) 是极值点, 代入得,解得 (2) 记, () 则在上单调递增,上单调递减 () 则在上单调递增,单调递减- 综上,在上单调递增,上单调递减 （浙江省湖州市2013年高三第二次教学质量检测数学(理)试题(word版) ）已知函数,.()若,求函数在区间上的
18、最值;()若恒成立,求的取值范围.注:是自然对数的底数,约等于.【答案】解:() 若,则. 当时, , 所以函数在上单调递增; 当时, . 所以函数在区间上单调递减, 所以在区间上有最小值,又因为, ,而, 所以在区间上有最大值 () 函数的定义域为. 由,得. (*) ()当时, 不等式(*)恒成立,所以; ()当时, 当时,由得,即, 现令, 则, 因为,所以,故在上单调递增, 从而的最小值为,因为恒成立等价于, 所以; 当时,的最小值为,而,显然不满足题意 综上可得,满足条件的的取值范围是 （浙江省五校2013届高三上学期第一次联考数学（理）试题）线段,BC中点为M,点A与B,C两点的距
19、离之和为6,设,.()求的函数表达式及函数的定义域;()设,试求d的取值范围.【答案】解:()当A、B、C三点不共线时,由三角形中线性质知 ,代入得, 又,得; 当A,B,C三点共线时,由,可知在线段BC外侧, 由或x=5,因此,当x=1或x=5时,有, 同时也满足:.当A、B、C不共线时, ,可知, 从而定义域为1,5 () . d=y+x-1=. 令 t=x-3,由知, 两边对t求导得:, 关于t在-2,2上单调递增. 当t=2时,=3,此时x=1. 当t=2时, =7.此时x=5. 故d的取值范围为3,7 （浙江省2013年高考模拟冲刺（提优）测试二数学（理）试题）已知函数(常数)在处取
20、得极大值M.()当M=时,求的值;()记在上的最小值为N,若,求的取值范围.【答案】 （浙江省海宁市2013届高三2月期初测试数学（理）试题）已知函数.()当时,求在点处的切线方程;()若对于任意的,恒有成立,求的取值范围.【答案】()当时, 在点处的切线方程为:. () 令,则 在上 ,当时, 存在,使,且在上 ,在上 ,即 对于任意的,恒有成立 令,而,当时, 存在,使 在上 , 在上 . （浙江省稽阳联谊学校2013届高三4月联考数学(理)试题（word版） ）函数的图象记为(I)过一点作曲线的切线,这样的切线有且仅有两条,(i)求的值;(ii)若点在切线上,对任意的,求证:(II)若对
21、恒成立,求的最大值.【答案】解:(I)(i) 设切点为,则切线方程为,将点代入得 可化为 设 ,的极值点为 作曲线的切线,这样的切线有且仅有两条 , (ii)因为点A在曲线E上,所以 当时,左边= 令函数, 当时,函数在上单调递增, 当即时,由得 函数在上单调递减,在上单调递增 ; 当时,左边= 令函数 ,由得 当时,即时,函数在上单调递减, 当时,函数在上单调递减,在上单调递增 令函数 设,在上单调递增 (II)由得对恒成立,显然. 若则 若,则 设函数,由 所以函数在上单调递减,在上单调递增 设 由 函数在上单调递增,在上单调递减 ,即的最大值为,此时 （浙江省五校2013届高三上学期第一
22、次联考数学（理）试题）设和是函数的两个极值点,其中,.() 求的取值范围;() 若,求的最大值.注:e是自然对数的底数.【答案】()解:函数的定义域为,. 依题意,方程有两个不等的正根,(其中).故 , 并且 . 所以, 故的取值范围是 ()解:当时,.若设,则 . 于是有 构造函数(其中),则. 所以在上单调递减,. 故的最大值是 （浙江省六校联盟2013届高三回头联考理科数学试题）已知函数在处取得极值.且在x=1处的切线斜率为1.()求bc的值及的单调减区间;()设求证:【答案】 （浙江省十校联合体2013届高三上学期期初联考数学（理）试题）已知函数(1)当时,求的极值(2)当时,求的单调
23、区间(3)若对任意的,恒有成立,求实数的取值范围.【答案】解: 极小值 （温州市2013年高三第一次适应性测试理科数学试题）已知函数.()当时,试判断的单调性并给予证明;()若有两个极值点.(i) 求实数a的取值范围;(ii)证明:. (注:是自然对数的底数)【答案】解:(1)当时,在R上单调递减 ,只要证明恒成立, 设,则, 当时, 当时,当时, ,故恒成立 所以在R上单调递减 (2)(i)若有两个极值点,则是方程的两个根, 故方程有两个根, 又显然不是该方程的根,所以方程有两个根, 设,得 若时,且,单调递减 若时, 时,单调递减 时,单调递增 要使方程有两个根,需,故且 故的取值范围为
24、法二:设,则是方程的两个根, 则, 当时,恒成立,单调递减,方程不可能有两个根 所以,由,得, 当时,当时, ,得 (ii) 由,得:,故, , 设,则,上单调递减 故,即 （浙江省一级重点中学（六校）2013届高三第一次联考数学（理）试题）(本题满分15分)已知函数(b为常数).()函数的图象在点()处的切线与函数的图象相切,求实数的值;()设,若函数在定义域上存在单调减区间,求实数的取值范围;()若,对于区间1,2内的任意两个不相等的实数,都有成立,求的取值范围.【答案】解:()因为,所以,因此, 所以函数的图象在点()处的切线方程为, 由得, 由,得 ()因为, 所以, 由题意知在上有解
25、, 因为,设,因为, 则只要,解得, 所以b的取值范围是 ()不妨设, 因为函数在区间1,2上是增函数,所以, 函数图象的对称轴为,且. (i)当时,函数在区间1,2上是减函数,所以, 所以等价于, 即, 等价于在区间1,2上是增函数, 等价于在区间1,2上恒成立, 等价于在区间1,2上恒成立, 所以,又,所以 (ii)当时,函数在区间1, b上是减函数,在上为增函数. 当时, 等价于, 等价于在区间1,b上是增函数, 等价于在区间1,b上恒成立, 等价于在区间1,b上恒成立,所以,又,所以 当时, 等价于, 等价于在区间b,2上是增函数, 等价于在区间b,2上恒成立, 等价于在区间b,2上恒
26、成立,所以,故, 当时,由图像的对称性知, 只要对于同时成立, 对于, 存在, 使 =恒成立; 或存在, 使=恒成立, 因此当时,对于 成立 综上,b的取值范围是 （浙江省嘉兴市2013届高三上学期基础测试数学（理）试题） 已知函数(x0,实数a为常数)()a=4时,求函数在上的最小值;()设,求证:不等式:对于任意不相等的,都成立【答案】()时, , 即在上单调递减,在单调递增 在区间上,当有最小值 ()当 =, 在单调递减,不妨设,则当时, 故不等式等价于 令函数,则 = 再令,对称轴, ,从而当时恒成立, 即当时恒成立,所以在为增函数, 所以 从而对于任意的,都有不等式 （2013年普通
27、高等学校招生统一考试浙江数学（理）试题（纯WORD版）已知,函数(1)求曲线在点处的切线方程;(2)当时,求的最大值.【答案】解:()由已知得:,且,所以所求切线方程为:,即为:; ()由已知得到:,其中,当时, (1)当时,所以在上递减,所以,因为; (2)当,即时,恒成立,所以在上递增,所以,因为 ; (3)当,即时, ,且,即2+0-0+递增极大值递减极小值递增所以,且 所以, 所以; 由,所以 ()当时,所以时,递增,时,递减,所以,因为 ,又因为,所以,所以,所以 ()当时,所以,因为,此时,当时,是大于零还是小于零不确定,所以 当时,所以,所以此时; 当时,所以,所以此时 综上所述
28、:. （浙江省杭州四中2013届高三第九次教学质检数学（理）试题）设和是函数的两个极值点,其中,() 求实数的取值范围;() 求的取值范围;()若,求的最大值.(注:e是自然对数的底数.)【答案】解:()函数的定义域为,. 依题意,方程有两个不等的正根,(其中).故 , 并且 . () 故的取值范围是 ( )解:当时,.若设,则 . 于是有 构造函数(其中),则. 所以在上单调递减,. 故的最大值是.（浙江省温岭中学2013届高三冲刺模拟考试数学（理）试题）已知函数 ,它的一个极值点是()求m的值及在上的值域;()设函数 ,求证:函数与的图象在上没有公共点.【答案】解():令,由题设,满足方程
29、,由此解得:或. (1)当时,分析可知:在上是减函数;在上是增函数; 由此可求得,故 当时,的值域为. (2)当时,同样可得:在上是减函数;在上是增函数,当时,的值域为. 解() , 所以,因为,所以,所以 (1),设,则,当时, 即为增函数,故当有,即, 所以(2),由(1)(2)得,当时,. 所以在上为增函数,又因为在x=0处与图象相连,故对于有,即; 由()知:(1)当时: 在上的值域为,而;所以,故函数与的图象在上没有公共点. (2)当时, 在上的值域为,由于所以,所以,故函数与的图象在上也没有公共点. 综上所述,函数与的图象在上没有公共点. （浙江省温岭中学2013届高三高考提优冲刺
30、考试（五）数学（理）试题）已知函数,(),()若函数在点处的切线与函数的图像相切,求的值;()若,且当时,恒有,求的最大值.(参考数据:,)【答案】()由已知得 ,且,从而得. 函数在点处的切线方程为,即; 于是,据题设,可令直线与函数的图像相切于点, 从而,可得,又, 因此有 ,. 由,可得,所以,解得或 ()当时,恒成立, 等价于,当时,恒成立. 设(),则, 且可得 ();记(), 则 ,所以在上单调递增. 又,所以, 在存在唯一的实数根,使得; 因此,当时,即得,则在上递减, 当时,即得,则在上递增; 所以,当时, 又由,可得, 因此,得, 而 ,所以,又, 而, 所以,因此, 又,所
31、以 （浙江省嘉兴市2013年3月高三教学测试(一)数学理）已知函数(I )求f(x)的单调区间;(II)对任意的,恒有,求正实数的取值范围.【答案】解:()= () 令, 时,所以增区间是; 时,所以增区间是与,减区间是 时,所以增区间是与,减区间是 时,所以增区间是,减区间是 ()因为,所以,由(1)知在上为减函数 若,则原不等式恒成立, 若,不妨设,则, 所以原不等式即为:,即对任意的,恒成立 令,所以对任意的,有恒成立,所以在闭区间上为增函数 所以对任意的,恒成立 （浙江省杭州市2013届高三第二次教学质检检测数学（理）试题）(本题满分I4分)设函数为实数).(I)设a0,当a+b=0时
32、.求过点P(一1,0)且与曲线相切的直线方程;()设b0,当a0且时,有,求b的最大值.【答案】 () ,则, ,设切点T(),则, 即:切线方程为,又切线过点P(), ,解得:或. 当时,切线方程为, 当时,切线方程为 () 当,时,在0,1上递增, . 当,时,令,得, 在0,上递增, ( i ) 若时,在0,1上递增, ,即:,由线性规划知:. ( ii ) 若时,在0,上递增,在,1上递减,又, 由题意得:, 由得, 即:,得. 又, , ,得. 当时,满足. 综上所述:的最大值为 （浙江省杭州高中2013届高三第六次月考数学（理）试题）（本小题满分15分）函数定义在区间a, b上，设
33、“”表示函数在集合D上的最小值，“”表示函数在集合D上的最大值现设，若存在最小正整数k，使得对任意的成立，则称函数为区间上的“第k类压缩函数”(1) 若函数，求的最大值，写出的解析式；(2) 若，函数是上的“第3类压缩函数”，求m的取值范围【答案】解：(1)由于，故在上单调递减，在上单调递增所以，的最大值为 ， ，(2)由于，故在上单调递减，在上单调递增，而，故， 设对正整数k有对恒成立，当x=0时，均成立；当时，恒成立，而, 故；当时，恒成立，而；故；所以，ks*5u又是上的“第3类压缩函数”，故，所以， （浙江省诸暨中学2013届高三上学期期中考试数学（理）试题）已知是正实数,设函数.()
34、设,求的单调区间;()若存在,使且成立,求的取值范围.【答案】 (iii)当,即时, 单调递减. 当时恒成立 综上所述, 的最大值在处,为7 的取值范围为,即的取值范围是 （【解析】浙江省镇海中学2013届高三5月模拟数学（理）试题）已知函数.(1)若函数在其定义域内是单调增函数,求的取值范围;(2)设函数的图象被点分成的两部分为(点除外),该函数图象在点处的切线为,且分别完全位于直线的两侧,试求所有满足条件的的值.【答案】解:(),只需要,即 , 所以 . ()因为,所以切线的方程为 . 令,则 . . ()若,则, 当时,;当时,所以, 在直线同侧,不合题意; ()若,则, 若,是单调增函
35、数, 当时,;当时,符合题意; 若,当时, 当时,不合题意; 若,当时, 当时,不合题意; （浙江省杭州二中2013届高三年级第五次月考理科数学试卷）设函数 (1)若与在为同一个值时都取得极值,求的值.(2)对于给定的负数,有一个最大的正数,使得时,恒有求的表达式;的最大值及相应的值.【答案】解: 易知,在时取得极值. , 由题意得 ,解得 由,知. 当 ,即时,要使,在上恒成立,而要最大的,所以只能是方程的较小根. 因此,. 当,即时,同样道理只能是方程的较大根,. 综上得 当时,; 当时,. 故当且仅当时,有最大值 （浙江省考试院2013届高三上学期测试数学（理）试题）已知函数f (x)=
36、x3+(1-a)x2-3ax+1,a0.() 证明:对于正数a,存在正数p,使得当x0,p时,有-1f (x)1;() 设()中的p的最大值为g(a),求g(a)的最大值.【答案】本题主要考查利用导数研究函数的性质等基础知识,同时考查推理论证能力,分类讨论等综合解题能力和创新意识.满分14分. () 由于 f (x)=3x2+3(1-a)x-3a=3(x+1)(x-a),且a0, 故f (x)在0,a上单调递减,在a,+)上单调递增. 又 f (0)=1, f (a)=-a3-a2+1=(1-a)(a+2) 2-1. 当f (a)-1时,取p=a. 此时,当x0,p时有-1f (x)1成立. 当f (a)0,f (a)+10, 故存在p(0,a)使得f (p)+1=0. 此时,当x0,p时有-1f (x)1成立. 综上,对于正数a,存在正数p,使得当x0,p时,有-1f (x)1. () 由()知f (x)在0,+)上的最小值为f (a). 当0a的实根, 即2p2+3(1-a)p-6a=0满足pa的实根,所以 g(a)=. 又g(a)在(0,1上单调递增,故 g(a)max=g(1)=. 当a1时,f (a)-1. 由于f (0)=1,f (1)=(1-a)-1-1,故 0,p 0,1. 此时,g(a)1. 综上所述,g(a)的最大值为.
