1、数 学 试 题（全卷满分160分，考试时间120分钟）注意事项：1 答卷前，请考生务必将自己的学校、姓名、考试号等信息填写在答卷规定的地方2试题答案均写在答题卷相应位置，答在其它地方无效一、填空题（本大题共14小题，每小题5分，共70分，请将答案填写在答题卷相应位置）1已知集合，是整数集，则 2若复数满足（为虚数单位），则 3命题“”的否定 Read xIf x5 Theny10xElse y2.5x+5End IfPrint y4已知中，则边的长度为 5下面是一个算法的伪代码如果输出的y值是20，则输入的x值是 6在区间内随机选取一个实数，则该数为正数的概率是 （第5题图）7在三棱锥中，、两
2、两垂直，且，则三棱锥的体积为 8已知且为锐角，则 9在平面直角坐标系中，如果直线将圆平分，且不经过第四象限，那么的斜率的取值范围是 10已知等边中，若，且，则实数的值为 11设双曲线的右焦点为F，右准线l与两条渐近线交于P、Q两点，如果是等边三角形，则双曲线的离心率是 12设函数，若关于的方程恰有三个不同的实数解，则实数的取值范围为 13已知数列是各项均不为零的等差数列，为其前项和，且（）若不等式对任意恒成立，则实数的最小值为 14已知函数在O、A两点处取得极值，其中O是坐标原点，A在曲线上，则曲线的切线斜率的最大值为 二、解答题（本大题共6小题，计90分解答应写出必要的文字说明、证明过程或演
3、算步骤）15（本小题满分14分）已知向量，记函数若函数的周期为4，且经过点（1）求的值； （2）当时，求函数的最值16（本小题满分14分）在三棱锥PSBC中，A，D分别为边SB，SC的中点，且PABC（1）求证：平面PSB平面ABCD；（2）若平面PAD平面，求证：（第16题图）17（本小题满分14分）某工厂生产某种黑色水笔，每百支水笔的成本为30元，并且每百支水笔的加工费为元（其中为常数，且）设该工厂黑色水笔的出厂价为元/百支（），根据市场调查，日销售量与成反比例，当每百支水笔的出厂价为元时，日销售量为10万支（1）当每百支水笔的日售价为多少元时，该工厂的利润最大，并求的最大值（2）已知工厂
4、日利润达到元才能保证工厂的盈利若该工厂在出厂价规定的范围内，总能盈利，则每百支水笔的加工费最多为多少元？（精确到元）18（本小题满分16分）已知椭圆的长轴长为4，椭圆的离心率为设点M是椭圆上不在坐标轴上的任意一点，过点M的直线分别交轴、轴于A、B两点上，且满足（1）求证：线段AB的长是一定值；（2）若点N是点M关于原点的对称点，一过原点O且与直线AB平行的直线与椭圆交于P、Q两点（如图），求四边形MPNQ面积的最大值，并求出此时直线MN的斜率yQPNMBAOx（第18题图）19（本小题满分16分）数列是公差为的等差数列，它的前项和记为，数列是公比为的等比数列，它的前项和记为若，且存在不小于的正
5、整数，使（1）若，求（2）若，试比较与的大小，并说明理由；（3）若，是否存在整数，使，若存在，求出的值；若不存在，说明理由20（本小题满分16分）已知函数 （1）求函数的单调递减区间； （2）当时，的最小值是，求实数的值； （3）试问过点可作多少条直线与曲线相切？并说明理由数 学 试 题（全卷满分40分，考试时间30分钟）21（B）（本小题满分10分）已知矩阵，若矩阵属于特征值3的一个特征向量为，求该矩阵的另一个特征值21（C）（本小题满分10分）在直角坐标系中，直线的参数方程为（为参数）在极坐标系(与直角坐标系取相同的长度单位，且以原点为极点，极轴与轴的非负半轴重合）中，圆的方程为若直线被圆
6、截得的弦长为，求实数的值 22（本小题满分10分）长时间上网严重影响着学生的健康，某校为了解甲、乙两班学生上网的时长，分别从这两个班中随机抽取6名同学进行调查，将他们平均每周上网时长作为样本，统计数据如下： 甲班101215182436乙班121622262838如果学生平均每周上网的时长超过19小时，则称为“过度上网”（1）从甲班的样本中有放回地抽取3个数据，求恰有1个数据为“过度上网”的概率；（2）从甲班、乙班的样本中各随机抽取2名学生的数据，记“过度上网”的学生人数为，写出的分布列和数学期望23（本小题满分10分）已知（1）若，求中含项的系数；（2）证明： 参 考 答 案10,1 2 3
7、“” 4 52或66 71 8 9 10 112 12 13 14二、解答题（本大题共6小题，计90分解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）15解：（1）4分由题意得：周期，故 6分（2）图象过点，即，而，故，则 10分当时，当时，当时， 14分16证：（1） A，D分别为边SB，SC的中点，且 且即 3分，、平面平面平面 平面PSB平面ABCD 7分（2），平面，平面 平面 10分平面，平面PAD平面 14分17解：（1）设日销量为，则 则日售量为日利润即 ，其中 3分令得 当时， 当时， 当时，取最大值，最大值为 5分 当时，函数在上单调递增，在上单调递减 当时，取最大值 7分当时
8、，时，日利润最大值为元 当时，时，日利润最大值为元 8分（2）由题意得：对恒成立 10分则对恒成立设， 则在上单调增，则，即每百支水笔的加工费最多约为元答：每百支水笔的加工费最多约为元 14分18解：（1）由题意得：，则 椭圆方程为： 3分设，则且A、B分别在轴、轴上 为定值 7分（2）方法（一）设 ，则直线PQ的方程为： 9分 点到直线的距离： 12分 ，令，则当且仅当时，取等号；即时，此时 16分方法（二）设直线MN的斜率为，则，则直线MN方程为，直线PQ方程为， 9分解方程组 ，用代得，由椭圆的对称性知，点P到直线MN的距离， 12分由椭圆的对称性知，四边形MPNQ的面积当且仅当，即时取
9、等号，所以，四边形MPNQ的面积的最大值为4，此时直线MN的斜率 16分19解：（1），即， 3分（2）依题意，且，显然 又，所以， 6分设，它是关于的二次函数，它的图象的开口向上，它的对称轴方程，故是上的增函数，所以当时，即，所以 9分（3）依题意：，由得：，即， 12分所以， 因为，故，且，且为奇数则其中时，是整数，故，且 16分20解：（1），时，在上恒成立，则的单调递减区间，时，令则，即时，则的单调递减区间 3分 （2），在上单调递减，解得：，适合题意； ，在上单调递增，无解； ，在上单调递减，上单调递增，解得：，舍去；综上可得： 8分（3）时，有1条切线；时，有2条切线设切点坐标是，
10、依题意：即，化简得：设，故函数在上零点个数，即是曲线切线的条数 10分当时，在上恰有一个零点1； 11分 当时，在上恒成立，在上单调递减，且， 故在上有且只有一个零点，当时，在上恰有一个零点； 12分 时，在上递减，在上递增，故在上至多有两个零点，且又函数在单调递增，且值域是，故对任意实数，必存在，使，此时由于， 即函数在上必有一零点； 14分先证明当时，即证若，而，由于若，构建函数，在为增函数，综上时，所以，故又，所以在必有一零点当时，在上有两个零点综上：时，有1条切线；时，有2条切线 16分 数 学 试 题参考答案21（B）解：因为，则 ，解得所以 5分由，所以 10分21（C）解：直线的参数方程为（为参数）所以直线的直角坐标系方程是： 2分 圆的直角坐标系方程是：，圆心（2，0），半径4分设圆心到直线的距离为d，所以 7分又所以 10分 22解：（1）设“恰有一个数据为过度上网”为事件A，则 3分（2）甲组六人中有两人过度上网，乙组六人中有四人过度上网，则 8分01234P 答：数学期望为2 10分23解：（1）1分中项的系数为； 3分（2） 设 则函数中含项的系数为 5分由错位相减法得： ，中含项的系数，即是等式左边含项的系数，等式右边含项的系数为 7分所以 10分