1、第五章 平面向量 第 讲（第二课时）题型3 平移公式的应用1.(1)把点A(3,5)按向量a=(4,5)平移，求平移后对应点A的坐标;(2)把函数y=2x2的图象F按向量a=(2,-2)平移得F，求F的函数解析式；(3)将函数y=-x2进行平移，使得到的图象与y=x2-x-2的图象的两个交点关于原点对称，求平移后的曲线方程.解：(1)设A的坐标为(x,y),根据平移公式得即即对应点A的坐标为(7，10).(2)设P(x，y)为F上的任意一点，它在F上的对应点为P(x,y).34,55xy 7.10 xy 由平移公式得所以将它代入到y=2x2中，得到y+2=2(x-2)2，即y=2x2-8x+6
2、.所以F的函数解析式为y=2x2-8x+6.2,-2xxyy -2.2xxyy(3)设平移公式为，得x=x-hy=y-k，代入y=-x2，得y-k=-(x-h)2，习惯上y-k=-(x-h)2.将y=-x2+2hx-h2+k与y=x2-x-2联立得，x=x+hy=y+ky=-x2+2hx-h2+ky=x2-x-2 设两图象的交点为(x1，y1)，(x2，y2)，由已知条件知(x1，y1)，(x2，y2)关于原点对称，即有关系.由方程组得x2-x-2=-x2+2hx-h2+k，即2x2-(1+2h)x-2+h2-k=0，由x1+x2=，且x1+x2=0，得1+2h=0，即h=-x1=-x2y1=
3、-y2122h12又将(x1，y1)，(x2，y2)分别代入两式并相加，得y1+y2 ，所以0=(x2-x1)(x2+x1)-(x1+x2)-+k-2，解得k=.所以，变形为，代入y=-x2，得y-=-(x+)2，即平移后的曲线方程为y=-x2-x+2.222121222xxhxxhk1494129494141294x=x-y=y+y=y-x=x+点评：平移公式中涉及到三个量：初坐标、平移坐标、终坐标，三者之间的关系式：x终=x初+x平是我们解决平移问题的基础，图象平移中的坐标变化可以按点的平移关系变化来理解，也可以用特殊点的变化来验证所求问题.将函数y=x2+4x+5的图象按向量a经过一次平
4、移后,得到y=x2的图象,求a的坐标.解：设y=x2+4x+5上任意一点(x,y)按a=(h,k)平移一次后变为(x,y)，则即所以y-k=(x-h)2+4(x-h)+5，即y=x2+(4-2h)x+h2-4h+5+k.因为(x，y)适合y=x2，所以y=x2，所以所以所以a=(2,-1).,.xxhyyk-,-.xxhyyk24-20,-450.hhhk2,-1.hk2.已知曲线x2+2y2+4x+4y+4=0，按向量a=(2，1)平移后得到曲线C.(1)求曲线C的方程；(2)过点D(0，2)的直线与曲线C相交于不同的两点M、N，且M在D、N之间，设求实数的取值范围.解：(1)原曲线即为(x
5、+2)2+2(y+1)2=2，则平移后的曲线C的方程为x2+2y2=2,即题型4 向量平移与解析几何交汇,DMMN221.2xy(2)设M(x1，y1)，N(x2，y2)，则消去，得22+8y2+8=22+4+2，即y2=.因为-1y21，所以-1 1.又因为0，故解得 ，所以的取值范围为，+).222222222()2()2,1122.xyxy2-342-34121222x点评：二元方程f(x，y)=0对应的曲线C，按向量a=(h，k)进行平移，平移后得到的曲线C所对应的方程是f(x-h，y-k)=0，即有x的地方全换为x-h、有y的地方全换为y-k，所得的方程即为曲线的方程.试推断是否存在
6、这样的平移，使抛物线y=-x2平移后过原点，且平移后的抛物线的顶点及抛物线与x轴的两个交点构成一个面积为1的三角形？若存在，求出平移向量a的坐标；若不存在，说明理由.解：设a=(h，k)，且设(x，y)为平移前抛物线上任意一点，平移后得对应点(x,y),则x=x-h,y=y-k.代入y=-x2，得y-k=-(x-h)2.所以平移后的抛物线方程为y=-(x-h)2+k.因为抛物线过原点，所以k=h2.令y=0，则x=h.又抛物线的顶点为(h，k)，据题设有所以k=1，代入得h=1.故存在这样的平移满足要求，且平移向量a=(1，1).k1 21,2k k将y=sin2x的图象向右按向量a作最小的平
7、移,使得平移后的图象在(kZ)上是减函数，求平移后的函数解析式及a的坐标.解：设a=(h，0),h0,则y=sin2x的图象按a平移后得到的图象的解析式是y=sin2(x-h).由得参 考 题参 考 题(,)2kk322(-)2(),22kx hkkZ3().44kh x kh kZ 即平移后的函数的递减区间是令，则h=，所以a=(，0).平移后的函数解析式是y=sin2(x-)=-cos2x.3().44kh x kh kZ 42h4441.公式中的平移可以分解为两步完成：沿x轴方向的平移:当h为正时,向右平移h个单位长度;当h为负时,向左平移|h|个单位长度.沿y轴方向的平移:当k为正时,
8、向上平移k个单位长度;当k为负时,向下平移|k|个单位长度.2.通过平移可以化简二次函数y=ax2+bx+c(a0)与形如(a0)的函数解析式,可以用配方与变形的方法寻找平移向量,也可用待定系数法求出平移向量.cxdyaxd3.在前面的学习过程中，函数和三角函数部分都学习了图象的平移，那是图象向左或右、上或下的平移，分两步进行，而此节的平移公式是“一步到位”的平移.如将点P(x，y)，按向量a=(2，3)平移后得到点P(x，y).若按两步进行，则是将点P(x，y)向右平移2个单位长度，再向上平移3个单位长度，即点P的坐标为(x+2，y+3).推而广之，将点P(x，y)按向量a=(h，k)平移得到点P的坐标为(x+h，y+k).而函数y=f(x)的图象按向量a=(h，k)平移所得图象的解析式为y-k=f(x-h).
