1、第五章 平面向量 第 讲（第一课时）考点搜索线段的定比分点线段的定比分点公式平移公式平移公式的三类运用平移公式与图象左右及上下平移的联系高考猜想高考对这部分的考查比较基础，主要是求定比、求分点坐标、求平移向量、求平移后的函数解析式等；也有可能与解析几何结合在一起，作为大题的一个步骤求解.一、线段的定比分点公式如图，设，P1(x1，y1)，P2(x2，y2).1.向量式：=_.当=1时，中点对应的向量公式=_.1OPa212,OPb PPPPOPOP1ab1()2 ab_ 2.坐标公式：_._,当=1时，中点坐标公式_.二、平移公式如果点P(x，y)按向量a=(h，k)平移至点_，_.x+hxy
2、121xx121yyxy 122xx122yyxy y+kP(x，y)，则三、三角形的重心坐标公式若ABC的三个顶点A(x1,y1)、B(x2,y2)、C(x3,y3),则ABC的重心坐标为_.123123(,)33xxxyyy1.点M(2，-1)沿向量a平移到点N(-2，1)，则点P(-2，1)沿a平移到点Q,则点Q的坐标是()A.(2，-1)B.(-2，1)C.(6，-3)D.(-6，3)解：=(-2,1)+(-4,2)=(-6,3).故选D.aMNPQOQOPPQOPMND2.已知点M(6,2)和点N(1,7)，直线y=kx-7与直线MN的交点P分有向线段的比为，则k=()解：由已知得点
3、P的坐标为即P(3,5)，代入直线y=kx-7，得k=4.故选D.DMN32321A.-B.-C.D.4234 36123,312x 32725,312y3.将y=2cos()的图象按向量a=()平移，则平移后所得图象的解析式为()解法1：由向量平移的定义，在平移前、后的图象上任意取一对对应点P(x,y)，P(x,y)，则a=()=PP=(x-x,y-y)，所以x=x+,y=y+2，36x-,-24.2cos()-2 .2cos(-)23434.2cos(-)-2 .2cos()23 12312xxA yB yxxC yD y-,-24-4A代入到已知解析式中可得选A.解法2：得即故选A.2c
4、os()36xy按a=()平移-,-241-(-2)2cos(),346yx2cos()234xy1.设|P1P2|=5 cm，点P在直线P1P2上，且|=1 cm，求点P分所成的比.解：若P在线段P1P2上，即P内分P1P2时,P分P1P2所成的比为题型1 求分比的值1PP12PP12|1.4|PPPP 若P在P2P1的延长线上，即P外分时，P分所成的比为点评：涉及到定比分点求解问题，注意的是区分起点、分点、终点及相应的两个前后向量，如果知道两个向量的长度，分比的绝对值等于长度之比，而分比的符号是根据两向量是同向还是反向来确定.12PP12PP12|1-.6|PPPP 已知A分的比为，则B分
5、的比为.解：由已知得则所以B分的比BCAC,BAAC.BAACAC1-.1ABBABCBAACACACAC-1ACACAC2.已知点P1(2，1)，P2(4，-3)，求出下列情况下P点的坐标：(1)点P在线段P1P2上,且(2)点P在P1P2的延长线上,且(3)点P在P2P1的延长线上,且解：(1)因为所以=3.设P(x,y),由定比分点公式得题型2 求点的坐标1213|;4PPPP11 2|3|,PPPP21 2|3|.P PPP123,PPPP2347,13213(-3)-2.13xy 即P点的坐标为(，-2).(2)如右图所示，因为P在P1P2的延长线上，所以设P(x，y)，所以(x-2
6、，y-1)=-(4-x，-3-y).即解得即P(8，-11).72122|3|,PPPP123-.2PPPP323-2-(4-)2,3-1-(-3-)2xxyy8,-11xy(3)由已知得设P(x，y)，所以(x-2，y-1)=-(4-x，-3-y)，所以解得即P(-2，9).点评：求分点坐标的公式：在求分点坐标时，注意起点、终点的坐标；对于公式中四个变量，在知其三的情况下，结合方程思想求其一.122-,3PPPP232-2-(4-)3,2-1-(-3-)3xxyy-2,9xy11xxxyyy起终分起终分，已知三点A(0，8)、B(-4，0)、C(5，-3)、D点分所成的比为，E在BC上且使B
7、DE的面积是ABC的面积的一半，求点E的坐标.解：如图，先确定E分BC所成的比.因为点D分所成的比为，所以而AB13AB13|3.4|DBAB1|sin,21|sin,2BDEABCSDBBEDBESABBCABC又所以又所以所以即所以设E(x，y)，则所以点E的坐标为(2，-2).1,2BDEABCSDBEABCS|1.2|DB BEAB BC|3,4|DBAB|2,3|BEBC|22,3-2|-|BEBCBE|2,|BEEC2.BEEC-42 502(-3)2,-2,1 21 2xy 1.如果P是内分点，即P在线段P1P2上，此时与的方向相同，0;如果P在的延长线上，此时与的方向相反,由于|，所以-1;如果P在的延长线上，此时与的方向相反，由于|，所以-10.1PP2PP1PP2PP12|,|PPPP 12|,|PPPP 12PP1PP2PP12|,|PPPP 12PP1PP2PP1PP2PP2.若三个非零向量a，b，c满足(R)，则三个向量(起点均为原点)的终点共线，因此向量的分点公式可以用来证明三点共线的问题.1abc