1、课时作业(六十二)1若椭圆1过点(2，)，则其焦距为()A2B2C4D4答案D解析椭圆过(2，)，则有1，b24，c216412，c2，2c4.故选D.2已知椭圆1，长轴在y轴上，若焦距为4，则m等于()A4B5C7D8答案D解析椭圆焦点在y轴上，a2m2，b210m.又c2，m2(10m)c24.m8.3已知椭圆1的离心率e，则m的值为()A3B3或C.D.或答案B解析若焦点在x轴上，则有m3.若焦点在y轴上，则有m.4已知椭圆1(ab0)的焦点分别为F1、F2，b4，离心率为.过F1的直线交椭圆于A、B两点，则ABF2的周长为()A10B12C16D20答案D解析如图，由椭圆的定义知ABF
2、2的周长为4a，又e，即ca，a2c2a2b216.a5，ABF2的周长为20.5椭圆1(ab0)上任一点到两焦点的距离分别为d1，d2，焦距为2c.若d1,2c，d2成等差数列，则椭圆的离心率为()A.B.C.D.答案A解析由d1d22a4c，e.6已知椭圆y21的左、右焦点分别为F1、F2，点M在该椭圆上，且0，则点M到y轴的距离为()A.B.C.D.答案B解析由题意，得F1(，0)，F2(，0)设M(x，y)，则(x，y)(x，y)0，整理得x2y23.又因为点M在椭圆上，故y21，即y21.将代入，得x22，解得x.故点M到y轴的距离为.7设e是椭圆1的离心率，且e(，1)，则实数k的
3、取值范围是()A(0,3)B(3，)C(0,3)(，)D(0,2)答案C解析当k4时，c，由条件知；当0k4时，c，由条件知1，解得0kb0)上的一点，若0，tanPF1F2，则此椭圆的离心率为()A.B.C.D.答案D解析由0，得PF2F2为直角三角形，由tanPF1F2，设|PF2|s，则|PF1|2s，又|PF2|2|PF1|24c2(c)，即4c25s2，cs，而|PF2|PF1|2a3s，a.离心率e，故选D.9已知椭圆1的左顶点为A1，右焦点为F2，点P为该椭圆上一动点，则当取最小值时|的取值为()A0B3C4D5答案B解析由已知得a2，b，c1，所以F2(1,0)，A1(2,0)
4、，设P(x，y)，则(1x，y)(2x，y)(1x)(2x)y2.又点P(x，y)在椭圆上，所以y23x2，代入上式，得x2x1(x2)2.又x2,2，所以x2时，取得最小值所以P(2,0)，求得|3.10设F1，F2为椭圆的两个焦点，以F2为圆心作圆，已知圆F2经过椭圆的中心，且与椭圆相交于点M，若直线MF1恰与圆F2相切，则该椭圆的离心率为()A.1B2C.D.答案A解析由题意知F1MF2，|MF2|c，|F1M|2ac，则c2(2ac)24c2，e22e20，解得e1.11已知点M(，0)，椭圆y21与直线yk(x)交于点A、B，则ABM的周长为_答案8解析直线yk(x)过定点N(，0)
5、，而M、N恰为椭圆y21的两个焦点，由椭圆定义知ABM的周长为4a428.12已知点A(4,0)和B(2,2)，M是椭圆1上一动点，则|MA|MB|的最大值为_答案102解析显然A是椭圆的右焦点，如图所示，设椭圆的左焦点为A1(4,0)，连BA1并延长交椭圆于M1，则M1是使|MA|MB|取得最大值的点事实上，对于椭圆上的任意点M有：|MA|MB|2a|MA1|MB|2a|A1B|(当M1与M重合时取等号)，|MA|MB|的最大值为2a|A1B|25102.13已知椭圆C：1(ab0)，直线l为圆O：x2y2b2的一条切线，记椭圆C的离心率为e.若直线l的倾斜角为，且恰好经过椭圆的右顶点，则e
6、的大小为_答案解析如图所示，设直线l与圆O相切于C点，椭圆的右顶点为D，则由题意，知OCD为直角三角形，且OCb，ODa，ODC，CDc(c为椭圆的半焦距)，椭圆的离心率ecos.14F1，F2是椭圆E：x21(0bb0)，F1、F2分别为椭圆的左、右焦点，A为椭圆的上顶点，直线AF2交椭圆于另一点B.(1)若F1AB90，求椭圆的离心率；(2)若椭圆的焦距为2，且2，求椭圆的方程解析(1)若F1AB90，则AOF2为等腰直角三角形所以有|OA|OF2|，即bc.所以ac，e.(2)由题知A(0，b)，F2(1,0)，设B(x，y)，由2，解得x，y.代入1，得1.即1，解得a23.所以椭圆方
7、程为1.16(2013沧州七校联考)已知椭圆C的中心在原点，一个焦点为F(2,0)，且长轴长与短轴长的比是2.(1)求椭圆C的方程；(2)设点M(m,0)在椭圆C的长轴上，点P是椭圆上任意一点当|最小时，点P恰好落在椭圆的右顶点，求实数m的取值范围答案(1)1(2)1m4解析(1)由题意知解之得椭圆方程为1.(2)设P(x0，y0)，且1，|2(x0m)2yx2mx0m212(1)x2mx0m212(x04m)23m212.|2为关于x0的二次函数，开口向上，对称轴为4m.由题意知，当x04时，|2最小，4m4，m1.又点M(m,0)在椭圆长轴上，1m4.17(2013潍坊质检)已知椭圆C：1
8、(ab0)的焦距为4，且与椭圆x21有相同的离心率，斜率为k的直线l经过点M(0,1)，与椭圆C交于不同的两点A、B.(1)求椭圆C的标准方程；(2)当椭圆C的右焦点F在以AB为直径的圆内时，求k的取值范围解析(1)椭圆C的焦距为4，c2.又椭圆x21的离心率为，椭圆C的离心率e，a2，b2.椭圆C的标准方程为1.(2)设直线l的方程为ykx1，A(x1，y1)，B(x2，y2)，由消去y，得(12k2)x24kx60.x1x2，x1x2.由(1)知椭圆C的右焦点F的坐标为(2,0)，右焦点F在圆的内部，0.(x12)(x22)y1y20，即x1x22(x1x2)4k2x1x2k(x1x2)1
9、0.(1k2)x1x2(k2)(x1x2)5(1k2)(k2)50，k.经检验，当kb0)的左、右焦点，点P(，1)在椭圆上，线段PF2与y轴的交点M满足0.(1)求椭圆C的方程；(2)椭圆C上任一动点N(x0，y0)关于直线y2x的对称点为N1(x1，y1)，求3x14y1的取值范围解析(1)由已知，点P(，1)在椭圆上，有1.又0，M在y轴上，M为PF2的中点c0，c.a2b22，解得，得b22(b21舍去)，a24.故所求椭圆C的方程为1.(2)点N(x0，y0)关于直线y2x的对称点为N1(x1，y1)，解得3x14y15x0.点N(x0，y0)在椭圆C：1上，2x02.105x010
10、，即3x14y1的取值范围为10,102已知椭圆C：1(ab0)的左焦点F及点A(0，b)，原点O到直线FA的距离为b.(1)求椭圆C的离心率e；(2)若点F关于直线l：2xy0的对称点P在圆O：x2y24上，求椭圆C的方程及点P的坐标解析(1)由点F(ae,0)，点A(0，b)及ba得直线FA的方程为1，即xeyae0，原点O到直线FA的距离为ba，a，解得e.(2)F(a,0)关于直线l的对称点P在圆O上，且直线l：2xy0经过圆O：x2y24的圆心O(0,0)，F(a,0)也在圆O上从而(a)2024，得a28，b2(1e2)a24.椭圆C的方程为1.F(2,0)与P(x0，y0)关于直
11、线l对称，解得x0，y0.点P的坐标为(，)3.如图，从椭圆1(ab0)上一点M向x轴作垂线，恰好通过椭圆的左焦点F1，且它的长轴端点A与短轴端点B的连线ABOM.(1)求椭圆的离心率e；(2)设Q是椭圆上任一点，F2是右焦点，F1是左焦点，求F1QF2的取值范围；(3)设Q是椭圆上任一点，当QF2AB时，延长QF2与椭圆交于另一点P，若F1PQ的面积为20，求此时椭圆的方程解析(1)MF1x轴，xMc.代入椭圆方程，得yM，kOM.又kAB且OMAB，.故bc，从而e.(2)设|QF1|r1，|QF2|r2，F1QF2.r1r22a，|F1F2|2c，cos1110.(当且仅当r1r2时，等号成立)0cos1，故0，(3)bc，ac，设椭圆方程为1.PQAB，kAB，kPQ，直线PQ的方程为y(xc)联立可得5x28cx2c20.|PQ|.又点F1到PQ的距离dc，SF1PQd|PQ|ccc2.由c220，得c225，故2c250.所求椭圆方程为1.