1、2020-2021学年广东省深圳市福田中学高一（下）期中数学试卷一、选择题（共8小题，每小题5分，共40分）.1复数（）A4+2iB42iC24iD2+4i2向量化简后等于（）ABCD3如图RtOAB是一平面图形的直观图，斜边OB2，则这个平面图形的面积是（）AB1CD4已知单位向量，的夹角为60，则在下列向量中，与垂直的是（）AB2+C2D25在ABC中，内角A，B，C所对的边分别是a，b，c已知A45，a6，b，则B的大小为（）A30B60C30或150D60或1206如图，在三棱锥ABCD中，E，F分别为AB，AD的中点，过EF的平面截三棱锥得到的截面为EFHG则下列结论中不一定成立的是
2、（）AEFGHBBDGHCGH平面ABDDAC平面EFHG7已知ABC的三个角A，B，C所对的边分别为a，b，c，其中，a3，A60，则B等于（）A30B45C60D908一辆汽车在一水平的公路上由北向南行驶，在公路右侧有一高山汽车行驶到A处测得高山在南偏西15方向上，山顶处的仰角为60，继续向南行驶300m到B处测得高山在南偏西75方向上，则山高为（）A150（+）mB100（+）mC150（+）mD100（+）m二、多选题（共4题，共20分）9x2（32i）x6i0，则下列叙述正确的有（）A当xC时，x3B当xC时，x3，或x2iC当xR时，x3，或x2iD当xR时，x310在ABC中，已
3、知角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且b6，sinA2sinC，则以下四个结论正确的有（）AABC不可能是直角三角形BABC有可能是等边三角形C当AB时，ABC的周长为15D当B时，ABC的面积为611M、N为直线l外两点，则过这两点且与该直线平行的平面个数可能有（）A0个B1个C无数个D2个12如图，在透明塑料制成的长方体ABCDA1B1C1D1容器内灌进一些水（未满），现将容器底面一边BC固定在底面上，再将容器倾斜，随着倾斜度的不同，有下列四种说法，则其中正确命题的是（）A水的部分始终呈棱柱状B水面四边形EFGH的面积为定值C棱A1D1始终与水面EFGH平行D若EAA1，FBB1，则A
4、E+BF是定值三、填空题（共4小题，共20分）13有一块多边形的菜地，它的水平放置的平面图形的斜二测直观图是直角梯形（如图），ABC45，ABAD1，DCBC，则这块菜地的面积为 14已知各顶点都在同一球面上的正四棱锥高为3，体积为6，则这个球的表面积是 15设x，y为实数，且，则x+y ，|x+yi| 16ABC是钝角三角形，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若a1，b2，则边c的取值范围是 四、解答题（共6大题，共70分）17已知平面直角坐标系中，点O为原点，A（3，4），B（5，12）（1）求坐标及|（2）求18如图所示，在三棱柱ABCA1B1C1中，E，F，G，H分别是AB，AC
5、，A1B1，A1C1的中点，求证：（1）B，C，H，G四点共面；（2）A1E平面BCHG19如图，圆锥PO的底面直径和高均是a，过PO的中点O作平行于底面的截面，以该截面为底面挖去一个圆柱，求剩下几何体的表面积和体积20一条东西方向的河流两岸平行，河宽250m，河水的速度为向东一艘小货船准备从河的这一边的码头A处出发，航行到位于河对岸B（AB与河的方向垂直）的正西方向并且与B相距的码头C处卸货若水流的速度与小货船航行的速度的合速度的大小为6km/h，则当小货船的航程最短时，求合速度的方向，并求此时小货船航行速度的大小21两个粒子A、B从同一源发射出来，在某一时刻，它们的位移分别为A（4，3），
6、B（2，10）（1）写出此时粒子B相对粒子A的位移；（2）计算在A方向上的投影参考答案一、选择题（共8小题，每小题5分，共40分）.1复数（）A4+2iB42iC24iD2+4i解：复数4+2i，故选：A2向量化简后等于（）ABCD解：+故选：C3如图RtOAB是一平面图形的直观图，斜边OB2，则这个平面图形的面积是（）AB1CD解：RtOAB是一平面图形的直观图，斜边OB2，直角三角形的直角边长是，直角三角形的面积是，原平面图形的面积是122故选：D4已知单位向量，的夹角为60，则在下列向量中，与垂直的是（）AB2+C2D2解：单位向量|1，11cos60，对于A，（+2）+2+2，所以（+
7、2）与不垂直；对于B，（2+）2+2+12，所以（2+）与不垂直；对于C，（2）22，所以（2）与不垂直；对于D，（2）2210，所以（2）与垂直故选：D5在ABC中，内角A，B，C所对的边分别是a，b，c已知A45，a6，b，则B的大小为（）A30B60C30或150D60或120解：在ABC中，由正弦定理可得 ，即 ，解得sinBba，BA45，B30，故选：A6如图，在三棱锥ABCD中，E，F分别为AB，AD的中点，过EF的平面截三棱锥得到的截面为EFHG则下列结论中不一定成立的是（）AEFGHBBDGHCGH平面ABDDAC平面EFHG解：对于A，E，F分别为AB，AD的中点，EFBD
8、，过EF的平面截三棱锥得到的截面为EFHG，平面EFHG平面BDCHG，GHBD，EFGH，故A正确；对于B，过EF的平面截三棱锥得到的截面为EFHG，平面EFHG平面BDCHG，GHBD，故B正确；对于C，GHBD，BD平面ABD，GH平面ABD，GH平面ABD，故C正确；对于D，GH的位置不确定，AC与平面EFHG有可能相交，故D错误故选：D7已知ABC的三个角A，B，C所对的边分别为a，b，c，其中，a3，A60，则B等于（）A30B45C60D90解：在ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，a3，A60，则由正弦定理，即，解得sinB，又由ba，可得B为锐角，可得B30故选：
9、A8一辆汽车在一水平的公路上由北向南行驶，在公路右侧有一高山汽车行驶到A处测得高山在南偏西15方向上，山顶处的仰角为60，继续向南行驶300m到B处测得高山在南偏西75方向上，则山高为（）A150（+）mB100（+）mC150（+）mD100（+）m解：设ACx，则CDx，在ABC中，AB300，ABC18075105，ACB751560，由正弦定理可得：x，又sin105sin （60+45）sin60cos45+cos60sin45，x50（3），即山高CD为：x150（）故选：C二、多选题（共4题，共20分）9x2（32i）x6i0，则下列叙述正确的有（）A当xC时，x3B当xC时，x
10、3，或x2iC当xR时，x3，或x2iD当xR时，x3解：x2（32i）x6i0，当xC时，x13，x22i，故A错误，B正确；当xR时，x3，故C错误，D正确故选：BD10在ABC中，已知角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且b6，sinA2sinC，则以下四个结论正确的有（）AABC不可能是直角三角形BABC有可能是等边三角形C当AB时，ABC的周长为15D当B时，ABC的面积为6解：b6，sinA2sinC，即a2c，若A为直角，由36+c24c2，可得c2，满足条件的ABC可能是直角三角形，故A错误；由于a2c，故ABC不可能是等边三角形，故B错误；等AB时，ab2c6，可得c3，可
11、得ABC的周长为a+b+c6+6+315，故C正确；当B时，b6，a2c，由余弦定理可得36a2+c2ac4c2+c22c2，解得c2，a4，可得ABC的面积为SacsinB6，故D正确故选：CD11M、N为直线l外两点，则过这两点且与该直线平行的平面个数可能有（）A0个B1个C无数个D2个解：直线MN与直线l相交时，不存在平面经过M、N两点且与直线l平行，此时满足条件的平面有0个；当直线MN与直线l异面时，存在唯一的平面，使其经过M，N且与直线l平行，此时满足条件的平面有1个；当直线MN与直线l平行时，只要经过M、N的平面不经过直线l，都满足该平面与直线l平行，此时满足条件的平面有无数个故选
12、：ABC12如图，在透明塑料制成的长方体ABCDA1B1C1D1容器内灌进一些水（未满），现将容器底面一边BC固定在底面上，再将容器倾斜，随着倾斜度的不同，有下列四种说法，则其中正确命题的是（）A水的部分始终呈棱柱状B水面四边形EFGH的面积为定值C棱A1D1始终与水面EFGH平行D若EAA1，FBB1，则AE+BF是定值解：结合题设中提供的图形信息可知：当容器底面一边BC固定时，BCFGA1D1，故由线面平行的判定定理可知，“棱A1D1始终与水面EFGH平行”成立，故选项C正确；由于四边形ABFE四边形DCGH，且互相平行，则由棱柱的定义可知，“水的部分始终呈棱柱状”正确，故选项A正确；如图
13、，由于水平放置时，水的高度是定值，所以当一部分上升的同时，另一面下降相同的高度，因为BFhFD，AEh+D1E且FDD1E，所以BF+AEhFD+h+D1E2h（定值），即“若EAA1，FBB1，则AE+BF是定值”是正确的，故选项D正确；因为水面四边形EFGH的边长在变化，因此其面积是变化的，故“水面四边形EFGH的面积为定值”的说法不正确，故选项B错误故选：ACD三、填空题（共4小题，共20分）13有一块多边形的菜地，它的水平放置的平面图形的斜二测直观图是直角梯形（如图），ABC45，ABAD1，DCBC，则这块菜地的面积为2+解：DCABsin 45，BCABsin 45+AD+1，S梯
14、形ABCD（AD+BC）DC（2+）+，SS梯形ABCD2+故答案为：2+14已知各顶点都在同一球面上的正四棱锥高为3，体积为6，则这个球的表面积是16解：正四棱锥PABCD的外接球的球心在它的高PO1上，记为O，POAOR，PO13，OO13R，在RtAO1O中，R23+（3R）2得R2，球的表面积S16故答案为：1615设x，y为实数，且，则x+y4，|x+yi|解：由，得，则（）+（）i，解得x+y4；|x+yi|1+5i|故答案为：4；16ABC是钝角三角形，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若a1，b2，则边c的取值范围是 c3或1c解：若角C为钝角，则cosC0，解得c又21
15、c2+1c3若角B为钝角，则cosB0，解得0c又21c2+11c故答案为：c3或1c四、解答题（共6大题，共70分）17已知平面直角坐标系中，点O为原点，A（3，4），B（5，12）（1）求坐标及|（2）求解：（1）；（2）；18如图所示，在三棱柱ABCA1B1C1中，E，F，G，H分别是AB，AC，A1B1，A1C1的中点，求证：（1）B，C，H，G四点共面；（2）A1E平面BCHG【解答】证明：（1）因为E，F，G，H分别是AB，AC，A1B1，A1C1的中点，所以GHB1C1，因为BCB1C1，所以GHBC，所以B，C，H，G四点共面；（2）由题意EFBC，且EF平面BCHG，BC平面
16、BCHG，所以EF平面BCHG，因为A1GEB且A1GEB，所以四边形A1GEB为平行四边形，A1EGB，所以A1E平面BCHG19如图，圆锥PO的底面直径和高均是a，过PO的中点O作平行于底面的截面，以该截面为底面挖去一个圆柱，求剩下几何体的表面积和体积解：圆锥PO的底面半径为，高为a，则圆柱OO的底面半径是，高为，圆锥的表面积为，圆柱的侧面积为剩下几何体的表面积为；圆锥的体积VSO（）2a，V圆柱（）2，剩下几何体的体积是20一条东西方向的河流两岸平行，河宽250m，河水的速度为向东一艘小货船准备从河的这一边的码头A处出发，航行到位于河对岸B（AB与河的方向垂直）的正西方向并且与B相距的码
17、头C处卸货若水流的速度与小货船航行的速度的合速度的大小为6km/h，则当小货船的航程最短时，求合速度的方向，并求此时小货船航行速度的大小解：如图，AB250m0.25km，BC250mkm，tanCAB，CAB60，可得CAD90+60150，合速度的方向与水流的方向成150的角；设小货船的速度为，水流的速度为，合速度为，则，6km/h合速度的方向与水流的方向成150的角；此时小货船航行速度的大小为6km/h21两个粒子A、B从同一源发射出来，在某一时刻，它们的位移分别为A（4，3），B（2，10）（1）写出此时粒子B相对粒子A的位移；（2）计算在A方向上的投影解：（1）（2，7）（2）在方向上的投影为
