1、第二节 等差数列及其前n项和 基础梳理从第二项起，每一项与前一项的差都 等于同一个常数常数 公差 d 递增数列 递减数列 常数列 1.等差数列的定义 如果一个数列 ，那么这个数列就叫做等差数列，这个 叫做等差数列的 ，通常用字母 表示.当d0时，此数列为 ;当d0时，此数列为 ;当d=0时，此数列为 .an=a1+(n-1)d 2.等差数列的通项公式 如果等差数列an的首项为a1,公差为d,那么它的通项公式是 .三个数a,A,b组成的数列是等差数列 3.等差中项 如果 ，那么A叫做a与b的等差中项,记作 .a+b2ak+al=am+an 2d 等差数列.md 4.等差数列的常用性质(1)若an
2、是等差数列，且k+l=m+n(k,l,m,nN*),则 .(2)若an是等差数列，公差为d,则a2n也是等差数列，公差为 .(3)若an,bn是等差数列，则pan+qbn也是(4)若an是等差数列，则ak,ak+m,ak+2m,(k,mN*)组成公差为 的等差数列.5.等差数列的前n项和公式 设等差数列an的公差为d,其前n项和Sn=或Sn=.1()2nn aa1(1)2n nnad6.等差数列的前n项和公式与函数的关系 Sn=.21()22ddnan7.在等差数列an中，a10,d0，则Sn存在最 值;若a10,d0，则Sn存在最 值.大 小 等差 nd -an 8.等差数列前n项和的性质
3、设Sn是等差数列an的前n项和，则（1）Sk,S2k-Sk,S3k-S2k,构成的数列是 数列;（2）也是一个等差数列;（3）Sn=;（4）Sn=;（5）若an共有2n项，则S2n=n(an+an+1),S偶-S奇=,若an共有2n-1项，则S2n-1=(2n-1)an,S偶-S奇=,=.其中S偶，S奇分别为数列的所有偶数项的和，所有奇数项的和.nSn12132()()()222nnnn aan aan aa1(1)(1)22nn nn nnadnad_SS偶奇_SS偶奇1nnaa1nn基础达标1.(教材改编题)已知等差数列an中，首项a1=1,公差d=3，若an=2011，则序号n等于()A
4、.668 B.670 C.669 D.671 解析:由2011=1+(n-1)3=3n-2，解得n=671.选D .2.(2010重庆)在等差数列an中，a1+a9=10,则a5的值为()A.5 B.6 C.8 D.10 解析：由等差数列性质得a1+a9=2a5,所以a5=5.选A .3.在等差数列an中，d=，n=37,Sn=629,则an等于（）A.21 B.22 C.23 D.24 13解析：将d=,n=37,Sn=629分别代入an=a1+(n-1)d,Sn=得 解得an=23.选C.1()2nn aa131112,37()629,2nnaaaa4.(2011济南一中模拟)设等差数列a
5、n的前n项和为Sn,若a2+a8=15-a5,则S9等于（）A.18 B.36 C.45 D.60 解析：a2+a5+a8=15,a5=5.2a5=a1+a9=10,S9=9a5=45.选C.5.(教材改编题)设数列 的前n项和为Sn,若Sn=，则n=()A.9 B.10 C.11 D.12 1(1)n n1011解析:an=,n=10.111,(1)1n nnn10111nn1111111()()()1.1223111nnSnnnn题型一等差数列的基本运算【例1】(2011杭州一中模拟)已知an是等差数列，且a3+a9=4a5,a2=-8,则该数列的公差是()A.4 B.C.-4 D.-14
6、 14分析:把数列公差d设出，依条件可得出关于a1与d的方程组，可求出d.解：设an的公差为d,则 即 解得 故选A.1111284(4),8,adadadad 1130,8,adad 112,4,ad 题型二等差数列的判定【例2】已知数列an的前n项和为Sn且满足an+2SnSn-1=0 （n2),a1=.求证:是等差数列.121nS证明：an=Sn-Sn-1(n2),Sn-1-Sn=2SnSn-1,Sn0,=2(n2).由等差数列的定义知,是以 =2为首项，以2为公差的等差数列.111nnSS 1nS11S11a变式2-1(2011湖南雅礼中学月考)已知数列an 的前n项和Sn满足Sn-S
7、n-1=(n2),a1=1.证明：数列 是等差数列，并求数列an的通项公式.1nnSS nS1nnSS 证明：Sn-Sn-1=()()=(n2),易知 0,=1,又 =1,所以数列 是一个首项为1公差为1的等差数列.=1+(n-1)1=n,Sn=n2.当n2,an=Sn-Sn-1=n2-(n-1)2=2n-1.a1=1适合上式，an=2n-1(nN*).1nnSS 1nnSS nS1nnSS 11SanSnS题型三等差数列的性质【例3】(1)(2011泉州一中模拟)若a、b、c、d成等差数列，且(a,d)是f(x)=x2-2x的顶点,则b+c=()A.0 B.1 C.2 D.3(2)(2010
8、全国)如果等差数列an中，a3+a4+a5=12,那么a1+a2+a7=()A.14 B.21 C.28 D.35(3)等差数列an中，Sn是an的前n项和,已知S6=2,S9=5，则S15=()A.15 B.30 C.45 D.60 解：(1)f(x)=(x-1)2-1,顶点为(1,-1),b+c=a+d=1+(-1)=0,故选A.(2)a3+a4+a5=12,a4=4,a1+a2+a3+a7=7a4=28,故选C.(3)S9-S6=a7+a8+a9=3a8=3,a8=1,根据等差数列性质，知S15=15a8=15,故选A.177()2aa变式3-1 等差数列an,bn的前n项和分别是Sn,
9、Tn,且 则 =()A.B.1 C.D.33,23nnSnTn66ab32652723解析：利用等差数列的性质，若m+n=p+q,则am+an=ap+aq.所以 66116611116,115aaSbbT题型四等差数列中的最值问题【例4】在等差数列an中，已知a1=20,前n项和为Sn,且S10=S15,求当n取何值时，Sn取得最大值，并求出它的最大值.解：a1=20,S10=S15,公差d0,根据Sn图象知 S12=S13最大，a13=0,S12=S13=130.11313()2aa变式4-1(2010青岛二中模拟)等差数列an的前n项和为Sn,若S5=35,点A(3,a3)与B(5,a5)
10、都在斜率为-2的直线l上，则Sn的最大值为()A.16 B.35 C.36 D.32 解析:S5=35,5a1+=35,解得a1=11.an=a1+(n-1)d=11-2(n-1)=-2n+13,由 得 n ,S6最大，即S6=6a1+=36 532,53aad 5 4(2)2 10,0,nnaa 1121326 52d易错警示【例】等差数列an中，a1=-5,从第10项开始为正数，则公差d的取值范围为 .错解 由a10=-5+9d0,得d .59错解分析 此解法忽略了条件a90.学生由于未能理解“从第10项开始为正数”的含义，主观认为a100,导致答案不够完整，因此学生在审题过程中一定要深刻
11、把握题设条件的隐藏含义，避免出现类似的错误.正解：由题意知a10=-5+9d0且a9=-5+8d0,d .5859链接高考 1.(2010福建)设等差数列an的前n项和为Sn,若a1=-11,a4+a6=-6,则当Sn取最小值时，n等于()A.6 B.7 C.8 D.9 知识准备：1.会用等差数列通项公式和前n项和公式；2.会用配方法求最值.解析：设该数列的公差为d,则a4+a6=2a1+8d=2(-11)+8d=-6,解得d=2,所以Sn=-11n+2=n2-12n=(n-6)2-36,所以 当n=6时，Sn取最小值.(1)2n n 2.(2010浙江)设a1,d为实数，首项为a1,公差为d的等差数列an的前n项和为Sn,且满足S5S6+15=0.（1）若S5=5,求S6及a1;(2)求d的取值范围.知识准备：1.会用求和公式;2.会将等式变形、化简.解：（1）由题意知S6 =-3,a6=S6-S5=-8,所以 解得a1=7,所以S6=-3,a1=7.(2)因为S5S6+15=0,所以(5a1+10d)(6a1+15d)+15=0,即2a21+9da1+10d2+1=0,故(4a1+9d)2=d2-8,所以d28,故d的取值范围为(-,-2 2 ,+).22115105,58,adad 515S